基于Copula函數(shù)的列車定位慣性單元剩余壽命預(yù)測方法

上官偉，巴明明，孟月月

(1.北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100044；2.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044；3.北京市電磁兼容與衛(wèi)星導(dǎo)航工程技術(shù)研究中心， 北京 100044)

高速鐵路的快速發(fā)展，對列車定位技術(shù)提出了更高的要求。基于全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)和慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)的列車組合定位方式，可以實現(xiàn)列車動態(tài)的精準定位，保障列車定位的連續(xù)性、自主性，減少列車定位對軌道電路和應(yīng)答器等地面設(shè)備的依賴，降低鐵路建設(shè)投入以及運營維護成本，是列車定位技術(shù)未來的重要發(fā)展方向[1]。作為其中的關(guān)鍵設(shè)備，確保組合定位系統(tǒng)中IMU在服役期間的工作性能，對保障系統(tǒng)的定位精度和運行可靠性十分重要。列車定位慣性單元(以下簡稱“慣性單元”)是高集成度、高可靠性的捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，主要由慣性傳感器和電子部件組成。捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)直接固定在運載體上，其中精密部件慣性傳感器直接承受高速列車的振動、沖擊以及角運動。隨著運行時間的積累，慣性單元的性能會發(fā)生退化，當(dāng)退化達到一定程度時，測量系統(tǒng)不再滿足列車定位精度的要求，意味著慣性單元的有效使用壽命也隨之終結(jié)。

針對上述問題，國內(nèi)外開展了大量關(guān)于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的壽命預(yù)測研究，主要通過設(shè)備的性能退化數(shù)據(jù)，評估、預(yù)測設(shè)備服役期間的健康狀態(tài)或剩余使用壽命(Remaining Useful Life, RUL)。設(shè)備性能評價指標是實現(xiàn)RUL精確預(yù)測的重要基礎(chǔ)。現(xiàn)有的數(shù)據(jù)驅(qū)動RUL預(yù)測方法[2]，從采用不同元數(shù)性能參量的角度可分為單性能參量和多元性能參量兩大類。

單性能指標的RUL預(yù)測方法極其豐富，根據(jù)目標設(shè)備自身性能表征特點、性能數(shù)據(jù)采集的條件以及工程需求不同，進行RUL預(yù)測的思路也會不同。Huang等[3]利用狀態(tài)空間刻畫一個帶自適應(yīng)漂移的非線性Wiener過程模型，推導(dǎo)了退化漂移狀態(tài)條件下RUL預(yù)測的顯示表達式。王瑞峰等[4]建立基于Gamma退化過程的狀態(tài)空間模型，采用EM-PF算法估計模型參數(shù)，并據(jù)此求得RUL的概率密度和分布函數(shù)。Lei等[5]提出一種基于Wiener過程且考慮四源不確定性的隨機性能模型，通過離線數(shù)據(jù)與在線數(shù)據(jù)的聯(lián)合估計，實時獲得軸承的剩余壽命。Wang等[6]進一步利用一個基于多隱狀態(tài)帶非線性漂移的擴散過程，進行可充電電池RUL的預(yù)測。

目前針對具有多性能評價指標的復(fù)雜設(shè)備，進行健康狀態(tài)評估、RUL預(yù)測的方法主要有兩種途徑： ①采用數(shù)據(jù)融合的技術(shù)，先將多元性能參數(shù)信息融合后進行單特征的提取，再采用單性能參量的RUL預(yù)測方法；②直接對現(xiàn)有性能退化模型或者RUL預(yù)測模型進行擴展，采用相關(guān)性描述技術(shù)，準確、有效建立多元性能參量間的關(guān)系，確保RUL預(yù)測的精度。金曉航等[7]針對軸承具有二元性能指標，提出一種基于二元維納過程的RUL預(yù)測方法，并利用AIC準則選擇Copula函數(shù)進行描述兩個性能指標間的相關(guān)性。Hao等[8]針對LED燈的二元性能參量采用二元非線性擴散過程構(gòu)建退化模型，并基于Copula函數(shù)描述二元性能參量的依賴關(guān)系，利用蒙特卡洛(MCMC)算法進行參數(shù)估計，實現(xiàn)退化設(shè)備的可靠性評估。Peng等[9]提出一種基于逆Gaussian的二元退化模型，采用Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布，并利用兩階段貝葉斯方法進行退化過程和Copula函數(shù)參數(shù)估計。

