無保持架軸承滾動體與變速曲面靜接觸有限元

趙彥玲，王明珠，侯新新，秦生

摘要：滿裝軸承因去掉保持架而使承載能力提高且輕量化，目前已經受到國內外學者的關注，但針對滾動體接觸的理論研究較少。提出在外圈滾道增加局部變速曲面來改變滾動體與滾道接觸狀態的原理，基于赫茲理論建立滾動體與滾道接觸力及接觸應力模型，分析變速曲面參數對滾動體間及滾道接觸狀態影響因素;通過有限元數值模擬對滾動體與滾道、滾動體與變速曲面進行仿真并獲得可量化參數，確定滾動體進出變速曲面接觸應力及應變的變化規律;結合物理樣機對所設計的變速曲面進行磨損試驗，用于驗證理論的正確性。結果表明滾動體與變速曲面邊緣接觸力大于中間位置，相鄰滾動體滾過變速曲面時處于非接觸狀態。本研究為無保持架球軸承動態磨損提供理論基礎。

關鍵詞：無保持架球軸承;變速曲面;赫茲理論;接觸模型;有限元

DOI：10.15938/j.jhust.2022.01.013

中圖分類號： TH133.3? ? ? ?文獻標志碼： A? ? ? ? ? 文章編號： 1007-2683（2022）01-0100-08

Finite Element of Static Contact between Rolling Element

and Raceway of Cageless Ball Bearing

ZHAO Yanling1，WANG Mingzhu1，HOU Xinxin2，QIN Sheng3

（1.School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China;

2.SUNNY GROUP CO.，LTD.，Yuyao 315400，China; 3.Second Port Branch of Rizhao Port Co.， Ltd，Rizhao 276826，China）

Abstract：At present， scholars at home and abroad have paid attention to the improvement of bearing capacity and lightweight due to the removal of cage， but the theoretical research on rolling element contact is less. The principle of adding local variable speed surface to outer ring raceway to change the contact state between rolling element and raceway is proposed. Based on Hertz theory， the contact force and contact stress model between rolling element and raceway are established， and the influence factors of variable speed surface parameters on contact state between rolling elements and raceway are analyzed. Through finite element numerical simulation， the rolling element and raceway， rolling element and variable speed surface are simulated and obtained. The change law of contact stress and strain of the rolling element in and out of the variable speed surface is determined by quantifiable parameters， and the wear test of the designed variable speed surface is carried out with the physical prototype to verify the correctness of the theory. The results show that the contact force between the rolling body and the variable speed surface edge is greater than that at the middle position， and the adjacent rolling body is in noncontact state when rolling through the variable speed surface. This study provides a theoretical basis for the dynamic wear of no cage ball bearings.

Keywords：cageless ball bearing; variable speed surface; hertz theory; contact model; finite element

0引言

近年來，隨著航空發動機、電主軸以及無人機技術的發展，對滾動軸承的結構、材質和轉速要求越來越高，將工程陶瓷材料引入軸承中可大幅提升軸承的服役性能和應用范圍[1]。雖然深溝球軸承具有較小的摩擦系數，但在高速運轉情況下，保持架與滾動體和套圈之間的摩擦會產生不可忽視的阻力，致使軸承發熱，從而限制了軸承的極限轉速。為了避免保持架所帶來的摩擦阻力，國內外出現了無保持架球軸承。雖然無保持架結構使軸承滾動體的數目更多，提高了軸承的承載能力，但滾動體之間的接觸和摩擦使無保持架球軸承多用于低速重載工況下。本文開展了無保持架球軸承滾動體與滾道接觸相關問題的研究。

