地震損失的空間相關性及其對震害損失估計的影響

周 陽，王自法，石 磊，仝文博

（1.河南大學土木建筑學院，河南 開封 475004；2.中震科建（廣東）防災減災研究院，廣東 韶關 512029；3.中國地震局工程力學研究所，黑龍江 哈爾濱 150080）

引言

地震損失估計對于地震災害預警、震后應急救援和國家防災減災規劃等有著重要的意義。地震損失估計需要考慮地震的發生、發展、場地影響和工程特征及其破壞規律等多種復雜因素，所以地震損失估計結果包含著很大的不確定性［1－2］。地震損失的評估結果不僅需要其平均值，還需要其方差和分布特征［3］。在城市尺度或者區域層次上估計地震損失，不僅需要每棟建筑物的損失及其分布，還需要各棟建筑物損失之間的損失相關關系［4］，所以必須要研究地震損失的空間相關性。

地震損失的空間相關性是指當地震損失是一個具有給定均值、方差和分布的隨機變量的時候，位于不同地點的建筑物損失之間的相關關系。因為影響地震損失的因素很多且極其復雜，很難在理論上給出地震損失空間相關的精確表達式。一般地說，可以用下面四種方法來研究地震損失的空間相關性：第一個方法是按照巨災風險分析模塊化的思路，研究各模塊及其內部主要參數的空間相關關系，然后通過對所有模塊的多維卷積積分得到損失的空間相關關系。這個方法理論上可行，由于至少需要地震動的空間相關和結構易損性之間的空間相關及其之間的相關關系，數據和運算需求高、卷積計算極其繁瑣，并且結構易損性之間的空間相關等沒有足夠的實測資料驗證，所以目前還沒有看到成熟的研究案例和成果；第二個方法是經驗參數法，即按照專家的意見給出一個經驗參數，通常是一個常數，和空間距離的變化無關。目前世界上多數的巨災風險模型都是采用這個方法［5］，其主要問題是沒有得到實際詳細地震損失數據的驗證，并且沒有考慮隨著建筑物相隔距離的增加相關性逐漸減少的實情；第三是綜合實際震害資料和專家意見，給出一個半經驗的空間相關關系［6］。這個方法比方法二有了長足的進步，但是其所依賴的實際震害資料數量有限，而且主要的還是遵從專家意見；第四個方法是完全依賴實際震害得到的地震損失空間相關關系，這是最為準確的方法，但是這個方法一直沒有實現是因為沒有積累到大量的詳細地震損失數據。

2011 年3 月11 日東日本大地震發生后，作者通過原來就職過的美國再保險公司Validus 獲得了55 萬棟房屋的詳細地震破壞。該研究計劃充分地利用這個資料，從實際震害的角度給出地震損失的空間相關關系并利用最新的基于高精度模擬的地震巨災風險分析方法，研究不同的空間相關性對地震損失及其分布的影響。

1 地震損失的空間相關性及現有研究方法

1.1 地震損失的空間相關性

因為沒有發生的地震事件是一個隨機事件，地震損失的空間相關性會對地震損失分布估算造成影響［7］，因此必須對地震損失的空間相關性進行研究。在一個地震事件中：位于兩個地點的建筑物損失的相關性是指兩個建筑物損失的相關程度，相關性以0～1 之間的數值表示。空間相關性存在兩個極值：空間相關性等于1，地震損失中的所有建筑都與其他建筑完全相關；當空間相關性等于0，地震損失中的所有建筑都與其他建筑完全獨立。空間相關性為極值時，位于不同地點的建筑物總損失的計算方法不同：

當地震中損失的空間相關性等于1，位于不同地點的建筑物總損失標準差等于每個地點的建筑物損失標準差的和：

式中：σy為建筑物總損失標準差；σi為每個位置的建筑物損失標準差；n為總位置數。

當地震中損失的空間相關性等于0，位于不同地點的建筑物總損失標準差等于每個地點的建筑物損失方差和的平方根：

實際上，建筑物的破壞是一個具有高度不確定性的隨機過程［8－9］，建筑物損失之間的相關性應該處于上述兩個極值之間，且隨著距離的增大而減小。目前常用的研究地震損失相關性的兩種方法可以簡單地歸納如下。