針對慣性單元的RUL預(yù)測是對其進行健康管理、維修維護時，所需的重要健康狀態(tài)評估信息。縱觀當(dāng)前PHM領(lǐng)域技術(shù)的研究重點可知，RUL預(yù)測的關(guān)鍵是如何考慮預(yù)測的不確定性因素，建立合理的性能退化模型，獲得RUL的概率密度分布并提高RUL預(yù)測精度。周源等[10]采用加速度計的零位電壓百分比增量作為加速度計的性能退化參數(shù)，基于逆Gaussian過程建立性能退化模型，實現(xiàn)加速度計的剩余壽命預(yù)測。Miao等[11]針對慣性器件陀螺儀提出一種小波分析和SVM結(jié)合的方法，采用小波分析進行陀螺儀性能數(shù)據(jù)的預(yù)處理，利用SVM對處理后的數(shù)據(jù)進行建模，實現(xiàn)陀螺儀的剩余壽命預(yù)測。滕飛等[12]以加速度計加速退化數(shù)據(jù)為對象，提出了一種較為客觀、實用的加速退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法，其特點是基于加速因子不變原則進行加速退化數(shù)據(jù)建模，結(jié)合 Matlab軟件中的相關(guān)函數(shù)實現(xiàn)參數(shù)估計及可靠壽命預(yù)測。

根據(jù)上述文獻研究現(xiàn)狀，提出一種列車定位慣性單元的RUL自適應(yīng)預(yù)測研究方法。首先，從IMU結(jié)構(gòu)組成和功能性質(zhì)角度出發(fā)，選取慣性傳感器陀螺儀和加速度計的隨機誤差指標評價設(shè)備性能狀態(tài)，構(gòu)建IMU的性能評價指標體系。其次，采用具有普適性的非線性漂移維納過程建立性能指標退化模型。基于首達時間概念獲取RUL的概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)，在此基礎(chǔ)上，利用Copula理論描述二元性能指標間的動態(tài)相關(guān)性，建立二元性能退化模型及RUL的聯(lián)合分布。再次，根據(jù)參數(shù)分步估計的思想，先對退化模型參數(shù)利用期望最大化(Expectation Maximization, EM)和Rauch-Tung-Striebel(RTS)后向平滑聯(lián)合算法，實現(xiàn)退化模型參數(shù)的實時自適應(yīng)估計；再利用極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法更新Copula函數(shù)的相關(guān)性參數(shù)。最后，通過對比預(yù)測結(jié)果，證明本文提出的RUL預(yù)測方法可以有效減小預(yù)測的不確定性、提高預(yù)測精度。

1 列車定位慣性單元的性能指標選取

作為列控系統(tǒng)的重要裝備，列車定位單元普遍使用基于GNSS和IMU的組合定位方式，其結(jié)構(gòu)見圖1。IMU作為其中的重要組成部分，對其開展基于性能狀態(tài)的壽命預(yù)測具有重要意義。慣性單元性能的主要評價標準是測量信息的精準度。近年來，中國學(xué)者結(jié)合實際應(yīng)用，普遍采用隨機漂移中的隨機游走系數(shù)作為慣性器件的性能評價指標[13]。

圖1 基于GNSS和IMU組合的列車定位系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本文的研究對象為實驗室自主研發(fā)的列車定位系統(tǒng)中所采用的微機電型慣性測量單元(MEMS-IMU)。該型號慣性單元的產(chǎn)品標準規(guī)格說明中，明確標明隨機游走系數(shù)是該型號慣性單元內(nèi)MEMS慣性器件的主要性能指標。因此，本文針對列車定位慣性單元的性能指標體系為加速度計的速率隨機游走系數(shù)和陀螺儀的角度隨機游走系數(shù)。

本文用于研究驗證的數(shù)據(jù)是對目標慣性單元失效前近2年服役過程中周期性監(jiān)測得到的測量數(shù)據(jù)。根據(jù)實驗需求和實際應(yīng)用安排，針對目標慣性單元每7 d作為一個采樣間隔進行性能監(jiān)測。在相同的采集條件下，性能監(jiān)測采集周期共計85周，總計85組性能退化數(shù)據(jù)。

