分?jǐn)?shù)階MAC 系統(tǒng)同步及其在保密通信中的應(yīng)用

李賢麗，溫玉玉，朱金元，湯俊杰

（東北石油大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

近幾年來，隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)性質(zhì)，混沌理論的研究及應(yīng)用在很多領(lǐng)域都引起了極大的關(guān)注。研究者發(fā)現(xiàn)了很多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，如Duffing振子[1-2]、chua系統(tǒng)[3-5]、Liu 系統(tǒng)等[6-7]。為了豐富和發(fā)展分?jǐn)?shù)階混沌研究，也基于混沌在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，關(guān)于系統(tǒng)的同步控制以及在保密通信中的研究等逐步引起了大家的關(guān)注。

十九世紀(jì)末，Pecora 與Carroll 首次實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步，從此研究者們開始對混沌同步展開了深入的探索，并且出現(xiàn)了很多同步方式和同步方法，如完全同步[8-9]、滑膜同步[10-11]、自適應(yīng)同步[12]、主從同步[13-14]、投影同步[15-16]等。這些方法與方式適用于整數(shù)階混沌系統(tǒng)的同時，對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)仍然適用，且生活中大多實(shí)際模型都是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，因此，對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)作進(jìn)一步的研究是有必要的。

文中對分?jǐn)?shù)階MAC 系統(tǒng)的混沌同步進(jìn)行了探索和研究，并且將其應(yīng)用在通信數(shù)據(jù)的保密傳輸中。基于李雅普諾夫直接法對系統(tǒng)進(jìn)行了混沌同步，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的同步控制[17]，基于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理[18]，成功實(shí)現(xiàn)了信號的加密與解密。

1 分?jǐn)?shù)階MAC混沌系統(tǒng)

L.O.Chua 等提出了雙渦卷MAC 系統(tǒng)，該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程如下:

式中，x、y、z、w是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，q為系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，g(y-x)=m1(y-x)+0.5(m0-m1)[|y-x+x1|- |y-x-x1|]為3 個分段線性奇函數(shù)，α=2、β=20、γ=1.5、m0=-0.2、m1=3，x1是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，可為任意值，選取x1=0.5，在該取值下，利用預(yù)估-校正算法計(jì)算出分?jǐn)?shù)階MAC 系統(tǒng)隨分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)q變化的分岔圖，如圖1 所示。

圖1 系統(tǒng)隨階數(shù)q 變化的分岔圖

從圖1 可以得出當(dāng)階數(shù)q∈[0.93,1)時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖2 為階數(shù)q取0.95 時的混沌吸引子。

圖2 階數(shù)q=0.95時的混沌吸引子

2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步

2.1 同步控制原理

若兩個n維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)如下：

其中，x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，u為系統(tǒng)同步設(shè)計(jì)的控制器。式（2）為驅(qū)動系統(tǒng)，式（3）為響應(yīng)系統(tǒng)。定義誤差為：

要使驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步，則需設(shè)計(jì)合適的控制器，使x(0)和y(0)在任意初始狀態(tài)都滿足下列條件，即：

其中，‖ ‖· 為Rn中的范數(shù)，則系統(tǒng)的同步研究就轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)誤差的分析。該文采用李雅普諾夫直接法構(gòu)造出一個能量函數(shù)V，通過計(jì)算V對時間的全導(dǎo)數(shù)來判斷系統(tǒng)是否達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。選擇李雅普諾夫函數(shù)，計(jì)算該函數(shù)對時間的全導(dǎo)，若對誤差方程的解為負(fù)定的，則誤差系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定，即=0,i=1,2,…,n。故需選擇合適的控制器u使對誤差函數(shù)的解負(fù)定，從而使兩系統(tǒng)達(dá)到同步。