1.2 經驗參數法

經驗參數法被世界上多數的巨災風險模型所采用的，該方法主要是根據專家的經驗來估計相關性，空間相關性權重用w表示。一般地說，根據專家經驗得出的相關性都是一個常數且不隨建筑物之間的距離而變化，例如：加州地震建筑物損失的相關性權重是20%而獨立性權重是80%；美國新馬德里地區地震建筑物損失的相關性權重是17.5%而獨立性權重是82.5%，但是這些經驗數據從來沒有得到實際震害數據的驗證，其準確性有待商討。

在確定地震事件損失的相關性權重w之后，通過權重值和每個地點的建筑物損失標準差來計算建筑物總損失的標準差：

經驗參數法雖然可以將每次地震事件中建筑物損失之間的相關性和獨立性單獨地列出，但對于建筑物之間的距離影響沒有考慮，因此所得結果難以反映地震損失分布的實際情況。

1.3 半經驗法

半經驗法是指考慮了空間相關性隨距離的變化，但是空間相關性的決定依賴專家的意見和有限的歷史震害資料，通常以表格的方法表示［6］。因為該方法考慮了相關性隨著距離的變化，方差的計算不能利用簡單加權的方法，而是需要通過相關系數和距離之間的關系表，結合每棟破壞建筑標準差的方法進行建筑總損失方差的計算：

式中：ri，j、σi和σj分別為建筑物i與建筑物j之間的損失相關性值、建筑物i的標準差和建筑物j的標準差。

半經驗法中的相關系數雖然參考了加州地震的歷史震害數據［6］，但是由于加州地震詳細破壞數據樣本的有限性，而且還結合了專家的經驗，因此半經驗法的精度仍然有待驗證。

綜上所述，經驗法和半經驗法在考慮地震損失的空間相關性方面的精度時主要依賴專家的意見［10］，更好的方法應該是基于大量建筑物詳細破壞的資料來直接統計地震損失的相關性［11－12］。

2 實際震害相關系數與建筑間距離關系計算

為了更加準確地描述地震損失的空間相關性，我們基于2011年3月11日東日本大地震中收集到的近55萬棟房屋的詳細地震破壞數據對相關系數與建筑間距離的關系進行了計算，從實際震害的角度給出地震損失的空間相關關系。

2.1 建筑物數據分析

建筑物的建筑年代和建筑物的結構類別是研究建筑易損性的關鍵因素，因此本文對日本3.11地震受災房屋的建筑年代數據、結構類別數據和建筑破壞率的分布情況進行了統計處理，統計處理結果如圖1所示。

圖1 3·11日本地震受災建筑物及破壞率分布Fig.1 Building type and damage distribution in Japan 3·11 earthquake

由圖1可知：在日本3.11地震破壞的建筑中，建筑年代為1988年前的建筑占比較高；而結構類別中由于日本自然地理等原因，傳統民居多是木結構，因此木結構占比較高，較輕的木結構抗震性能較好，故遭受較輕破壞的房屋較多。

2.2 地震損失的空間相關關系計算

基于日本3.11 地震建筑破壞數據選取22 個距離段，在每個距離段上抽取10 萬對建筑破壞樣本計算地震損失的空間相關性。空間相關性使用皮爾遜相關系數方法計算［13］，將每對建筑樣本破壞情況視作兩個變量，通過兩個變量與該距離段下總樣本平均值的離差相乘來反映兩變量之間相關程度，如式（5）所示。式（5）中：xi和yj分別為每組樣本中兩棟建筑的破壞率（building damage ratio）：

式（5）對應22 個距離段的計算結果如圖1 所示。為了未來的模擬應用，將22 個距離段得出的結果進行了曲線擬合，擬合結果如式（6）所示，式中：r為相關性；d為建筑間距離：

由圖2可以看出：建筑之間的距離越大，地震損失的空間相關性也就越小，且在180 km以后該值趨于0。為驗證結果的普適性，本文對新西蘭受災房屋的特征也進行了統計分析，并利用新西蘭的詳細震害數據分別計算了兩次地震事件損失的空間相關性，統計分析結果如圖3所示，其中：層高分布圖中的1、2和3對應的為1層、2層和3層，因4層及4層以上房屋較少，將其統一劃分為4。由于新西蘭受災房屋大部分建筑結構類別不詳，因此未對新西蘭受災房屋的結構類別進行統計分析。

圖2 空間相關性隨建筑間距離的變化Fig.2 Spatial correlation changes with distance between buildings