高速列車具有沿軌道水平運動的特點，根據(jù)列車定位系統(tǒng)車內(nèi)實驗的安裝方式，可知慣性單元的主要敏感軸為x軸與y軸。

針對目標慣性單元退化周期內(nèi)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，采用Allan方差法[14]對敏感方向上慣性器件的測量數(shù)據(jù)進行性能指標辨識，所得每個監(jiān)測點的性能退化量見圖2。

圖2 IMU關(guān)鍵部件性能監(jiān)測數(shù)據(jù)

由圖2可知，沿敏感方向y軸的慣性傳感器，監(jiān)測獲得的性能指標參數(shù)具有明顯的退化趨勢。因此，為有效評估設(shè)備的健康狀態(tài)，列車定位慣性單元的性能評價指標參數(shù)為y軸加速度計和陀螺儀的隨機游走系數(shù)。

根據(jù)列車定位系統(tǒng)的精度指標要求，結(jié)合實驗室列車組合定位系統(tǒng)中目標慣性設(shè)備的性能指標評價體系，慣性單元性能的失效閾值設(shè)定情況如表1所示。

表1 慣性單元性能指標的失效閾值

2 基于Copula函數(shù)的慣性單元剩余壽命建模方法

2.1 單性能參量的剩余壽命建模

2.1.1 單性能參量的性能退化模型

由第1節(jié)可知，列車定位慣性單元的性能狀態(tài)可由陀螺儀和加速度計的性能指標共同表征，且兩種慣性器件的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)均呈現(xiàn)非單調(diào)、連續(xù)波動的特點，表明單部件的性能退化過程具有明顯的隨機性和時變不確定性。對此本節(jié)將基于具有一般性帶有非線性漂移Wiener過程進行單部件的性能退化建模。

假設(shè)單部件的性能退化過程為{X(t),t≥0}，基于帶非線性漂移Wiener過程建立的性能退化模型為

( 1 )

性能退化軌跡的個體差異性見圖3。由圖3可以看出，實際退化過程中，設(shè)備性能狀態(tài)退化估計，不僅和當(dāng)前時刻的性能退化量相關(guān)，而且依賴于設(shè)備歷史性能退化軌跡。

圖3 性能退化軌跡的個體差異性

為了充分利用設(shè)備性能退化軌跡信息，假設(shè)當(dāng)前監(jiān)測時刻為tk，單部件的性能退化模型可以重構(gòu)為以下狀態(tài)空間模型

( 2 )

依據(jù)式(2)和STF濾波技術(shù)的高斯特性可知，基于X0:k的漂移狀態(tài)λx的概率密度分布為高斯分布，即

( 3 )

2.1.2 單性能參量的RUL分布

基于性能退化過程首達時間的概念,認為當(dāng)性能退化過程{X(t),t≥0}初次到達預(yù)先設(shè)定的性能指標失效閾值ω時，判定部件發(fā)生了失效。因此，性能退化模型{X(t),t≥0}對應(yīng)壽命的數(shù)學(xué)定義為

T=inf{t:X(t)≥ω|X(0)<ω}

( 4 )

根據(jù)式(4)，文獻[16]給出退化過程基于首達時間的壽命概率密度函數(shù)如下

( 5 )

Lk=inf{lk:X(lk+tk)≥ω|X0:k}

( 6 )

由文獻[2]的相關(guān)推論可知，基于性能退化過程的狀態(tài)空間模型式( 2 )和部件運行到當(dāng)前時刻的全部監(jiān)測數(shù)據(jù)X0:k，監(jiān)測時刻tk處RUL的概率密度分布fLk|X0:k(lk|X0:k)為

( 7 )

綜上所述，每當(dāng)監(jiān)測獲取新的性能退化數(shù)據(jù)xk，可通過漂移狀態(tài)λk的更新機制，依賴全部歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)X0:k，并利用式(7)自適應(yīng)的更新RUL的概率密度分布，實現(xiàn)RUL的實時預(yù)測。

2.2 二元性能參量的相關(guān)性分析方法

2.2.1 二元Copula函數(shù)原理

Copula函數(shù)是把多個隨機向量X1,X2,…，XN的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,…,xN)與各自對應(yīng)的邊緣分布函數(shù)u1,u2,…,uN相連接的函數(shù)，表達式為

