鎢合金球形破片侵徹低碳鋼的彈道極限速度計算模型

劉鐵磊， 徐豫新，2， 王曉鋒， 張鵬， 張健

(1.北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室， 北京 100081; 2.北京理工大學 重慶創新中心， 重慶 401120；3.中北大學 機電工程學院， 山西 太原 030051)

0 引言

破片是殺爆戰斗部主要毀傷元素，可用于對人員、車輛、輕型裝甲等目標進行毀傷，通常以破片的彈道極限速度表征破片的毀傷能力。

國內外早已開展各類破片對低碳鋼的侵徹研究。Golsdmith等通過彈道槍試驗獲取了6～9 mm直徑鋼球穿透1.57 mm厚1020鋼的速度降；譚多望等通過試驗掌握了6～8 mm直徑鎢合金球形破片對6～12 mm厚Q235鋼板的侵徹能力；陳志斌通過試驗獲得4.75 mm直徑鎢合金球形破片對6～10 mm厚Q235鋼板彈道極限速度；午新民、徐豫新對鎢合金球形破片侵徹10～20 mm厚Q235鋼板的侵徹機理開展研究，得到相應破片與靶板(簡稱彈靶)條件下的彈道極限速度。近5年來，仍有許多研究者對鎢合金破片侵徹Q235鋼板的彈道極限速度進行進一步的研究，如：朱曦光等、李金福等、張鈺龍等開展了鎢合金球形破片垂直侵徹Q235鋼板試驗，獲得了9 mm直徑鎢合金球形破片對8～9 mm厚Q235鋼板的彈道極限速度。然而，已有研究均為具體彈靶條件下的彈道極限速度獲取試驗，得到的計算模型普適性有限，難以支撐0～2 000 m/s速度范圍內鎢合金球破片侵徹多種低碳鋼板的彈道極限速度計算。

本文針對鎢合金球形破片對低碳鋼的剛性、塑性、侵蝕和破碎侵徹，系統分析鎢合金球形破片侵徹低碳鋼的破壞特征，建立計算精度高、適用性廣的彈道極限速度計算模型。

1 模型的建立

1.1 破片侵徹特征

破片在不同速度下侵徹靶板，會產生不同的侵徹特征。因此，首先從破片侵徹特征著眼，對破片侵徹特征改變的速度閾值進行討論，為后續彈道極限速度計算模型的建立提供支撐。

1.1.1 剛性侵徹

文獻[10]表明，當破片以小于500 m/s速度撞擊靶板時破片仍保持球形，未發生明顯變形(見圖1)，整個侵徹過程中破片可近似視為剛體。

圖1 破片剛性侵徹[10]Fig.1 Rigid penetration of fragments[10]

1.1.2 塑性侵徹

根據文獻[11]可見，當破片以500～1 000 m/s速度撞擊靶板時，破片因受到靶體阻力發生屈服，產生塑性變形(見圖2)。

圖2 破片塑性變形[11]Fig.2 Plastic deformation of fragments[11]

對于塑性侵徹，Rosenberg等研究了頭部形狀為半球形長桿侵徹金屬靶板時由剛性侵徹轉變到非剛性非侵蝕侵徹時的著靶速度閾值，認為在桿體侵徹過程中，若桿體發生塑性變形，則桿體端面應力為+，其中為桿體材料動態壓縮屈服強度，為桿體端面壓強。相應地，彈靶界面靶板方向同樣存在壓強與桿體端面應力平衡，其大小為+05，05為靶板駐點壓強，為靶板密度，為桿體速度，為靶板對桿體的侵徹阻抗，從開始侵徹到侵徹完成期間的平均侵徹阻抗為

(1)

為靶板材料動阻抗，為靶板材料屈服強度。

根據牛頓第三定律，力平衡方程為

+=05(+3)+05

(2)

對于93W鎢合金，動態屈服強度為186 GPa，則鎢合金材料發生塑性變形閾值速度為

(3)

式中:=3。Rosenberg等根據靜態空腔膨脹原理，推導計算式為

(4)

式中：為靶板材料彈性模量；為靶板材料泊松比。

113 侵蝕侵徹

根據文獻[6]可見，當破片以高于1 000 m/s的速度撞擊靶板時，破片質量開始減少，表明破片在侵徹過程中發生了侵蝕(見圖3)。

圖3 破片侵蝕[6]Fig.3 Erosion of fragments[6]

對于侵蝕侵徹，Tate對長桿彈高速侵徹時固體與流體轉變閾值速度進行研究，發現當彈靶界面運動速度超過彈體材料塑性波速時，彈體材料發生侵蝕現象，侵蝕速度為

(5)

式中：為破片材料切線模量；為破片材料密度；dd為屈服點后應力- 應變(-)曲線斜率。

因此，當破片侵蝕時可近似將破片視為流體，根據伯努利流體計算公式，有

(6)

聯立(4)式、(5)式、(6)式，可得到鎢合金破片侵蝕變形閾值速度為

(7)

