非標準模型中*-映射的內部刻畫

馮晶晶，陳東立

(1.西安培華學院基礎部，陜西 西安 710125；

2.西安建筑科技大學理學院，陜西 西安 710055)

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非標準模型中*-映射的內部刻畫

馮晶晶1，陳東立2

(1.西安培華學院基礎部，陜西 西安 710125；

2.西安建筑科技大學理學院，陜西 西安 710055)

[摘要]介紹了超結構的超冪模型及其有關結論，進一步給出了M-映射和e-映射的定義及其性質，得到了*-映射的內部構造以及*-映射的性質.最后用*-映射的內部構造證明了轉換原理.

[關鍵詞]超冪模型；M-映射；e-映射；*-映射；轉換原理

非標準分析是數學中利用現代數理邏輯，把通常的實數結構擴張為包括無窮小和無窮大的結構后形成的一個分支，是使用非標準模型研究各種數學問題的新的數學理論.非標準分析已被廣泛應用到巴拿赫空間、微分方程、概率論、數理經濟學、數理物理學等領域.[1-3]關于非標準問題的研究大致分為兩個方面：一是對非標準模型的研究；二是利用非標準方法解決標準的數學問題.目前，絕大多數非標準分析方面的文獻均是討論用非標準的方法解決標準的數學問題，提供了把有限數學中的結論和方法應用到無限數學中的可能.[4-7]但已有文獻對非標準模型的研究相對較少，隨著非標準分析的廣泛應用，對非標準模型的深入研究顯得尤為迫切.

1預備知識

設S為個體集，令

V0(S)=S，

Vn(S)=Vn-1(S)∪P(Vn-1(S)).

令

V(S)I={f|fδ∈V(S) a.e.，δ∈I}，

即V(S)I為I到V(S)中的全體映射.記

則稱Z中的元素為有界映射.定義等價關系f~Fg?{δ∈I|fδ=gδ}∈F，容易證明~F是V(S)I中的等價關系.

令

V(S)I/~F={[f]|f∈V(S)I}，

其中[f]={g∈V(S)I|g~Ff}，則稱V(S)I/~F為V(S)的超冪，稱Z/~F={[f]|f∈Z}為V(S)上的有界超冪.

命題1Z/~F?V(S)I/~F.

證明對任意的[f]∈Z/~F，f∈Z，存在某個n∈N使得f∈Zn，從而

fδ∈Vn(S) a.e..

又

Vn(S)?V(S)，

所以

fδ∈V(S) a.e.，f∈V(S)I，[f]∈V(S)I/~F.

故

Z/~F?V(S)I/~F.

證明

2主要結果

定義1對任意f∈V(S)，設〈f〉為常值映射(f)δ∈I所在的等價類.則稱映射e:f→〈f〉為自然嵌入映射.

命題3自然嵌入映射e是V(S)到Z/~F內的單射.

證明任意選取f，g∈V(S)，f≠g，假設e(f)=e(g).由于

e(f)=〈f〉，e(g)=〈g〉，

則fδ=gδ，從而f=g.這與f≠g矛盾，即e(f)≠e(g)，e是V(S)到Z/~F內的單射.

定義2對任意的[f]，[g]∈V(S)I/~F，[f]∈F[g]是指fδ∈gδa.e..

注[f]≠{[g]|[g]∈F[f]}，其中“∈F”與“∈”不同.

設S是個體集，令*S=SI/~F={[f]|fδ∈S}，則*S也是個體集.?[f]∈*S，存在δ∈I，fδ∈S.由于S為個體集，則fδ≠?，且對任意的r∈S，r?fδa.e.，從而[f]≠?，且對任意的[g]∈*S，[g]?[f].

類似V(S)的構造，我們構造*S上的超結構V(*S)如下：

V0(*S)=*S，

Vk+1(*S)=Vk(*S)∪P(Vk(*S))，

定理1存在Z/~F到V(*S)內的單射M，使得:

(1) M在*S上是恒等映射；

(2) 對任意的[f]∈Z/~F*S，M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}.

證明(1) 定義M為：若[f]=V0(*S)=*S，則

M([f])=[f]∈V0(*S)=*S；

若[f]∈Vn(S)I/~F*S，且已定義了M([f])，則當[f]∈Vn+1(S)I/~F*S時，

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}.

對任意的[f]，[f′]∈Z/~F，且[f]=[f′]，有

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}，

M([f′])={M([g])|[g]∈F[f′]}.

又[f]=[f′]，從而

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}={M([g])|[g]∈F[f′]}=M([f′]).

故M是Z/~F到V(*S)內的映射.特別地，由M的定義知M在*S上是恒等映射.

(2) 對任意的[f]，[g]∈Z/~F，且[f]≠[g]，有

M([f])={M([t])|[t]∈F[f]}，

M([g])={M([t])|[t]∈F[g]}.

若M([f])=M([g])，即

{M([t])|[t]∈F[f]}={M([t])|[t]∈F[g]}，

則

{M([t])|tδ=fδa.e.}={M([t])|tδ=gδa.e.}.

故fδ=gδa.e.，從而f~Fg，[f]=[g].這與[f]≠[g]矛盾，所以

M([f])≠M([g])，

即M是Z/~F到V(*S)內的單射.

定義3令M°e:V(S)→V(*S).則對任意的a∈V(S)，稱*a=M(e(a))為a的非標準擴張.