F(x1,x2,…，xN)=C(u1,u2,…,uN;θ)

( 8 )

式中：C(u1,u2,…,uN;θ)為Copula函數(shù)。其中，θ為相關(guān)性參數(shù);ui為第i(i=1,2,…,N)個隨機變量的邊緣分布。

Sklar定理是用來證明Copula函數(shù)存在性的定理。其中，針對二元變量聯(lián)合分布的Sklar定理為：

假設(shè)H(x,y)是邊緣分布分別為F(x)、G(y)的二元變量聯(lián)合分布函數(shù)，則必定存在一個Copula函數(shù)C(u1,u2)滿足H(x,y)=C[F(x),G(y)]。若F(x)，G(y)是連續(xù)函數(shù)，那么C(u1,u2)唯一確定；相反，若F(x)、G(y)是一元分布函數(shù)，C(u1,u2)是Copula函數(shù)，則H(x,y)是具有邊緣分布為F(x)、G(y)的二元聯(lián)合分布函數(shù)。

2.2.2 二元Copula函數(shù)選擇方法

根據(jù)Sklar定理，在已知Copula函數(shù)具體表達形式的前提下，可以更加靈活地建立多元變量間的聯(lián)合分布。

選擇對多元變量間相關(guān)性描述適配度較高的Copula函數(shù)，有助于提高基于二元性能退化過程RUL預(yù)測的精度。本文基于性能指標的邊緣分布和Coupla相關(guān)基礎(chǔ)理論，通過邊緣分布的二元直方分布特性及其與經(jīng)驗Copula函數(shù)的歐氏距離，綜合評判選取最佳適配Copula函數(shù)來描述兩個性能變量間的動態(tài)相關(guān)性。

定義經(jīng)驗Copula：設(shè)(xi,yi)(i=1,2,…,n)為取自二維總體(X,Y)的樣本。將X，Y的經(jīng)驗分布函數(shù)分別記為Fn(x)和Gn(y)，得到樣本的經(jīng)驗Copula函數(shù)定義如下

(9)

2.3 二元性能參量的剩余壽命建模

2.3.1 二元性能參量退化過程

假設(shè)基于二元性能指標設(shè)備的性能退化過程Z(t)={X1(t),X2(t),t≥0}，其中，Xi(t)(i=1,2)為2.1.1節(jié)中描述的單部件性能退化過程，并且滿足以下假設(shè)：

假設(shè)1：設(shè)備兩個性能指標的退化過程均可利用帶線性或非線性漂移的Wiener過程進行建模，如式(1)。

假設(shè)2：針對同一設(shè)備，兩個性能指標的監(jiān)測時間和間隔保持同步。

假設(shè)3：兩個性能指標的退化存在相關(guān)性，且相關(guān)性可以利用某種二元Copula函數(shù)進行合理描述。

假設(shè)4：當(dāng)設(shè)備的任意一個性能退化過程的退化量超過其對應(yīng)失效閾值時，視作設(shè)備失效，設(shè)備的失效閾值向量記為W=[ωi],i=1,2。

2.3.2 RUL聯(lián)合分布模型

假設(shè)設(shè)備在當(dāng)前監(jiān)測時刻tk未發(fā)生失效，根據(jù)式(6)和二元性能退化過程失效定義(假設(shè)4)，基于二元性能指標設(shè)備的RUL定義如下

(10)

(11)

(12)

3 預(yù)測模型參數(shù)分步自適應(yīng)更新方法

3.1 性能退化模型參數(shù)自適應(yīng)估計算法

假設(shè)單性能指標退化模型中“隱含”狀態(tài)λ的歷史數(shù)據(jù)為Υk={λ0,λ1,…,λk}，EM算法的基本原理是通過最大化聯(lián)合似然函數(shù)p(X0:k,Υk|ψ)來逼近參數(shù)的極大似然估計。

