基于位移的RC框架結構與附加消能減震裝置一體化設計

劉宗成 ，韓建平

（1.蘭州理工大學甘肅省土木工程防災減災重點實驗室，甘肅 蘭州 730050；2.蘭州理工大學西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，甘肅 蘭州 730050）

引言

在地震造成的巨大人員傷亡和財產損失面前，全社會迫切需要提升結構抗震及保障生命財產安全的能力［1］。通過在原結構附加消能減震裝置，消能減震設計可在比傳統抗震設計更經濟的情況下實現特定性能目標［2］。在2011年日本東北大地震中經受考驗的消能減震結構，也為結構工程師采用消能減震技術增強了信心［3－4］。

現行消能減震結構設計方法，通常是先進行主體結構設計，再選擇和布置消能減震裝置。由于主體結構與附加消能減震裝置之間的耦合相關性，為實現預期性能目標，需要進行迭代計算。如潘鵬等［5］提出通過將消能減震裝置看作等代斜撐的方式進行消能減震設計的流程，并研發EDStruDesign 程序輔助計算等效阻尼比及等效支撐參數；李鋼等［6］采用以結構構件設計為主，消能器為強度補充的設計思想，提出了適用于現存結構加固改造的設計流程，大大減少了以往設計方法中的迭代次數。如何進一步簡化消能減震結構設計流程，減少甚至避免設計過程中的迭代計算，對消能減震技術的推廣應用具有重要意義。

20 世紀90 年代，在航空航天領域，MESSAC 等［7］提出動態系統的控制-結構一體化設計（Control-Structure Integrated Design，CSID）方法；在工程結構減震控制領域，CIMELLARO 等［8～10］提出結構體系和控制體系分步進行設計的一體化設計方法：首先將結構體系的參數視為不變量、使用LQR 算法對控制體系進行設計以達到目標位移，其次以減小控制能量為目標，對結構與控制體系重新進行設計；周麗萍等［11］運用協同優化策略，使用魚群算法對鋼結構與控制體系進行了一體化設計，結果表明經協同優化設計的受控結構體系性能優于通過串行方法設計的結構體系；KIM 等［12］采用多目標遺傳算法，考慮附加剛度、阻尼和調諧質量阻尼器質量等參數，提出斜交網格體系及控制裝置的一體化設計方法，研究表明：該方法對于高層斜交網格體系在風荷載及地震作用下的動力響應具有良好的控制效果；PARK 等［13］以裝配黏彈性阻尼器的一體化體系為研究對象，以減小全生命周期成本為目標，使用遺傳算法對最優設計參數進行了搜索。研究表明：其提出的設計方法可在結構全生命周期成本保持較低值的同時，提升結構在地震作用下的性能。

現有研究工作對主體結構與附加消能減震裝置一體化設計進行了許多探索，但多采用智能算法，就工程設計而言較為復雜，不能便捷地得出附加消能減震裝置的設計參數?；谖灰频目拐鹪O計方法將位移作為控制參數，側重于在相應水準地震作用下實現給定的目標位移，不僅可以與以應變為基礎的損傷極限狀態聯系到一起，還可以從宏觀上對結構的整體響應進行合理控制［14］。因此，本文結合基于位移的消能減震設計方法和一體化設計方法，提出一種主體結構與附加消能減震裝置的一體化設計方法?；谒x地震動記錄的位移反應譜，結合主體結構信息及預期性能目標，直接得出附加消能裝置及支撐參數，以圖避免消能減震結構設計方法中的迭代計算。在設計流程中，引入無量綱成本指數，以成本指數最小為目標函數，在可實現目標性能的附加消能減震裝置參數中識別最優設計參數。采用SAP2000 設計6層RC 框架結構，基于特定性能目標對該結構進行一體化設計，對所提出方法在結構設計中的應用進行探索。

1 基本理論

1.1 地震動記錄選擇及位移反應譜

位移反應譜是基于位移的抗震設計的基礎，該研究使用強震記錄選取程序GMS［15］，根據結構設計信息（II 類場地、設計地震分組第三組和水平地震影響系數最大值0.45（設防地震）），選取了7 條地震動記錄見表1。所選地震動記錄對應的地震影響系數曲線及其平均值與規范中地震影響系數曲線的對比如圖1所示。

圖1 所選地震動記錄地震影響系數曲線及其平均值與規范譜對比Fig.1 Seismic influence coefficient curves of selected ground motion records and the mean value comparing to the coded spectrum

