裂縫反演問題的線性抽樣法

秦藝濛，陳博

裂縫反演問題的線性抽樣法

秦藝濛，陳博

（中國民航大學 理學院，天津 300300）

在無損檢測等應用領域，經常需要借助聲波檢測物體的內部裂縫，在裂縫反演過程中需要建立求解算法，其中一類重要的算法是線性抽樣法．結合前期的一些研究工作，介紹頻域和時域裂縫反演問題的線性抽樣法，并在此基礎上介紹半空間內裂縫反演問題的求解思路．

裂縫反演問題；線性抽樣法；頻域；時域

無損檢測，也叫無損探傷，是在不損害被檢測對象的前提下，采用射線、超聲等技術，并結合儀器對材料、設備進行缺陷和物理參數檢測的技術．

在聲波檢測中， 根據選取聲波類型的不同， 可以得到頻域和時域２類問題． 當聲波選取為時諧波時， 波的震動隨時間的變化是規律的，通過技術處理可以消除時間變量的影響，從而得到與Helmholtz方程相關的頻域問題[1-3]．當聲波選取為時間相關的、非時諧的聲波時，則會得到波動方程相關的時域問題[4-6]． 對于裂縫反演問題，文獻[7]給出了頻域問題求解的線性抽樣法，文獻[8]給出了時域問題求解的線性抽樣法．

本文以文獻[7-8]的研究為基礎，簡單介紹頻域和時域裂縫正反散射問題，以及反散射問題求解的線性抽樣法．此外，雖然頻域和時域裂縫反演問題都已經有了較為成熟的研究結果，但這些研究都還沒有被推廣到對應的半空間問題上．作為未來研究的啟發，結合前期半空間問題研究經驗[9]和時域問題分析基礎[10]， 對時域半空間內裂縫反演問題進行簡單的介紹．

1　頻域問題

頻域問題的研究起步較早，近幾十年來，國內外研究人員對眾多頻域散射和反散射問題進行了較為深入的研究， 其理論體系已相對成熟． 作為時域研究的基礎，對頻域裂縫正反散射問題給出簡單的介紹， 更多頻域問題的相關理論基礎可以查閱文獻[1]．

頻域問題常需要考慮的漸近行為是

對于反散射問題的求解，頻域線性抽樣法的核心為遠場方程[7]280．引入遠場算子

頻域線性抽樣法的求解方案為：

2　時域問題

時域問題是指含有時間變量的問題，這里考慮聲波為非時諧的、時間相關的，此時，聲波波場滿足波動方程．

2.1　時域問題描述

定義線源入射形成的柱面入射波為

時域正散射問題常采用推遲勢邊界積分方程方法進行求解，其中的位勢函數理論對于時域線性抽樣法的理解和“爆破性”的證明非常關鍵．因此，先介紹本文用到的單層位勢函數和位勢算子的定義，作為反問題求解的基礎．

一般情況下，時域單層位勢函數被定義為

時域位勢函數和位勢算子是時域問題分析的基礎， 對于正問題邊界積分方程的建立和反問題線性抽樣法的分析都至關重要．

2.2 時域線性抽樣法

對于時域反散射問題的求解，使用時域線性抽樣法．雖然線性抽樣法是非常經典的成像方法，但時域問題的線性抽樣法直到近年來才受到人們的關注，這是由于時域問題的分析和計算都相對復雜，特別是對正問題時間變量的數值處理，需要借助于CQ方法等數值手段．時域線性抽樣法的理論建立在正問題位勢函數理論的基礎之上．

時域線性抽樣法以近場算子和檢驗函數為基礎，通常將近場算子定義為

定義檢驗函數

在近場算子和檢驗函數的基礎之上，建立近場方程

之后， 根據

線性抽樣法是經典的數值反演方法，在裂縫、障礙體和可穿透介質的反演中具有廣泛的應用，是數學物理研究的重要組成部分，在無損探傷、醫學成像和海底聲吶等領域都具有廣闊的應用前景．其作用原理建立在抽樣法的框架之下，關鍵在于找到一個指示函數，其值在散射體區域和其它區域有明顯的不同．線性抽樣法“爆破性”的證明方案已經非常成熟，可以在理論上驗證該方法的可行性，然而，對于近場方程的構造機制和時間偏移參數的作用原理等深層問題，目前還都沒有完善的結論，有待研究人員做進一步的探索．