國內外學者在軸承靜接觸分析方面展開了一定的理論方法研究。樊洪輝[2]提出了一種數值模擬滿裝滾子軸承扭矩的研究方法，通過ADAMS的微分方程求解器，對滿裝圓柱滾子軸承進行仿真分析，計算滾子與內圈、滾子與滾子、滾子與外圈的摩擦力和扭矩;進而在文[3]針對低速重載工況下滿裝圓柱滾子軸承的運動問題，通過改變ADAMS中設置的軸承內圈的轉速，對NCF3004CV軸承不同轉速下的滾子與內圈接觸力以及內圈質心運動軌跡進行仿真研究;侯新新[4]針對帶變速曲面的無保持架球軸承進行摩擦磨損性能分析，對滾動體與變速曲面的接觸形式和受力狀態分析，建立滾動體與變速曲面處的接觸力學模型，并對其磨損失效時間進行預測;趙彥玲等[5]針對鋼球在展開機構中的接觸碰撞特性進行分析，建立了鋼球與展開輪的Hertz接觸碰撞模型獲得了碰撞力的變化過程;并在文[6]中針對鋼球缺陷檢測過程中，鏡面鋼球打滑導致展開輪磨損這一問題，結合試驗與有限元的方法，得到適合于展開輪的材料與微結構;潘承怡等[7]針對展開輪壽命預測問題，根據展開輪結構和展開原理建立展開輪的臨界失效條件，并利用ANSYS有限元軟件對展開輪磨損進行數值模擬，得到磨損深度與磨損次數的關系方程;Peter ulka等[8]針對滾動軸承的靜接觸壓力、應力進行分析，建立了赫茲理論靜接觸壓力計算模型，通過ANSYS Workbench進行仿真，得到了最大靜接觸壓力值;李英等[9]針對自潤滑關節軸承的接觸應力分布進行分析，采用Winkler模型建立了自接觸應力解析模型，并利用ANSYS 軟件對軸承受徑向載荷和軸向載荷時的接觸應力分布進行分析;盧黎明等[10]針對滾滑軸承零件的應力分布、變化規律及疲勞壽命進行分析，通過ABAQUS有限元軟件的隱式算法對滾滑軸承進行多體接觸靜力學的仿真;Raju D V等[11]采用通用有限元軟件ABAQUS精確地預測了汽車輪轂滾珠軸承的接觸應力、軸承載荷和軸承壽命，并在赫茲接觸理論的基礎上，給出了各載荷情況下的理論接觸應力計算;Anoopnath P. R.等[12]基于Hertz接觸理論對滾動體與滾道之間的接觸機理進行了研究，并利用MESYS工具進行了相應的數值分析。由結果可以看出，MESYS結果與公式結果的變化很小，低于5%;胡寶根等[13]針對自潤滑關節軸承襯墊的應力分布、接觸應力變化和變形情況進行分析，建立了自潤滑關節軸承的有限元模型，得出襯墊的靜接觸應力分布;張勝倫等[14]針對角接觸球軸承的結構參數對接觸應力的影響進行分析，建立了赫茲理論計算模型，通過有限元法分析了結構參數對靜接觸應力的影響;Xian等[15]針對球與滾道的靜接觸特性進行研究，建立了赫茲理論接觸模型，分析了軸承結構參數對靜接觸應力的影響;Xi等[16]提出了跨尺度三維有限元模擬方法，通過對深溝球軸承與滾道進行了非赫茲彈塑性靜接觸分析，研究了載荷大小和方向對接觸狀態的影響;WANG等[17]針對大接觸角推力球軸承的接觸特性進行分析，依據赫茲彈性接觸理論并采用有限元法對軸承的三維模型進行非線性接觸仿真，分析應力和變形情況;鄭曉猛[18]等研究了一種快速、簡單的材料滾滑接觸內部應力的計算方法以替代耗時長的有限元法，通過Hertz接觸理論計算最大接觸應力及尺寸，并基于MATLAB實現滾滑接觸內部應力場的計算，該方法簡單方便，便于結合其他應力求真實應力場，對材料組織演變有著重要的意義。

綜合國內外研究現狀，雖然已有對軸承滾動體與滾道接觸的研究，但還未發現對無保持架球軸承滾動體與滾道接觸的研究，缺少相應的理論基礎。因此本文主要研究無保持架球軸承滾動體與滾道的接觸應力分布，采用理論計算和有限元分析相結合的方法并通過物理樣機實驗驗證理論分析與仿真實驗結果的一致性，為無保持架球軸承的磨損研究提供理論基礎。