圖4為EM算法過程，L(θ)為完全數(shù)據(jù)的極大似然函數(shù)，B(θ,θi)為極大似然函數(shù)的下界函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)θ=θi時，兩函數(shù)值才相等。在E步，已有一個估計的參數(shù)值(初始化或上次迭代計算出的參數(shù))，但是此時這個參數(shù)值對應(yīng)B(θ,θi)的值不等于L(θ)的值。因此在E步以當(dāng)前的估計參數(shù)，極大化B(θ,θi)，使得該參數(shù)對應(yīng)的B(θ,θi)與L(θ)的數(shù)值相等。結(jié)果見圖4，θ=θi處極大似然函數(shù)與下界函數(shù)的函數(shù)值相等。在M步，求出使得B(θ,θi)取得極大的參數(shù)θi+1，然后將其作為下一次迭代的當(dāng)前參數(shù)值。

圖4 EM算法過程圖

EM算法主要步驟包括：

E步-對似然函數(shù)求期望得

(13)

M步-求極值

(14)

最后，通過EM算法循環(huán)迭代可得到ψ的最終估計值。

其中，根據(jù)單性能指標退化過程的狀態(tài)空間模型式(2)，E步-計算期望可以表示為

(15)

Step2后向迭代最優(yōu)平滑估計。

form=k:1

Step3協(xié)方差初始化。

Step4平滑協(xié)方差的后向迭代計算。

Zm|k=Pm|mJm-1+Jm(Zm+1|k-Pm|m)Jm-1

(16)

(17)

(18)

3.2 Copula函數(shù)未知參數(shù)估計

(19)

于是得到對數(shù)似然函數(shù)為

(20)

求解對數(shù)似然函數(shù)的最大值點，即可得Copula函數(shù)的未知參數(shù)的估計為

(21)

未知參數(shù)向量Ψ自適應(yīng)的更新估計流程如下。

Step1將模型參數(shù)Ψ分成兩部分：ψ退化模型參數(shù)和Copula函數(shù)的參數(shù)θ。

Step3基于EM算法性能退化模型參數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測：

4 仿真測試與驗證

本節(jié)針對第2、3節(jié)提出的列車定位慣性單元的RUL自適應(yīng)預(yù)測方法，利用第1節(jié)中描述的慣性單元性能退化的實際監(jiān)測數(shù)據(jù)，進行實驗分析和模型、算法的有效性驗證。

4.1 慣性單元性能監(jiān)測數(shù)據(jù)分析

根據(jù)鐵路應(yīng)用RAMS標準，列車定位慣性單元中慣性器件的失效閾值如表1所示，陀螺儀的性能退化軌跡于第64個監(jiān)測點達到失效閾值，加速度計的性能退化軌跡于第85個監(jiān)測點首次到達失效閾值。由設(shè)備失效定義推知，該實驗設(shè)備在初始監(jiān)測點的真實RUL為64周。

4.2 基于單性能指標的剩余壽命預(yù)測

陀螺儀和加速度計在每個監(jiān)測點處的實際退化量與一步預(yù)測結(jié)果的均方誤差(MSE)見圖5。預(yù)測的退化軌跡在前期由于數(shù)據(jù)不夠充足與實際退化軌跡略有出入。此外，陀螺儀和加速度計性能退化量預(yù)測MSE的期望分別為0.71×10-2與0.64×10-4。特別的在設(shè)備判定的失效監(jiān)測點處，陀螺儀性能退化量預(yù)測的MSE為0.21×10-2，加速度計性能退化量預(yù)測的MSE為0.47×10-4。表明本文采用的非線性漂移Wiener過程可以對不同類型的慣性器件的退化過程進行有效建模。

圖5 慣性器件性能退化量一步預(yù)測的MSE

由式(17)和式(18)計算可以得到陀螺儀、加速度計性能退化模型參數(shù)隨著性能監(jiān)測數(shù)據(jù)的累積，在各監(jiān)測點自適應(yīng)估計、更新的軌跡見圖6、圖7。由圖6、圖7可見，模型參數(shù)可以敏感性能退化過程的狀態(tài)變化保持更新。與參考文獻[10]中使用EM算法對共軛先驗分布函數(shù)超參數(shù)值進行估計方法相比，本文提出的參數(shù)分步自適應(yīng)估計的方法不受先驗初始化信息的影響，具有良好的魯棒性，為實現(xiàn)RUL的自適應(yīng)預(yù)測奠定基礎(chǔ)。

