基于諧波頻率點能量占比指標的銑刀磨損監測＊

何周杰 胡 秋 馬小龍

（中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900）

刀具是高端數控機床精密制造中的重點關注對象之一。一方面，刀具磨損狀態直接影響工件的尺寸精度、形位精度以及表面質量。另一方面，刀具磨損還影響加工效率和加工成本，據統計機床總停機時間的20%是由刀具磨損更換所致[1]，而整個加工成本的3%～12%為刀具成本[2]。因此，有必要對刀具的磨損狀態進行監測。

目前，學者們提出了眾多關于刀具磨損狀態監測的指標。彭銳濤等[3]通過后刀面磨損寬度指標衡量銑刀的磨損嚴重程度，由于采用視覺邊緣檢測技術，該指標只能在銑刀停轉時使用。何光偉等[4]通過計算切削力（矩）分量與銑刀徑向磨損的相關系數確定與刀具磨損最相關的切削力（矩）分量，然后以此指標進行銑刀磨損狀態監測，該方法的缺點是在確立切削力（矩）分量時，需要不斷測量刀具的徑向磨損量，操作麻煩且耗時。艾長勝等[5]基于聲發射信號提出線性預測倒譜系數指標以實現銑刀磨損監測，但聲信號中包含電機聲、切削液聲等噪聲，一定程度上會影響監測結果的準確性。

本文基于振動信號和二階時間同步提取變換[6]提出用以評估銑刀磨損程度的兩個指標，并利用銑削試驗驗證所提指標的有效性。由于振動傳感器安裝簡單且對加工環境無特殊要求，所提指標在應用中更具有實用性。

1 指標設計思路

對于刀刃切入、切出工件所產生的沖擊振動信號來說，其時頻譜圖中蘊藏著大量刀具磨損信息，圖1展示了銑削加工時沖擊振動信號的時頻譜圖。當在銑刀轉速不變且各刀刃均無磨損的情況下，時頻譜圖上的脊線[7]具有明顯的周期性，隨著刀刃磨損加劇，其周期性逐步減弱，因此脊線的周期性規律可用來表征銑刀的磨損程度。由于時頻譜圖為二維信號，其周期性規律可由二維傅里葉變換得到，本文通過研究典型時頻譜圖二維傅里葉變換規律，提出2個銑刀磨損監測指標。

圖1 銑削加工時沖擊振動信號的時頻譜圖

2 二階時間同步提取變換

時頻譜圖的獲取是整個銑刀磨損狀態監測的關鍵環節，傳統的時頻譜圖可通過短時傅里葉變換(short-time Fourier transform，STFT)得到，但由于海森堡-加博爾不定原理[8]的制約，其時頻聚集性差、噪聲大，不利于后續處理。而二階時間同步提取變換(second-order time synchroextracting transform，TSET2)

在處理沖擊信號方面具有優異的性能，該方法能獲得高聚集性、低噪聲的時頻譜圖[6]，因此本文采用二階時間同步提取變換處理采集信號。

2.1 實現流程

圖2展示了二階時間同步提取變換的實現流程：首先計算沖擊振動信號的短時傅里葉變換結果（原時頻平面）以及表征脊線位置的群延遲算子（群延遲平面），然后在同一頻率下僅保留群延遲算子與時間標號(列標)相等的時頻點上的時頻系數，并將其余系數置0，最終獲得高聚集性、低噪聲的時頻譜圖（提取時頻平面）。

2.2 短時傅里葉變換

短時傅里葉變換的時頻結果在時域t的表達式可表示為：

式中：x(t)與h(t)分 別代表振動信號和窗函數，τ 與 υ分別表示時移變量和頻移變量，*以 及j分別指代共軛符號和虛部單位。時移 τ 與 頻移 υ直接構成了時頻平面( τ,υ)。基于帕塞瓦爾定理，短時傅里葉變換的時頻結果在頻域 ω的表達式可表示為：

式中：X(ω) 和H(ω)分別是振動信號與窗函數的頻域表達式。由式（2）可得圖2中的原時頻平面。

圖2 二階時間同步提取變換實現流程

2.3 群延遲算子計算

基于高斯調幅線性群延遲頻域信號模型[9]，通過一系列偏微分操作可得到群延遲算子 τ?2(τ,υ)的計算表達式：

2.4 同步提取

借助狄拉克函數 δ (·)的性質[10]，二階時間同步提取變換TSET2( τ,υ)可定義為:

由式（4）可知，只有當τ =τ?2(τ,υ)， 存在TSET2(τ,υ)=時頻平面上的其他位置均是TSET2 (τ,υ)=0。通過式（4）可得圖2中的提取時頻平面。

2.5 二階時間同步提取變換效果

圖3a和圖3b分別展示了圖1方框區域在短時傅里葉變換和二階時間同步提取變換下的結果。可以發現，后者具有較強的時頻聚集作用，其在凸顯沖擊信號時頻特征的同時將噪聲隔離開來，從而方便基于最小二乘脊線提取方法[11]獲得只包含沖擊特征的時頻譜圖3c。后文中將脊線提取后的時頻譜圖作為二階時間同步提取變換的結果。

圖3 刀具沖擊振動信號的時頻譜圖

3 銑刀磨損評估指標設計

3.1 二維傅里葉變換定義

二維傅里葉變換可對二階時間同步提取變換時頻譜圖的周期性規律作定量分析，其定義如下：

式中：| TSET2(τ,υ)|2表示2階時間同步提取變換的時頻譜圖，u表示時移變量 τ的時移頻率，其實際量綱為s，z表 示頻移變量 υ的頻移頻率，其實際量綱為Hz。時移頻率和頻移頻率分別反映時頻譜圖上脊線在時間軸方向和頻率軸方向上的周期變化規律。

3.2 典型時頻譜圖的周期性規律

為引出刀具磨損指標，圖4給出了典型的時頻譜圖及其二維變換結果。如圖4a所示，等值分布平面上的幅值均取1，類似于一維信號中的直流偏置信號，其二維傅里葉變換結果（見圖4b）僅在原點 (0,0)處存在數值，因此該點被稱為“直流頻率點”；如圖4c所示，等間隔分布平面在沿著時移變量 τ方向上存在一系列等間隔的能量帶，類似于一維信號中的周期信號，其二維傅里葉變換結果（見圖4d）僅在z=0處存在一系列的能量點，這些點被稱為“諧波頻率點”，能量點的間隔代表等間隔分布圖中能量帶的出現頻率；如圖4e所示，非等間隔分布平面在沿著時移變量方向 τ上存在一系列非均勻分布的能量帶，類似于一維信號中的非周期信號，由于無明顯的周期規律，其二維傅里葉變換結果（見圖4f）僅在z=0處存在能量，并且無明顯的諧波頻率點；如圖4g所示，含噪分布是在等間隔分布基礎上在時頻譜圖中隨機添加“噪聲塊”，因此該分布的二維傅里葉變換結果（見圖4h）除了具有圖4d所示的特征外，在z= 0以外的部分存在著泄露的能量。

上述討論為銑刀磨損評估指標的提出帶來啟發。對于無磨損的銑刀，其時頻譜圖類似于圖4c，當出現磨損后，由于刀刃缺口的不均勻性，其時頻譜圖類似于圖4e，它們的二維傅里葉變換結果的能量均只出現在z=0直線上，唯一差別是出現磨損后，部分能量泄露至諧波頻率點以外，因此可通過諧波頻率點在z=0上的能量占比評估銑刀的磨損情況，其中諧波頻率點的位置可以通過主軸轉頻與銑刀齒數的乘積計算得到。由圖4a及圖4b可知，直流頻率點屬于特殊的諧波頻率點，但由于不能體現沖擊信號的周期性規律，因此在銑刀磨損評估時需要排除在外，由圖4g及圖4h可知，測量過程中產生的噪聲會使得部分能量泄露至z=0的直線之外，從而降低銑刀磨損評估的靈敏度，因此需要采用高聚集性、低噪聲的二階時間同步提取變換時頻譜圖作為輸入來進行分析。

圖4 典型的時頻譜圖及其二維傅里葉變換結果

3.3 指標定義

假設銑刀轉頻為fr， 銑刀有 z0齒，則沖擊頻率可表達為fp=fr·z0， 而諧波頻率點可表示為fi=i·fp,i∈{i∈Z|-fs/2≤fi＜fs/2} ， 其中fs為信號采樣率。本文把i=0的 諧波頻率點稱為“直流頻率點”，把i=±1的諧波頻率點稱為“主諧波頻率點”。由此可定義兩個衡量銑刀磨損情況的量化指標，其一是描述除直流頻率點以外的諧波頻率點能量集中程度的諧波頻率點能量占比指標Rf：