注對任意的f∈Z，M([f])與*f是不同的.

定理2*-映射是V(S)到V(*S)內的單射.

證明?x，y∈V(S)，若*x=*y，則M(e(x))=M(e(y)).由于M，e均為單射，所以x=y，即*-映射是V(S)到V(*S)內的單射.

文獻[8]指出:一個給定的全域U的形式語言LV(S)由詞匯集和公式集兩部分組成，如果公式中的變量都不是自由出現的，則稱公式為句子.在下面的證明過程中，將有關*-映射分解為M-映射和e-映射的合成.

定理3[9](轉換原理)若α為形式語言LV(S)(其中S為非空個體集)中的有界句子，則V(S)|=α，當且僅當V(*S)|=*α.這里的*α是將α中的每個常量u替換為*u而得到的形式語言LV(S)中的句子.

證明對括號的個數m進行歸納證明.

當m=0時， α形如u=v，u∈v，其中u，v是V(*S)中的元.

若u=v，則

*u=M(e(u))=M(〈u〉)=M(〈v〉)=M(e(v))=*v；

反之，若*u=*v，即

M(e(u))=M(e(v)).

由于M，e均是單射，所以u=v.因此u=v，當且僅當*u=*v.

若u∈v，由于

同理可得

M(e(u))∈M(e(v))，

即

*u∈*v；

反之，若*u∈*v，即

M(e(u))∈M(e(v))，

從而

M-1(M(e(u)))∈M-1(M(e(v))).

于是e(u)∈e(v)，同理可得u∈v.所以u∈v當且僅當*u∈*v.由此證得當m=0時定理成立.

假設括號的個數小于m時定理結論成立，則當括號數為m時，α有三種情況：

(ⅱ) α=[β]∨[γ]；

(ⅲ) α=?xi[δ].

其中β，γ是句子，而δ或是句子或是僅以xi為自由變量的公式.顯然β，γ，δ的括號數小于m.下面分情況進行討論.

(ⅰ) V(*S)|=*α，當且僅當V(*S)|=*β不成立.由歸納假設，V(*S)|=*β不成立，當且僅當V(S)|=β不成立，當且僅當V(S)|=β，即V(S)|=α.所以V(*S)|=*α，當且僅當V(S)|=α.

(ⅱ) V(*S)|=*α，當且僅當V(*S)|=*β，且V(*S)|=*γ.由歸納假設，V(*S)|=*β且V(*S)|=*γ，當且僅當V(S)|=β且V(S)|=γ，當且僅當V(S)|=α.所以V(*S)|=*α，當且僅當V(S)|=α.

(ⅲ) 對V(S)中的任意元素u，用δ(u)表示把在δ中自由出現的xi換成u后得到的公式.若xi在δ中的出現都不是自由的，則δ(u)即是δ.由于xi是δ中可能出現的僅有變量，所以δ(u)中不再有自由變量，故是句子.因δ(u)的括號數小于m，由歸納假設V(S)|=δ(u)，當且僅當V(*S)|=*δ(*u).

若V(*S)|=*α，故存在V(*S)中的元*u，V(*S)|=*δ(*u).由歸納假設V(*S)|=*δ(*u)，當且僅當V(S)|=δ(u)，從而V(S)|=?xi[δ]，即V(S)|=α.

若V(S)|=α，于是A∈F，當i∈A時，有V(S)中的元素f(i)，使V(S)|=δ[f(i)].設v是V(S)中任一元素，對i∈Ac，令f(i)=v.于是由選擇公理，存在f:I→V(S)，使

V(S)|=δ[f(i)].

從而由歸納假設，V(*S)|=*δ[*f(i)]，即存在V(*S)中的元素*f(i)，使得

V(*S)|=*δ[*f(i)]，

即V(*S)|=*α.

綜上所述，V(S)|=α，當且僅當V(*S)|=*α.

[參考文獻]

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[7]陳東立，馬春暉，史艷維.拓撲的非標準定義[J].西北大學學報(自然科學版)，2006，36(3)：348-350.

[8]李邦河.非標準分析基礎[M].上海：科技出版社，1986:25-38.

[9]DAVIS M.Applied nonstandard analysis[M].New York：Wiley，1977:17-28.

(責任編輯：李亞軍)

*-Mapping of the nonstandard model

FENG Jing-jing1， CHEN Dong-li2

(1.Department of Basic Courses，Xi’an Peihua University，Xi’an 710125，China；2.School of Science，Xi’an University of Architecture and Technology，Xi’an 710055，China)

Abstract:Firstly，the ultrapowers of the superstructure and some related conclusions are introduced. Then the definitions and properties of the M-mapping and e-mapping are presented. Moreover，the natural construction of *-mapping is given and a property of *-mapping is proved. Finally，the transfer principle is proved by the natural construction of *-mapping.

Keywords:ultrapowers model；M-mapping；e-mapping；*-mapping；transfer principle

[中圖分類號]O 141.41[學科代碼]110·37

[文獻標志碼]A

[作者簡介]馮晶晶(1984—)，女，碩士，講師，主要從事應用非標準分析研究；陳東立(1963—)，男，碩士，教授，主要從事應用非標準分析研究.

[基金項目]陜西省自然科學基金資助項目(2007A12)；陜西省教育廳專項科學研究項目(11JK0507).

[收稿日期]2014-08-29

[文章編號]1000-1832(2016)01-0001-04

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.001