2.2 控制器的選擇

取式（1）作為驅(qū)動系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)如下：

2.3 同步數(shù)值仿真

利用預(yù)估-校正算法，對誤差系統(tǒng)進(jìn)行Matlab數(shù)值仿真，設(shè)定驅(qū)動系統(tǒng)（1）的初始值為x(0)=0.2、y(0)=0.2、z(0)=0.2、w(0)=0.1，響應(yīng)系統(tǒng)（6）的初始值為X(0)=5、Y(0)=6、Z(0)=4、W(0)=6，階數(shù)q=0.95。經(jīng)過Matlab 軟件仿真，同步誤差曲線如圖3 所示。

圖3 系統(tǒng)（1）與（6）的同步誤差曲線

由圖可以看出，兩系統(tǒng)的同步誤差隨時間t的變化逐漸趨于零，且在同步過程中非常平滑，沒有反復(fù)震蕩的現(xiàn)象，表明驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)趨于同步狀態(tài)。

3 系統(tǒng)同步在保密通信中的應(yīng)用

3.1 基于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的混沌遮掩方案

考慮如下混沌系統(tǒng)：

再次構(gòu)造一個新的系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)：

其中，y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，定義兩系統(tǒng)的同步誤差為e(t)=x(t)-y(t)，其解如下：

從式（13）可以得出，當(dāng)矩陣A具有實(shí)部為負(fù)的特征值時，兩系統(tǒng)即可達(dá)到完全同步。

基于上述同步方法對消息信號進(jìn)行混沌掩蓋，將要傳輸?shù)南⑿盘杋(t) 直接加到h(x(t))中的某一項(xiàng)，得到混沌信號與消息信號的疊加信號s(t)，混沌信號與數(shù)據(jù)信號經(jīng)過混合傳輸?shù)浇邮斩?。此時，輸出端輸出的信號即為同步后的混合信號h(y(t))，由于混沌系統(tǒng)已達(dá)到同步，所以在輸出信號減去原混沌信號即可恢復(fù)出數(shù)據(jù)信號。

接收端的混沌響應(yīng)系統(tǒng)如下：

利用接收端的混沌信號減去h(x(t))，得到解密后的消息信號為：

根據(jù)上述分析，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)信號的加密和解密，也就實(shí)現(xiàn)了利用混沌信號對消息信號進(jìn)行保密的目的。

3.2 數(shù)值仿真

將分?jǐn)?shù)階MAC 系統(tǒng)寫成如下形式：

可以得到，當(dāng)矩陣A具有實(shí)部為負(fù)的特征值時，兩系統(tǒng)即可達(dá)到完全同步，從而能夠成功恢復(fù)出消息信號。在數(shù)值仿真中，選取系統(tǒng)（17）和（18）的初始值為（0.2,0,0.1,0.1）和（1,2,1,3），圖4(a)為需要加密的消息信號，圖4(b)為消息信號與混沌信號疊加的掩蓋信號，圖4(c)為接收端恢復(fù)出來的消息信號，圖4(d)計(jì)算出了該信號與原始信號的誤差曲線圖，從圖中可以看出，在很短時間內(nèi)，消息信號能夠成功恢復(fù)出來。

圖4 消息信號的加密與解密波形圖

4 結(jié)論

該文對分?jǐn)?shù)階MAC 混沌系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析與計(jì)算，用Matlab 軟件仿真出了系統(tǒng)隨階數(shù)變化的分岔圖，從圖中可以得出系統(tǒng)在各個階數(shù)范圍下的運(yùn)動狀態(tài)。用李雅普諾夫直接法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的同步控制[19-20]，從仿真出的誤差結(jié)果可以看出，驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)誤差值隨時間的變化趨于零，表明系統(tǒng)已達(dá)到同步。最后，通過同步控制實(shí)現(xiàn)了保密通信，經(jīng)過數(shù)值仿真得到了數(shù)據(jù)信號的波形圖，并且繪制出原數(shù)據(jù)信號和恢復(fù)信號的誤差圖，經(jīng)過短暫同步時間后，誤差逐漸趨于零，成功實(shí)現(xiàn)了信號的加密與解密。