式中：E(fi)代 表諧波頻率點fi處 的能量數值，Ez=0表示在z=0直線上的能量總和。

由于沖擊頻率等于主諧波頻率點處的時移頻率，主諧波頻率點可直接反映沖擊信號時頻譜圖在時移變量 τ方向上的周期性規律，因此另一個指標可定義為主諧波頻率點能量占比指標Rf±1：

根據二維傅里葉變換的性質，存在E(f-1)=E(f1)，因此主諧波頻率點能量占比指標還可表示為：

上述2個指標數值越小，表明刀具磨損越嚴重。

4 銑刀磨損試驗

4.1 試驗流程

圖5展示了銑刀磨損評估的一般流程。首先通過振動傳感器采集銑刀加工過程中的原始時域信號，然后基于二階同步提取變換獲得高聚集性、低噪聲的時頻譜圖，再對該時頻譜圖進行二維傅里葉變換，得到沖擊特征的周期性規律，最后通過所提出的2個磨損指標完成銑刀磨損情況的評估。

圖5 銑刀磨損評估的一般流程

4.2 試驗條件

為了驗證所提指標的有效性，利用3把磨損狀態不同T45四刃銑刀加工塊狀鋼材質工件進行試驗驗證，如圖6所示，工件置于測力儀基座之上，在其側壁貼有加速度傳感器，并將采樣頻率設置為51 200 Hz，銑刀軌跡采用“回”字形路徑，加工時軸向切深為1 mm，徑向切深為0.5 mm，每齒進給為0.02 mm/tooth，主軸轉速為1 000 r/min。

圖6 銑刀磨損試驗裝置示意圖及銑刀走刀路徑

圖7展示了3種磨損狀態不同的銑刀，從左至右分別是#1無磨損刀具、#2輕微磨損刀具和#3嚴重磨損刀具，圖中第1行是刀具的端面示意圖，第2行是刀具的側視圖，第3行是側視圖中方框區域的局部放大圖，箭頭指示了刀具磨損區域。通過對比可以發現，嚴重磨損刀具的磨損缺口明顯大于輕微磨損刀具的磨損缺口。

圖7 不同磨損狀態銑刀的顯微鏡照片

4.3 數據處理

圖8展示了3把銑刀加工時所產生的振動信號及其二階同步提取變換結果，由試驗條件可知，理論的沖擊頻率為66.67 Hz，從試驗數據中截取0.15 s長的時間片段進行二階同步提取變換分析。

對無磨損的 #1銑刀，其各刀刃的切削狀態相同，所產生的沖擊特征相似且等間隔分布（如圖8b所示），對存在磨損的 #2、#3銑刀，其各刀刃切削振動響應存在差別，從而導致所產生的脊線不再隨時間均勻分布（如圖8d、圖8e所示），且隨著磨損程度加劇，對應時頻譜圖中的脊線分布周期性規律依次減弱。為進一步量化評估，對3把銑刀的二階同步提取變換時頻譜圖進行二維傅里葉變換，其結果如圖9所示，其中用小圓圈標記出諧波頻率點的位置，對比可以發現，磨損越嚴重的刀具其諧波頻率點之外泄露的能量越多。

圖8 3把磨損狀態不同的銑刀振動信號及其二階同步提取變換結果

圖9 磨損狀況不同的銑刀的二維傅里葉變換結果

基于式(6)和(8)，可以分別得到3把銑刀的諧波頻率點能量占比指標以及主諧波頻率點能量占比指標，其計算結果如表1所示。計算結果表明，兩個指標結果均滿足 #1刀具＞# 2刀具＞#3刀具，說明#3刀具磨損最嚴重，其后依次是 #2刀具、#1刀具，這與刀具在顯微鏡中所觀察到的實際磨損情況一致，進而驗證所提指標的有效性，因此所提指標可應用于銑刀磨損的狀態監測中。

表1 諧波頻率點能量占比指標和主諧波頻率點能量占比指標結果

5 結語

本文基于二階同步提取變換的時頻譜圖提出了用以衡量銑刀磨損狀態的諧波頻率點能量占比指標以及主諧波頻率點能量占比指標，并用利用3把磨損狀態不同的銑刀驗證所提指標的有效性。

試驗結果表明，所提指標的評定結果與在顯微鏡觀察到的銑刀刀刃實際磨損情況相符，因此利用諧波頻率點能量占比指標以及主諧波頻率點能量占比指標可實現對銑刀磨損程度的狀態監測。