1滾動體與滾道接觸狀態分析

1.1軸承外圈局部變速曲面設計

本文擬在外圈滾道增加局部變速曲面來改變滾動體與滾道接觸狀態，圖1（a）為所設計的帶有變速曲面的軸承結構示意圖，變速曲面沿Z軸負方向為橢圓形，θ為變速曲面周向跨度角;圖1（b）所示的B為變速曲面寬度，R2為變速曲面圓弧狀邊緣半徑。軸承在徑向載荷Fr作用下，外圈固定，內圈以角速度ωi逆時針旋轉，滾動體在內圈的帶動下經過變速曲面時先與p1點接觸，而后跨在變速曲面上與邊緣接觸并順時針滾動，最后與p2點接觸并離開變速曲面。由于外圈滾道存在變速曲面，使得每個滾動體所受載荷發生變化，與滾道的接觸力、接觸應力也發生變化。

1.2滾動體與滾道接觸力模型建立

對變速曲面上的滾動體進行受力分析，如圖2所示，軸承只受徑向載荷，滾動體經過變速曲面時在徑向方向出現了下移，與內圈分離，因此該軸承在變速曲面處只受到自身重力和支持力。建立軸承外圈中心坐標系（o、x、y、z）和滾動體球心坐標系（Ob、xb、yb、zb），

Fn1、Fn2分別為滾動體在變速曲面接觸點處的法向接觸力，Ff1、Ff2分別為滾動體與變速曲面在兩個接觸點處的靜摩擦力，γ為變速曲面處的切向角。

根據對滾動體與變速曲面接觸受力分析建立沿坐標系（Ob、xb、yb、zb）的力平衡方程：

Fn1sinθ2-Fn2sinθ2=0

（Fn1+Fn2）cosθ2（Ff1+Ff2）cosγ=0

（Fn1+Fn2）sinθ2±（Ff1+Ff2）sinγ-G=0（1）

變速曲面處切向角γ的表達式為

γ=arctanB2hd（2）

式中：B為變速曲面寬度;hd為徑向時變位移。

聯立（1）、（2）得到滾動體與變速曲面接觸力為

Fn1=Fn2=G2sinθ2+Bcosθ2hd（3）

如圖1所示變速曲面設計在最下方，正常滾道上滾動體1和3受載最大，以滾動體1分析，基于Stribeck理論可得到滾動體1受到的載荷為

Qmax=5Fr（Z-1）cos360Z（4）

根據圖1滾動體與滾道接觸受力分析[19]建立滾動體沿Y、Z坐標軸的力平衡方程為

Fn3sin360z=Ff3cos360z+Qmaxsin360z

Fn3cos360z+Ff3sin360z=G+Qmaxcos360z（5）

式中：Fn3為滾動體在正常滾道接觸點處的法向接觸力;Ff3為滾動體與正常滾道接觸點處的靜摩擦力;z為滾動體個數。

整理得到滾動體1與滾道接觸力為

Fn3=Qmax+Gcos360Z（6）

由式（3）和式（5）可知，變速曲面處的接觸力取決于其跨度角和寬度，正常滾道處的接觸力與滾動體的數量、材料有關，且在相同載荷下滾動體數量14、材料為氮化硅陶瓷時最大接觸力為17.371N。

圖3所示為變速曲面處接觸力變化規律，最大接觸力為1.9×10-4N，相比可以看出滾動體在正常滾道處的接觸力遠遠大于變速曲面處。此外，圖3給出了隨著變速曲面跨度角θ的增大、寬度B的減小接觸力增大。