通過對比圖1 和圖3 以及對比圖2 和圖4 可知：雖然兩國的受損房屋特征分布不同，地震規模和破壞成也不同，但是三次地震的損失空間相關性差別很小。由于日本3.11 地震建筑破壞資料數據更為詳細，其結果應該更加具有普適性，因此，在未來對于其他國家地區的地震損失分析中，應該可以直接利用公式（6）來模擬建筑之間地震損失的空間相關性。

圖3 新西蘭兩次地震受災建筑物類別分布Fig.3 Distributionof damaged buildings during two earthquakes in New Zealand

對這兩次地震損失的空間相關性進行計算，其不同距離段的損失相關性及曲線擬合結果如圖4所示。

圖4 新西蘭地震損失相關性及擬合結果Fig.4 Spatial correlation and its approximation of earthquake loss in New Zealand

3 空間相關性在地震損失模擬中的應用

在地震損失模擬中，每一點地震損失的分布一般可以用某種分布（例如高斯正態分布，對數正態分布或者是Beta 函數等）來表示，而兩點之間的相關性則可以利用高斯耦合（Gaussian Copula）來模擬［14］，其中相關系數則可以參考本文給出的和距離相關的系數。在一個大地震中，需要考慮的空間點數經常需要超過百萬量級，這樣同時考慮與距離相關的耦合在超過百萬空間點上采樣即使是在超級計算機上也無法實現。為了解決這個問題，該研究引入克里金插值方法（Kriging Interpolation）［14］，先選擇有限的空間點，利用高斯耦合來模擬地震損失隨距離變化的空間分布，然后利用克里金插值法將剩余的空間點補充上，這樣得到所有位置上的地震損失空間距離相關分位數（qc）。另外，在實際應用中，為了更加廣泛地考慮地震發生時建筑損失的不確定性和應用的靈活性［15］，地震損失的分位數同時考慮空間相關和空間獨立兩項，其中：空間距離獨立分位數（qi）從完成的空間距離獨立分位數文件中選取，該文件由9 億個0～1 范圍內服從正態分布的隨機小數組成，qi根據位置點（location）與事件發生序列（occurrence）確定，qi選取公式可以表述如下，其中：qiindex為隨機數的索引值：

同時考慮空間距離相關和空間距離獨立兩項的分位數可以表述如下：

式中：qc為距離空間相關性項；qi為距離空間獨立項；Φ為累計分布函數（cumulative distribution function）；ρ為組合參數。

對于不同地區可以根據具體情況，調整組合參數ρ，根據以往對中國地震事件的研究［16］，我們選用ρ=0.8為兩者的組合參數，根據上述方法得到每一個點的分位數之后，再根據該點的建筑物特性等選擇對應的易損性曲線［17－18］，再結合每個地震的地震動，得到對應建筑物相對每一個地震的平均損傷比（mdr）和損失標準差（sd）。利用得到的損失比與標準差，根據選定的地震損失分布（例如beta 分布）和損失分位數就可以計算得出該位置各類建筑物對應每一個地震的損失［19］。最終，將所有位置所有建筑物的損失加起來就可以得到地震總損失。需要說明的是：易損性關系的地震動可以用多種參數表示，例如烈度、峰值加速度和譜加速度等［20］。一般地說，地震的響應與建筑物的周期高度相關，因此本文選用結構基本周期對應的阻尼比為5%的譜加速度Sa（Spectral Acceleration）作為易損性關系中的地震動參數［21］。

4 克里金插值方法中采樣數的選取

在前述地震損失模擬方法中，為了解決空間大樣本的問題［22］，我們引入了克里金插值方法，但是如何合理地選擇抽樣樣本的大小，需要提前決定。為了確定合適的抽樣樣本尺度，我們選取幾個代表性的地震，通過變換樣本的大小，看看樣本大小對最終損失的影響。圖3 所示的是一個樣本地震在不同采樣數下得出的損失。該樣本地震根據中國及鄰區潛在震源區劃分圖劃分［23－24］，屬于第4 個地震帶的第35 個震源，地震震級7級，震中位于（40.542 5°N，116.012 5°E）。該地震影響到空間位置數為172 019個。

從圖5 可以看出：采樣數較小時損失結果較為離散，當采樣數大于500 之后，損失計算結果基本穩定。通過大量的計算，對于所有的地震，當采樣數為2 000時，所得最終損失計算結果都趨于穩定，而不同空間位置數量（地震影響場的大小）所需的采樣數也不一樣。為了方便應用，統一按照下列方案選取采樣數，其中：a和b分別代表空間位置數量和采樣數。