表1 選取的地震動記錄Table 1 Selected ground motion records

1.2 主體結構-附加消能減震裝置數學模型

歐進萍等［16］對裝配有速度相關型阻尼器的結構地震響應進行了研究，并建立了阻尼器-支撐部件各參數之間的關系。圖2（a）所示單層單跨結構，計算簡圖如圖2（b）所示。

圖2 主體結構與附加消能減震裝置示意圖Fig.2 Sketch of the main structure and the supplemental energy dissipation device

裝配黏滯阻尼器的結構體系，其阻尼器-支撐部件的存儲模量k'(ωd)與損失模量c'(ωd)：

裝配黏彈性阻尼器的結構體系，其阻尼器-支撐部件的存儲模量k'(ωd)與損失模量c'(ωd)：

式中：kb為支撐剛度；k'v與k″v分別為阻尼器存儲模量與損失模量，k'v=kv，k″v=cvω0。對于黏滯阻尼器，k'v= 0。

根據功-能關系，圖2所示模型滿足如下關系：

式中：k為一體化體系總抗側移剛度；ks為主體結構抗側移剛度；θ為阻尼器-支撐部件軸線與水平方向夾角。

根據阻尼比公式ξd=c/2mω，可得損失模量：

式中：ξd為阻尼比；k為剛度；m為質量；f為放大系數。

1.3 附加消能減震裝置的附加阻尼比

一體化結構體系的阻尼由主體結構固有阻尼與附加消能減震裝置所提供的附加阻尼兩部分組成：

式中：ξs為主體結構的固有阻尼比，該研究中鋼筋混凝土框架結構取ξs= 5%；ξd為附加消能減震裝置所產生的附加阻尼比：

式中：Wj為消能裝置j在結構預期位移下往復循環一周所消耗能量；Wk為結構的模態應變能；uj為消能裝置j沿其兩端之間的軸向位移；φi為結構第i層第一階模態位移；φrj為消能裝置j兩端沿水平方向第一階模態位移之差。在已知阻尼比ξd和主體結構特性時，可由式（8）反推出阻尼系數c。同時，此公式可以用來檢驗MDOF體系和與其等效的SDOF體系之間阻尼比的一致性。

1.4 無量綱成本指數

為從經濟性的角度實現最優一體化設計，以相對成本比值為基礎，引入無量綱成本指數［17］，成本指數Ctot及相對成本指數-Ctot表達式如式（9）和式（10）所示。

式中：Cs和Cb分別為主體結構增加單位抗側移剛度成本和附加消能減震裝置增加單位剛度成本；Cv為附加消能減震裝置增加單位黏滯系數成本。

CASTALDO 等［17］指出：相較主體結構，附加消能減震裝置可通過增大支撐截面等方法來便捷地增加剛度，因此Cb/Cs常取0.5左右。一體化結構體系的阻尼參數受阻尼器性能、地震動特性和結構特性等多方面因素影響，因此Cv/Cs變化范圍較大。見表2，本文Cb/Cs取定值0.4，Cv/Cs在0.2～60 范圍內取值。Cb/Cs和Cv/Cs的取值可隨工程項目實際情況進行調整。

表2 相對成本比Table 2 Relative cost ratio

2 RC框架結構-消能減震體系一體化設計

一體化設計方法主要包含五步：

（1）獲得平均位移反應譜

基于所選地震動記錄，采用同一阻尼比，分別計算每條地震動記錄對應的位移反應譜，并求其平均譜Sd,avg。依次改變阻尼比，求得不同阻尼比對應的平均位移反應譜曲線，如圖3所示。

圖3 平均位移反應譜Fig.3 Average displacement response spectra

（2）確定阻尼比需求

基于平均位移反應譜數據，擬合出以平均位移反應譜Sd,avg、自振周期T和阻尼比ξ為坐標軸的三維曲面（圖4）?；趫D4 或其所代表的矩陣，在已知結構體系自振周期T與目標位移utarget時，可確定結構體系的阻尼比需求。