2.3　時域半空間問題

前面所講的頻域和時域問題都建立在二維全空間的條件下，接下來，考慮在半空間內的時域散射和反散射問題．對于半空間問題的求解，一個很大的難點是半空間的邊緣是無界的，因此，不論是正散射問題求解的邊界積分方程方法還是反散射問題求解的線性抽樣法，都需要首先處理無界邊界的問題．

對半空間問題，直接用線性抽樣法求解是不可行的，這是因為半空間邊界對波場也會造成散射，全空間問題的Green函數方法不能直接推廣到半空間問題上來．因此，采用對稱延拓的方法，將半空間問題轉化為全空間內的對稱問題．

有

半空間問題的具體理論分析建立在半空間內Green函數的基礎之上，其理論特征和全空間問題有所差別．即使轉化為全空間內的對稱散射問題，其對稱特性也會對散射問題的分析造成一定的影響，在數值反演時，反演圖像在上下半空間分界線上也有明顯的半空間問題特征，這里不做具體的論述．

3　結語

本文簡單介紹了頻域和時域裂縫散射和反散射問題．對頻域和時域問題，分別給出了問題模型，介紹了反散射問題求解的線性抽樣法，并對時域半空間內裂縫反演問題的求解進行了簡單的說明．

[1] Colton D，Kress R．Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory[M]．3rd ed．Berlin：Springer press，2013．

[2] Colton D，Kress R．Integral Equation Methods in Scattering Theory[M]．New York：John Wiley，1983．

[3] Colton D，Monk P．Recent developments in inverse acoustic scattering theory[J]．Siam Review，2000，3：369–414．

[4] Sayas F J．Retarded Potentials and Time Domain Boundary Integral Equations：A Road-Map[M]．Switzerland：Springer press，2016．

[5] Banjai L，Sauter S．Rapid solution of the wave equation in unbounded domains[J]．SIAM Journal on Numerical Analysis，2008， 1：227–249．

[6] Chen Q，Haddar H，Lechleiter A，et al．A sampling method for inverse scattering in the time domain[J]．Inverse Problems，2010（8）：085001．

[7] Cakoni F，Colton D．The linear sampling method for cracks[J]．Inverse Problems，2003（2）：279–295．

[8] Yue Y，Ma F，Chen B．Time domain linear sampling method for inverse scattering problems with cracks[J]．East Asian Journal on Applied Mathematics，2022，12（1）：96–110．

[9] Chen B，Ma F，Guo Y．Time domain scattering and inverse scattering problems in a locally perturbed half-plane[J]．Applicable Analysis，2017，96（8）：1303–1325．

[10] Chen B，Guo Y，Ma F，et al．Numerical schemes to reconstruct three-dimensional time-dependent point sources of acoustic waves[J]．Inverse Problems，2020（7）：075009．

linear sampling methods for the reconstruction of cracks

Qin Yimeng，Chen Bo

（School of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

In the application fields of nondestructive testing，it is often necessary to detect the internal cracks of objects with the help of acoustic waves．In the process of crack inversion，it is necessary to establish a solution algorithm，one of which is the linear sampling method．Combined with some previous research work，the linear sampling method of frequency domain and time domain crack inversion is introduced．On this basis, the solution idea of fracture inversion in half space is introduced．

reconstruction of cracks；linear sampling method；frequency domain；time domain

1007-9831（2022）04-0009-05

O241.8

A

10.3969/j.jssn.1007-9831.2022.04.003

2021-12-02

國家自然科學基金項目（12101603）；中國民航大學大學生創新創業訓練計劃項目（202110059070）；中央高校基本科研業務費項目中國民航大學專項（3122021072）；中國民航大學國家自然科學基金配套專項（3122022PT19）

秦藝濛（2001-），女，湖北襄陽人，在讀本科生．E-mail：1016355743@qq.com

陳博（1990-），男，河南南陽人，講師，博士，從事偏微分方程反問題數值解法研究．E-mail：charliecb@163.com