圖6 陀螺儀性能退化模型參數(shù)更新曲線

圖7 加速度計性能退化模型參數(shù)更新曲線

已知各慣性器件的失效點，由此可推出在每個監(jiān)測點處慣性器件的實際RUL。為進一步定量評價RUL預(yù)測結(jié)果，定義實際RUL與RUL預(yù)測的期望均方誤差(EMSE)為

(22)

圖8 單性能指標RUL自適應(yīng)預(yù)測結(jié)果

圖8(a)、圖8(b)為慣性器件失效前多個關(guān)鍵監(jiān)測點處剩余壽命的PDF曲線，可看出預(yù)測的PDF曲線包含實際剩余壽命點，并隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的累積曲線逐漸變窄，意味著RUL預(yù)測的不確定逐漸減小。

圖9(a)、圖9(b)為慣性器件在各個監(jiān)測點剩余壽命預(yù)測的EMSE，在慣性器件各自的失效點處，陀螺儀RUL預(yù)測的EMSE為0.72，加速度計的EMSE為0.33。通過觀察EMSE曲線可以得出隨著數(shù)據(jù)累計RUL的預(yù)測精度將不斷提高。

圖9 單性能指標RUL的EMSE

4.3 基于Copula函數(shù)的剩余壽命預(yù)測

通過將設(shè)備失效前多個關(guān)鍵監(jiān)測點處的二元分布直方圖，與不同形式Copula函數(shù)的分布密度圖進行對比，可以初步選定的Copula函數(shù)類型有Gaussian、Frank和Gumbel函數(shù)。接著，根據(jù)極大似然估計的方法對相應(yīng)Copula函數(shù)的未知參數(shù)進行估計，并據(jù)此求解歐氏距離，依據(jù)距離越小相關(guān)性描述越精準的原則，選定Gumbel函數(shù)作為描述二元變量相關(guān)性的Copula函數(shù)。

完成Copula函數(shù)選擇和基于式(21)的參數(shù)極大似然估計后，根據(jù)式(12)計算設(shè)備的實時剩余壽命概率密度函數(shù)，得到設(shè)備RUL概率密度曲線見圖10。

圖10 RUL概率密度曲線

藍色實線是陀螺儀的PDF預(yù)測曲線，綠色點劃線是加速度計的PDF預(yù)測曲線，紅色虛線為基于陀螺儀和加速度計二元性能參量的PDF預(yù)測曲線。相較于另外兩條PDF曲線，二元性能參量的預(yù)測曲線方差較小、收斂更加集中、尖銳，具有較高的峰值。

在失效前的最后6個監(jiān)測時刻，分別采用陀螺儀性能指標、加速度計性能指標和二元性能參量3種不同性能退化指標，計算RUL預(yù)測期望值，并計算預(yù)測的RUL期望值與實際RUL的均方相對誤差(MRE)為

(23)

表5 基于3種性能指標方案的RUL預(yù)測的期望和MRE

由表5可知，在失效前最后6個監(jiān)測時刻，考慮二者相關(guān)性RUL預(yù)測期望值的平均MRE為9.87%，基于陀螺儀RUL預(yù)測的平均MRE為13.14%。可明顯看出本文提出的基于Copula函數(shù)的二元性能參量剩余壽命預(yù)測方法可以充分利用設(shè)備組成部件的性能退化信息，提高RUL預(yù)測精度。

5 結(jié)論與展望

本文主要針對列車定位慣性單元RUL預(yù)測方法進行研究，基于列車定位慣性單元的性能評價指標體系，構(gòu)建了基于Copula函數(shù)的二元性能參量剩余壽命聯(lián)合分布模型，并采用未知參數(shù)自適應(yīng)分步更新的方法，實現(xiàn)RUL的自適應(yīng)更新預(yù)測。結(jié)果表明，本文提出的基于二元性能參量的RUL預(yù)測方法可以提高預(yù)測精度，對存在多個退化變量且它們關(guān)系未知的設(shè)備的剩余壽命預(yù)測有著重要的參考價值。

后續(xù)工作中在列車定位慣性單元具有較多退化、失效數(shù)據(jù)時，可以結(jié)合機器學(xué)習(xí)與隨機過程方法預(yù)測設(shè)備RUL，進一步豐富RUL預(yù)測結(jié)果，提高RUL的預(yù)測性能。