高考數學創新型試題的若干類型與評析

譚業靜

【摘要】近幾年來，我國各地高考始終堅持綜合能力題的立意，全面深入考查學生的基礎數學知識，培養數學多維思想，積極探索試題的綜合創新思維設計.創新型高考試題主要是以被動問題探索為探究核心，以問題探究為發現途徑，以主動發現問題為探究目的，綜合考查考生自主創新活動意識和綜合創新能力，充分體現了高考的綜合考查主體作用和選拔性的功能.

【關鍵詞】高考數學;創新型;題型評析

引 言

相較于一些傳統綜合試題來說，有著鮮明特點的創新型綜合試題要求應試考生具備細致觀察、認真分析、合理結構類比、準確推理歸納的綜合能力.創新型高考試題的類型主要有：類比、歸納研究型，開放探索型，實用型，合情推理型，趣味邏輯型等.

一、高考數學通過運用創新型試題考查考生的自主創新能力

高考理科數學創新型試題主要是綜合測量檢查考生的自身發展性綜合學習能力.高考理科數學考試十分重視對學生的創新思維意識的綜合考查.考生的數學創新思維意識主要表現在以下方面：對新穎的數學信息﹑復雜情境，能主動選擇有效的理論方法和科學手段進行分析、設問并處理，綜合且靈活地應用自己所學的有關數學知識、思想和教學方法進行獨立的問題思考﹑理論探索和問題研究，提出各種解決實際問題的具體思路方案﹐并能有創造性地通過分析和設計解決實際問題.從近幾年的全國考題情況來看，創新型高考試題已逐漸成為當前全國各個重點高考院校命題組努力追求的一個理想考試目標之一.

二、高考數學創新型試題的類型及其特點

（一）類比、歸納研究型

在學生學習數學的過程中，培養學生掌握解題思想的啟發性研究方法，對學生今后的學習與工作都會有很大的促進作用.類比數學研究中的題型相較于傳統信息化的遷移研究題型來得更直接，它在題目中會直接給出明確的命題方向，學生將學過的基礎數學知識進行類比、歸納和應用就會得到更一般的數學結論.近些年，全國高考明顯地加強了對廣大高考生掌握歸納與發現類比知識能力的綜合考查，即由考生通過猜想掌握類比知識到歸納發現科學新知，滲透了從局部到整體、從特殊到一般的多種思維表達方法.

（二）開放探索型

開放探索型數學題符合越來越開放的高中教育發展理念，從考查學生思維方面而言，它其實是為了提升高中學生敢于大膽嘗試與自由猜想的思維能力.學生大膽演繹，自由聯想，嘗試探索并驗證，將多種不同思維表達方式進行整合，尋求無固定解法的解題途徑.開放探索題的解法別致、多樣，進一步培養了學生的創造意識與思維，這是新的教育理念的具體體現.

（三）實用型

把數學帶入學生切身體會的生活中去，是目前教學課程很關注的一個新理念.實用型數學試題是以社會生態環保、健康心理教育、經濟社會發展等各種社會經濟背景知識為主要載體而設立的社會相關綜合數學試題，考查的是學生能否把握對現實社會問題的有效處理轉化與有效運用的綜合能力，能夠提升學生的數學分析能力及理解能力.綜合知識型高考試題類型主要包括高考學科內各章節知識、學科知識綜合交匯及其他學科知識，考生要更快速地解答這一類考試題目，就得從題中構造數學模型著手，利用數學知識框架將與其相關的比如函數、數列、數軸、概率等知識點進行整合.高考綜合考試教學模式正在日益深入改革創新中，教師在針對高三年級學生重點復習高中數學知識點的過程中，要指導學生去重視對數學知識中所蘊藏的思想進行探索，提升解題技巧.

例1 （2018年全國Ⅱ卷理科第8題）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（? ）.

A.112?? B.114?? C.115?? D.118

評析 該題充分弘揚我國中華優秀傳統文化，可以不斷增強學生的文化自覺和文化自信，引導學生形成獨立的世界觀.在講解試題之前，教師可以讓學生先發表對于該題的意見和解題思路并進行總結，寫到黑板上，如果有錯誤，教師及時指出，這樣能夠讓學生更加明確地了解習題中所運用到的知識，幫助學生鞏固知識點.