圖5 采樣數對地震損失的影響Fig.5 Influence of sampling number on earthquake loss

當a≥2 000 時，b=2 000；當2 000＞a≥800 時，b=500；當800＞a≥200 時，b=200；當a＜200 時，無需采樣直接計算。

5 空間相關性對地震損失分布的影響研究

為了研究空間相關性對地震損失分布的影響，本文選取北京地區進行典型示范研究。在研究了以往GIS技術在地震損失的運用以及研究了研究區域內的財產分布情況后［25］，使用ArcMap在研究區域內生成模擬80余萬棟建筑作為建筑物數據集，建筑物分布如圖6所示。本文從巨災模型的地震事件集中選取10余個北京地區周邊的潛在地震事件，對建筑物數據集中所有建筑物進行震害損失模擬，所選取地震事件的震級大小及位置分布如圖7所示。

圖6 數據集中建筑物的空間分布 圖7 地震事件的空間分布Fig.6 Spatial distribution of buildings in the data set Fig.7 The spatial distribution of seismic events

確定了地震事件震級大小及位置分布后，需要對模擬生成建筑物位置的地震動參數進行計算。基于俞言祥［23］對地震動衰減關系的研究，選用的地震動參數計算的衰減關系公式見式（9）。

式中：Y為地震動參數；M為震級；R為震中距；A、B、C、D和E為回歸系數，各系數值見表1。

表1 衰減關系公式參數Table 1 Coefficient selection in the attenuation formula

計算出每個建筑物位置的地震動后，需要考慮場地條件對地震動的影響，該研究將30 m 等效剪切波速Vs30轉換為我國的場地類型，并對模擬建筑的財產分布進行了統計，統計結果如圖8所示。

圖8 北京地區模擬建筑財產分布Fig.8 Simulated building property distribution in Beijing area

在研究了模擬建筑物的易損性類別后，需要對建筑物的破壞率進行計算。考慮到在不同相關系數下，建筑破壞的相關性存在差異［26］，所得到的地震損失分布也會有所不同，因此，為了進一步討論空間相關性對地震損失分布的影響，本文選取了7 個相關系數，并計算出對應的地震超越概率損失分布，地震損失計算過程已在第三章最后一段闡述。在得到不同相關性系數下地震超越概率損失分布后，對不同相關性系數下的超越概率損失的比值進行了對比研究，模擬結果如圖9 所示，其中橫軸是地震的重現周期，豎軸是不同相關性系數下的超越概率損失與相關系數0.6時的超越概率損失比。

圖9 與相關性=0.6超越概率損失比Fig.9 Exceedance probability loss ratio against correlation=0.6

由圖9 分析可知：由于損失的相關性越大則建筑破壞率離散性越小，因此，當重現期較小時（即超越概率較大時），損失的相關性較大情況下建筑的破壞率普遍較小，損失的空間相關性與超越概率損失比呈負相關關系；當重現期較大時（即超越概率較小時），損失的空相關性較大情況下建筑的破壞率普遍較大，損失的空間相關性與超越概率損失比呈正相關關系。這個結果說明：空間相關性會增加大地震的損失估計或降低小地震的損失估計，所以研究地震損失的空間相關性非常重要。

6 總結

本文對地震損失的空間相關性進行了研究，以日本2011年3月東日本大地震中收集到的近55萬棟房屋的詳細地震破壞數據和新西蘭兩次地震的詳細地震破壞數據為研究對象，對相關系數與距離之間的關系進行計算，給出了地震損失的空間相關關系。提出了利用高斯耦合模擬地震損失相關隨空間距離變化的地震損失模擬方法，并進一步采用克里金插值法提高計算效率。以北京地區為典型示范進行震害損失分布分析，研究了不同空間相關性對地震損失的影響，得到以下結論：

（1）基于實際震害數據研究了地震損失隨距離關系變化的空間相關性衰減規律，并給出了一個對應的擬合公式，在未來地震損失分析中，該公式可用于模擬建筑之間的地震損失的空間相關性。

（2）提出了利用克里金插值法提高了地震損失空間分布模擬效率，研究了克里金插值法所需樣本的精度。

（3）以北京地區作為案例，對不同空間相關系數下地震損失分布情況進行了模擬。分析了不同空間相關系數對地震損失分布的影響，并給出了量化的結果。未來地震損失評估分析中參考該研究成果，可提高評估結果的準確性。