1.3滾動體與滾道接觸應力模型建立

為避免變速曲面的尖銳邊緣在軸承運轉過程中發生彈塑性變形，將變速曲面的鋒利邊緣假設成圓弧狀，因此滾動體與變速曲面邊緣的接觸類型為點接觸。根據Hertz接觸理論[20]可知承載時由接觸點擴展成如圖4所示的橢圓形接觸面，其應力分布為半橢球形，O1為橢圓形接觸面中心，a為接觸橢圓長半軸，b為接觸橢圓短半軸，R1為滾動體半徑，R2為圓弧狀邊緣半徑。

滾動體在變速曲面中間位置時接觸區域內任意一點應力分布為

p（x，y）′=3Q2πab1-xa2-yb2（7）

接觸橢圓長半軸與短半軸分別為

a=μ×3321-υ12E1+1-υ22E23Q∑ρ（8）

b=v×3321-υ12E1+1-υ22E23Q∑ρ（9）

式中：μ和v是由F（ρ）所決定的系數，根據軸承規范獲得;∑ρ為接觸面主曲率之和，其表達式為：

∑ρ=ρ1Ι+ρ1Π+ρ2Ι+ρ2Π（10）

式中ρ1Ι、ρ1Π和ρ2Ι、ρ2Π分別為滾動體與變速曲面兩側接觸面的主曲率。

橢圓中心O1是接觸區內的最大接觸應力點，其表達式為

p=3Q2πab=6QE*2π3R*213（11）

1E*=1-υ12E1+1-υ22E2（12）

R*=（RΙRΠ）12（13）

式中：E*為等效彈性模量;R*為等效曲率半徑;E1、E2分別為滾動體和軸承外圈的彈性模量;υ1、υ2分別為滾動體和軸承外圈的泊松比;RⅠ和RⅡ為兩主曲率面內的主曲率半徑。利用光滑非協調表面幾何學[13]，對接觸面進行分析可知球面和圓柱面在接觸點處的相對主曲率半徑分別為

R1Ι=R1Π=R1=Dw/2（14）

R2Ι=R2，R2Π=∞（15）

兩曲面與各曲面的主曲率半徑關系分別為

1RΙ=1R1Ι+1R2Ι，1RΠ=1R1Π+1R2Π（16）

聯立（14）～（16）得：

RΙ=R1R2R1+R2，RΠ=R1（17）

將式（17）帶入式（13）得：

R*=（RΙRΠ）12=R12R2R1+R212（18）

由Hertz公式結合滾動體與變速曲面在接觸位置產生的最大接觸應力為

p=6QE*2π313R1+R2R12R213（19）

式中Q為變速曲面接觸點上的法向載荷，與Fn1、Fn2大小相等方向相反。

根據Hertz點接觸理論得到正常滾道處最大接觸應力為

p=6Q1E*2π313（R4+R1）（R3+R1）R12R3R413（20）

式中：Q1為正常滾道接觸點上的法向載荷，與Fn3大小相等方向相反;R3為滾道的曲率半徑;R4為外圈溝道曲率半徑。

分別聯立式（3）、（19）和式（6）、（20）得到滾動體與滾道接觸區域的最大接觸應力為：

p1=6E*2π313R1+R2R12R2213G2sin（θ/2）+Bcos（θ/2）hd13

p2=6E*2π313（R4+R1）（R3+R1）R12R3R413Qmax+Gcos360z13（21）

式中：p1為滾動體與變速曲面處的接觸應力;p2為滾動體與正常滾道處的接觸應力。

由式（21）可知，變速曲面處的接觸應力取決于接觸力和圓弧狀邊緣半徑，正常滾道處的接觸應力與接觸力、材料有關，且在相同載荷下外圈材料為軸承鋼、滾動體材料為氮化硅陶瓷時最大接觸應力為321.79MPa，圖5所示為變速曲面處接觸應力變化規律，最大接觸應力為4MPa，相比可以看出滾動體在正常滾道處的接觸應力大于變速曲面處。此外，圖5給出了隨著變速曲面圓弧狀邊緣半徑R2的增大接觸應力減小。