圖4 阻尼比需求曲面Fig.4 Damping ratio demand surface

當結構體系阻尼比已知時，有阻尼圓頻率與周期分別為：

（3）計算體系存儲模量和損失模量

根據公式（5）和公式（6）計算阻尼器-支撐部件的存儲模量k'(ωd)和損失模量c'(ωd)。

（4）確定附加消能減震裝置設計參數

在已知存儲模量、損失模量時，根據公式（1）和（2）可推導出黏滯阻尼器-支撐部件的支撐剛度kb和阻尼系數cv：

根據公式（3）和（4），可推導出黏彈性阻尼器-支撐部件的阻尼器剛度kv、阻尼系數cv及支撐剛度kb滿足關系：

以采用黏滯阻尼器和體系目標位移utarget=5cm 為例，對附加消能減震裝置設計參數kb和cv進行評估，如圖5（a）和圖5（b）所示。

圖5 參數kb和cv變化示意圖Fig.5 Diagrammatic sketch of the parameters kband cv

如圖5（a）和圖5（b）所示，在主體結構抗側移剛度占一體化結構體系總剛度比例ks/k不變的情況下，隨著體系周期增大，附加消能減震裝置的剛度與阻尼需求均呈下降趨勢。而在附加消能減震裝置所提供的剛度與阻尼一定的情況下，隨著體系周期減小，ks/k逐漸增大，即一體化結構體系的抗側移剛度更多由主體結構貢獻。

（5）最優設計參數識別

根據公式（11）～公式（14），通過不斷變化一體化結構體系周期T和ks/k，可獲得每個目標位移utarget對應的kb和cv參數矩陣。以相對成本指數-Ctot最小為目標函數，在眾多可實現目標位移的設計參數矩陣中進行最優設計參數ks/k,optimum、kb,optimum及cv,optimum的識別。以表2 工況3 為例，對最優設計參數進行識別并將結果可視化，如圖6所示。

圖6 ks/k、kb和cv的最優值Fig.6 Optimal values of ks/k，kb and cv

由圖6（a）可知：在目標位移不變、結構周期較小時，主體結構抗側移剛度對一體化結構體系的抗側移剛度貢獻更大。隨著結構周期增大，ks/k比值不斷減小，即主體結構對一體化結構體系抗側移剛度的貢獻占比減小。處于以ks/k= 1為邊界的區域內的結構，無需額外消能減震裝置即可實現性能目標。由圖6（b）和圖6（c）可知：周期T不變時，隨著目標位移減小，附加消能減震裝置支撐剛度kb與阻尼系數cv增大。目標位移不變時，附加消能減震裝置支撐剛度kb與阻尼系數cv隨結構周期增大總體上呈先降后升的趨勢。

至此，一體化結構體系設計參數ks/k、kb和cv均已獲得，設計流程結束。

3 數值算例

3.1 結構設計信息

為研究所提出一體化設計方法在實際設計過程中的可行性，本文使用SAP2000設計一棟6層RC框架結構進行分析。結構設防烈度為8度，抗震等級為二級，設計地震分組為第三組，場地類型為II類，結構阻尼比取5%。結構共6層，層高3.6 m。框架柱截面尺寸均為600 mm×600 mm，結構平面布置圖及梁截面尺寸如圖7所示，板厚120 mm。梁柱混凝土等級均為C35，縱筋均為HRB335級。

圖7 6層RC框架結構平面布置圖Fig.7 Plane layout of the 6-story RC framed structure

3.2 SDOF體系一體化設計

使用位移反應譜進行一體化設計，首先需要將體系等效為SDOF 體系。此處采用體系質量、自振周期、抗側移剛度及阻尼比相同的方式進行等效。

黏滯阻尼器是一種典型的被動減震裝置，在合理布置的情況下擁有較為理想的減震效果［18］。本文以黏滯阻尼器為例，對使用SAP2000所設計結構的等效單自由度體系進行一體化設計。提取所設計結構基本信息：m=4.52×106kg，自振周期T1= 0.97 s，自振頻率ω1= 6.44 rad/s。據圖4可知：自振周期T1對應的體系最大位移平均值u=5.36 cm（ξ= 5%）。

假定一體化結構體系目標位移utarget=4 cm，相對成本比值取表2 中工況3（Cb/Cs= 0.4，Cv/Cs= 5），則一體化結構體系總抗側移剛度k= 41.47 ×m。在圖6（a）所對應矩陣中查找或將圖6（a）在目標位移utarget=4 cm處進行切片（圖8），可得ks/k最優值ks/k= 0.982。則主體結構抗側移剛度：

圖8 最優設計參數及相對成本比值Fig.8 Optimal design parameters and relative cost ratio

同理將圖6（b）和圖6（c）在目標位移utarget=4 cm 處進行切片（圖8），可得附加消能減震裝置剛度kb和阻尼系數cv最優值：

據圖3 可知：目標位移utarget=4 cm 時，總阻尼比需求ξ= 13.2%( )ξs= 5%,ξd= 8.2% ，一體化結構體系的阻尼頻率ωd= 6.38 rad/s。附加消能減震裝置的損失模量與存儲模量分別為：