（四）合情推理型

合情推理是根據已有的某種數學理論事實推理結論，或根據個人已有數學實踐經驗（包括數學理論實驗或物理實踐）和某種數學直觀現象進行數學推測而直接得到某些數學結果的一種數學推理.我們通過觀察現象，運用實驗、歸納、類比等多種方法直接可以獲得某種新的數學推理結論.從發現和掌握數學新知的角度來說﹐合情推理命題顯得特別重要.因此，高考數學命題非常重視通過考查各個學生的合情理論推理思維能力水平來達到提高學生創新思維意識的基本目的.

例2 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-125-12≈0.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（? ）.

A.165 cm? B.175 cm? C.185 cm? D.190 cm

評析 該題一出，引起社會各界的關注，更是有許多網友運用五花八門的方式進行解答.由此可以看出，重視演繹推理在古代是非常了不起的，因為古人往往處于一種需要努力維系生存的狀態，因此需要考慮實際問題.比如羅馬需要通過進攻維持帝國的強盛并且對征服的地區開展統治，因此高度重視軍事武器的改良、法律的完善，而輕視那些似乎不著邊際、沒有實用性的純數學理論.

（五）趣味邏輯型

邏輯學試題的研究對象主要是現代人們的邏輯思維活動形式及邏輯規律，在現代邏輯思維科學中，主要類型有形式邏輯﹑辯證主義邏輯和數理邏輯.其中趣味形式邏輯命題是一種形式邏輯，它從基本概念理解﹑邏輯命題、推理、邏輯數學基本規律等幾個方面，通過通俗而有趣的經典故事形式介紹趣味邏輯學的基本知識及其實際應用.趣味邏輯命題展現了新的邏輯數學魅力，

可以培養廣大學生的邏輯創新思維意識，提高廣大學生快速學習趣味邏輯數學的興趣，幫助廣大學生快速打開掌握邏輯數學知識的智慧寶庫，培養學生掌握駕馭各種邏輯數學工具的技巧.趣味邏輯型數學試題主要是教育部考試中心近年來新開發的一種創新型數學試題，其主要特點之一是新穎有趣，突出了現代數學的邏輯思辨性﹑科學邏輯性和科學創新性.教師在教學過程中應讓學生成為課堂的“主演”，在講解習題前，可以先讓學生陳述自己的解題思路，然后總結幾種解題思路寫到黑板上.如果只講解正確的解題思路，那么教師就先來用學生的解題思路，再把自己的解題思路講解給學生;如果學生的解題思路是錯誤的，那么教師應該告訴學生解題思路錯誤的點與原因.這樣學生就能夠了解習題的題干、題眼，思考這道題用到哪些知識，從而鞏固學過的知識點.

三、針對創新題型的學習啟示

（一）復習鞏固數學基礎知識

學生在考前基礎學習和考后復習中要不斷探索鞏固所學基礎知識，注重基礎知識之間的相互聯系，對這些基礎知識需要有一個系統的知識認知體系結構，同時，學生對學習過程中可能出現的一些錯誤點也要加以重視，找出學習過程中所犯的錯誤并及時對其進行糾正.總之，學生應全面復習鞏固數學基礎知識，以不斷提高分析數學問題和掌握解決實際問題的基本能力，并為不斷提高綜合數學能力水平打好堅實的基礎.

基礎知識是非常重要的，一些同學在做題的過程中由于對公式運用不熟練導致解題思路不清晰，最終出現錯誤，所以應當在日常的練習中熟悉解題技巧，這樣才能確保得到基本分.邏輯思維能力固然重要，但是公式是基礎，要學會變通并熟練掌握，可通過反復練習不斷鞏固.當前學生存在的主要問題：第一，不會解題.一些學生因為想不到這個考點運用的是哪些知識點，分不清楚需要運用的公式，加上受到思維定式的影響，最終導致不會解題.第二，解題速度慢.解題速度慢的主要原因是對于公式和基礎的解題思路不夠熟練，對知識點的記憶較為模糊.第三，部分學生在做題的過程中不夠細心，容易落入試題當中的陷阱，又或者是由于馬虎出現錯誤，比如忘了加符號，忘了結果取整等.因此學生要在日常的練習過程中對重點公式反復記憶，掌握最基本的推理能力.