2滾動體-滾道有限元分析及實驗驗證

2.1滾動體-滾道仿真模型建立

在赫茲接觸理論的假設條件范圍內，首先對無保持架球軸承進行以下簡化：

1）軸承模型中對接觸分析影響較小的幾何體（倒角、圓角等）不予考慮;

2）軸承的局部接觸變形對于軸承整體而言可歸結為小變形，因此忽略接觸問題中涉及的幾何非線性和材料非線性問題，將軸承接觸問題歸屬于純邊界非線性問題;

3）本文無保持架球軸承的滾動體采用陶瓷材料，具有一定的自潤滑作用，因此不考慮油液潤滑;同時忽略軸承運轉過程中因高溫而引起的部件熱變形問題，減少解決問題的難度。

無保持架球軸承具體尺寸參數如表1所示。

本文軸承的內、外圈材料為軸承鋼（GCR1-5），滾動體材料為氮化硅陶瓷球，其二者材料的具體屬性參數如表2所示。

由于無保持架球軸承的外圈存在變速曲面，所以需要對變速曲面接觸位置的網格進行細化。無保持架球軸承模型網格劃分主要采用類型為C3D8R的六面體，其中設置內外圈的網格尺寸為1mm，滾動體的網格尺寸為0.3mm，變速曲面的網格最大尺寸為0.15mm。其網格劃分如圖6所示。

如圖6所示，在進行仿真分析時采用外圈固定、內圈受載的方式，故施加的邊界條件如下：首先約束軸承外圈外圓表面所有節點在x、y、z 3個方向上的平動和轉動自由度;由于本文的無保持架球軸承是用在高速輕載下，為模擬該工況，在z方向對軸承內圈施加載荷50N;為模擬重力對軸承的影響，對軸承整體施加z軸負方向上的重力加速度。

2.2滾動體-滾道數值模擬分析

根據有限元仿真計算得到軸承在徑向載荷下的靜力仿真應力應變云圖及曲線圖，分別如圖7、圖8所示。

由圖7仿真結果可知最大接觸應力發生在1號滾動體從變速曲面滾出后與正常滾道的接觸面處為331.4MPa，滾動體與變速曲面的接觸應力為0.003934MPa。由圖8曲線圖可知接觸點1、2、3、4與接觸點5、6、7、8的應力應變比接觸點9、10的大，因此滾動體經過變速曲面時接觸應力先變小后變大。由理論模型計算可得滾動體與滾道的最大接觸應力為321.79MPa，與仿真結果基本一致。

2.3實驗驗證

圖9所示為變速曲面磨損試驗物理樣機，本文軸承采用的滾動體為氮化硅陶瓷球，其本身具有一定的自潤滑功能，因此試驗在干摩擦條件下進行;為模擬無保持架球軸承的運轉情況，設外圈固定不動，內圈轉動，其轉速設為6000r/min，并通過支撐軸上的加載裝置在軸承徑向上施加10N的載荷，觀察變速曲面在軸承運轉一定時間內的磨損情況。

本文采用VHX-1000超景深數碼顯微鏡對磨損后的變速曲面進行測量，如圖10所示，該顯微鏡測量精度為0.01μm。圖11所示為利用超景深顯微鏡對磨損3h后的變速曲面進行測量的深度圖，接近正常滾道處的磨損深度445.8μm，中間位置的磨損深度222.9μm表明滾動體在出變速曲面處受到的摩擦力變大，結合接觸力理論分析可確定相鄰滾動體經過變速曲面時彼此不接觸。

3結論

1）由于變速曲面結構的存在，使得滾動體與滾道之間的接觸力和接觸應力發生變化，且變速曲面處的小正常滾道處;

2）通過有限元仿真進一步確定了滾動體在變速曲面和正常滾道時應力應變的不同，且正常滾道處的應力應變比變速曲面處的大;

3）通過實驗說明了滾動體經過變速曲面時的磨損深度比正常滾道處的小，摩擦力變大;

4）滾動體滾過變速曲面時接觸狀態發生改變，使相鄰滾動體處于非接觸狀態。

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（編輯：王萍）