結合所得參數，使用MATLAB對一體化結構體系進行動力時程分析。在選取的7條地震動記錄作用下，體系最大位移平均值為3.92 cm，實現了性能目標。

3.3 MDOF體系一體化設計

HWANG 等［19］研究表明：在結構振動以第一階振型為主時，等效SDOF 體系與MDOF 體系在動力響應上吻合較好，且隨著阻尼比的增加，體系的高階振型響應將被抑制。因此在等效SDOF體系實現性能目標的基礎上，將一體化設計方法向MDOF體系拓展。

對6 層MDOF 體系進行一體化設計，體系自振周期T1=0.97 s，層質量mi= 7.53× 105kg。目標位移仍取utarget=4 cm，相對成本比值仍取工況3（Cb/Cs= 0.4，Cv/Cs= 5），消能-支撐部件軸線與水平方向夾角θ=30.96°。體系在時域中運動方程：

式中：ui為第i層與地面之間的相對位移。

設主體結構抗側移剛度沿高度不變，已知質量矩陣［M］和結構第一階振型圓頻率ω1，通過結構運動特征方程，可知體系層抗側移剛度ki= 5.377 × 108N/m和第一階振型向量=[ 0.24,0.47,0.67,0.83,0.94,1.00 ]，第一階振型參與系數γ1：

在將一體化設計方法擴展到MDOF體系時，目標位移utarget應除以MDOF體系的第一階振型參與系數γ1。則等效SDOF體系的目標位移utarget/γ1= 4/1.258 = 3.18 cm。

根據圖4 及圖6 對應矩陣，可得：ξ1= 22.3%，ks/k= 0.96，cv,optimum= 0.68 ×mN · s/m，kb,optimum= 6.58 ×mN/m，ω1,d= 6.28 rad/s。

根據ks與k最優比值，有：

附加消能減震裝置存儲模量矩陣：

根據式（1），附加消能減震裝置的剛度矩陣[Kb]：

上式中比值已知，則：

對于結構固有阻尼，構建在前兩階振型中實現5%阻尼比的Rayleigh 阻尼矩陣，經計算，β= 0.042 5，α=β(ω1ω2)= 1.084 8。

附加消能減震裝置的損失模量[C'v]：

則總阻尼矩陣為：

結合所得附加消能減震裝置參數，使用選取的7條地震動記錄對一體化結構體系進行動力時程分析，體系最大位移平均值為3.02 cm，低于等效SDOF體系目標位移3.18 cm，實現性能目標。

應用模態應變能方法，通過式（8）求得一體化結構體系第一階等效阻尼比：

根據式（7），ξ1=ξs,1+ξd,1= 23.7%，結構第一階等效阻尼比與阻尼比需求22.3%基本吻合。

3.4 一體化設計方法在結構設計中的應用

前述辦公樓在未附加消能裝置時，其頂層最大位移平均值為6.23 cm，見表3。根據MDOF一體化設計所得參數，在SAP2000中為結構布置黏滯阻尼器。將黏滯阻尼器布置在結構的③號和⑤號兩個軸線上，如圖9所示。見表3，對一體化結構體系進行動力分析，體系最大位移平均值為4.07 cm，較未裝阻尼器時降低34.7%，基本實現性能目標utarget= 4 cm。

圖9 ③號、⑤號軸線消能支撐布置示意圖Fig.9 Arrangement of energy dissipation bracings along the axis ③and⑤

表3 體系最大位移Table 3 Maximum displacement values of the structure cm

4 結論

（1）該研究提出的一體化設計方法避免了消能減震結構設計方法中的迭代過程，基于所選地震動記錄的位移反應譜，結合主體結構信息及期望目標性能，即可直接得出附加消能減震裝置設計參數。

（2）針對預期性能目標，對附加消能減震裝置支撐剛度與粘滯系數進行評估并進行可視化呈現。在已知結構自振周期的情況下，可直觀展現附加消能減震裝置可選參數范圍及變化趨勢。

（3）從經濟性的角度出發，在所有可實現目標性能的附加消能減震裝置設計參數中，實現了最優設計參數的識別。

（4）采用SAP2000設計RC 框架結構，根據預期性能目標對該結構進行一體化設計。根據所得附加消能減震裝置設計參數布置阻尼器并進行動力分析，結果表明：一體化設計的結構體系基本實現性能目標，可為工程實際提供有價值的參考。

為進一步向在工程實際中應用一體化設計方法提供便利，完善基于主體結構基本信息、場地特征信息及預期性能目標輸入的一體化設計參數查詢小程序是必要的。阻尼器空間分布對一體化設計體系位移響應的影響也有必要開展進一步的研究。