（二）注重探索，提高理論綜合應用能力

在平常的教學過程中，教師要培養學生樹立靈活的綜合應用思維意識和自主創新實踐意識，使他們在課間學習和集中復習時善于理性化地發散數學思維，將傳統數學基礎思想和方法合理有效地運用到日常數學理論學習中去，提高自己分析并解決數學問題的綜合應用能力.

例如，教師在講解立體幾何知識時，如果只讓學生通過想象就練習，難度會很大.因此，教師可以利用多媒體教學設備幫助學生建立直觀印象.例如，利用視頻課件和PPT動畫效果向學生展示幾何變換，這樣就會讓學生對立體圖形有更加系統的認識，能讓學生更加有效地了解抽象的知識.雖然多媒體設備的使用課堂已經有較長的歷史，但是如果在高中課堂當中不經常使用，就失去了多媒體設備教學的意義.教師不僅需要充分、正確地運用自己的知識多樣性向學生解釋抽象的數學知識，還需要不斷增強學生在學習中的自信，這是教師在數學教學過程中培養學生核心素養的途徑.

（三）結合生活創新數學試題

教師在教學中應培養學生對知識的運用能力，使得學生能夠更加深入地理解知識，并且能夠運用所學知識解決實際生活中的問題.比如，2021年數學試卷以“五育并舉”教育方針為指引，通過情境創設引導考生關注生活，關注社會，關注勞動.第6題以北京冬奧會為背景宣傳志愿者服務，第17題以芯片生產中的刻蝕速率為原型，設計了概率統計的應用問題，考查了考生對平均數、方差等知識的理解和應用，考查學生的運算能力，同時還讓學生體會數學在實際生產生活中的學科價值.結合學生的生活設置數學問題已經較為常見，這類數學問題旨在對學生知識運用能力的考查，其源于學生的日常生活，卻又高于學生的日常生活，能夠有效地吸引學生的注意力，引導學生進入試題所創設的問題情境之中，引導學生的想象，增強學生對數學的親切感，從而使得學生主動地將問題的思考與實際生活結合起來.

例如，某公司的班車在7：00，8：00，8：30發車，小明在7：50至8：30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過十分鐘的概率是（? ）.

A.13?? B.12?? C.23?? D.34

在解答此題時，教師要引導學生探究問題背后所蘊含的生活，代入幾何概型概率計算公式，最終得到答案12.這樣不僅對學生的知識運用能力進行了考查，也體現了數學源于生活的理念.

（四）模型法解題

萬變不離其宗，學生在解題過程中要注重將多個知識點進行綜合，了解題目中滲透的數學思想和數學方法.因此，教師要教會學生注意認真審題，了解命題人的意圖.針對創新型的高考試題，我們只要在科學方法的引導下，就一定會有很大程度的提高，所以提出了利用模型法解決此類問題.

創新型的題目雖然看起來較為新穎，但是最終的思想也是考查最基本的高中知識，所以我們解題的過程中需要熟悉題型，找到清晰的思路，然后將這個題目進行歸類，最終把它歸結為某一類考試題型.例如，將某一創新題型歸結為考查圓錐曲線的知識點，掌握這一模型就知道圓錐曲線的考點，如求焦點問題等，有了一定的解題思路，解答題目時就不會出錯.準確答題的關鍵就是仔細審題并進行深入思考和分析，謹防疏漏，要注意題型的變化，最終，利用模型法順利解開謎題.

結束語

創新型試題已經成為高考一種重要的題型，在對于人才的選拔、立德樹人理念的發展以及教學引領等各個方面都將起到積極的推動作用.因此，我們始終堅持在未來高考命題中研究和開發多種不同類型的創新型試題，對考生的綜合素質和創新意識進行考查，這樣可以有效地幫助廣大考生積極備戰自己的高考，以便順利地考上理想的大學.

【參考文獻】

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