由文獻[16]中鎢合金拉伸應力- 應變曲線，可得到鎢合金切線模量=32 GPa，計算得到破片材料侵蝕閾值速度。

114 破碎侵徹

由文獻[17-18]可知，當破片以高于1 400 m/s速度沖擊靶板時破片完全破碎，一部分以熔渣碎片的形式殘留在靶板穿孔內部，貫穿靶板破片也呈現破碎化特征(見圖4)。

圖4 破片破碎[17]Fig.4 Fracture of fragments[17]

當破片著靶速度較高時，破片在侵徹過程中出現完全破碎，Sun等給出了忽略靶板強度的著靶速度閾值計算方法：

(8)

1.2 破片彈道極限速度模型

對有關侵徹分析模型，Anderson等已經做了較為詳述的介紹。由于分析模型推導過程較為困難，在數據量充足的情況下，經驗模型不失為較好的方法。

121 現有模型的局限

午新民等根據彈道試驗結果，建立破片彈道極限速度計算模型形式如下：

(9)

式中：為彈道極限速度；為擬合系數；為靶板厚度；為破片直徑；為靶板材料拉伸極限強度；為破片材料拉伸極限強度；為著靶傾角；、、、為擬合指數。

(9)式是基于破片侵徹裝甲鋼試驗得到彈道極限速度計算模型，其適用于彈靶厚度比08～20，著速在500～2 000 m/s。對于裝甲鋼，通過已有試驗可見，靶板主要失效模式為剪切破壞下的塞塊形成。通過已有試驗結果可見低碳鋼的破壞模式并不同于裝甲鋼，在侵徹過程中塑性變形特征比裝甲鋼明顯，先壓縮再形成塞塊。因此模型需要增加可反映塑性變形的參數。

此外，根據11節分析可知，不同著靶速度下破片會產生不同破壞模式。因此，需要根據速度區間分別進行計算。

122 新模型的建立

為在更廣泛速度區間內構建彈道極限速度計算模型，基于(9)式對破片侵徹過程中主要破壞特征下的計算模型進行分析。

對于剛性侵徹，除(9)式所示的彈靶厚度、彈靶強度、彈靶密度外，彈靶材料延伸率同樣是影響侵徹的主要因素，然而對于剛性破片，材料延伸率無需考慮，同時(9)式中破片的拉伸極限強度可改成屈服強度。據此建立計算模型為

(10)

式中：為靶板材料塑性波波速；為靶板材料延伸率。(10)式的適用速度范圍為0<≤。

對于塑性侵徹，破片發生了變形，此時需考慮破片材料的延伸率。由此，在(10)式上反映破片材料延伸率，建立計算模型為

(11)

式中：為擬合系數；、、、為擬合指數。(11)式的適用速度范圍為<≤。

對于侵蝕侵徹，破片在與靶板接觸地方發生侵蝕，對侵徹起主要作用的是破片和靶板材料的拉伸極限強度，整個侵徹過程同樣包含塑性變形。因此，破片和靶板材料的延伸率均需予以考慮；據此可建立計算模型為

(12)

式中：為擬合系數；、、、為擬合指數。(12)式的適用速度范圍為<≤。

對于破碎侵徹，破片呈現流體的性質，此時靶板材料拉伸極限強度、延伸率決定了破片的侵徹深度，破片材料的強度不再考慮；據此建立計算模型為

(13)

式中：為擬合系數；、為擬合指數。(13)式的適用速度范圍為>。

綜上所述，鎢合金球形破片侵徹低碳鋼的彈道極限速度計算模型為

(14)

(14)式系統考慮了破片材料在不同著靶速度下的侵徹破壞特征，含18個待定系數，這18個系數可基于試驗數據獲得。

2 破片侵徹試驗

2.1 試驗設計

為了獲得破片侵徹低碳鋼板的彈道極限速度來驗證模型計算的可靠性，設計了破片對低碳鋼板的侵徹試驗，如圖5所示。

圖5 彈道試驗設計Fig.5 Ballistic test design

采用12.7 mm彈道槍進行加速，破片安裝在彈托內，出槍管后受空氣阻力作用，彈托與破片分離，如圖6所示。由圖6可知：試驗中破片與彈托可靠分離。破片著靶速度通過靶前測速靶獲得。

圖6 破片彈托分離(速度287 m/s)Fig.6 Separation of fragment and sabot with velocity of 287 m/s

2.2 試驗結果

對Q235、Q345E兩種低碳鋼板進行破片侵徹試驗，試驗之前，對靶板的靜力學性能進行測試，破片靜力學性能參數由供應商提供，彈靶主要力學性能如表1所示。

表1 彈靶力學性能

通過破片侵徹試驗得到直徑為6 mm、7 mm和 8 mm 鎢球垂直侵徹4 mm、6 mm、8 mm厚Q345E鋼板，3 mm、6 mm厚Q235鋼板的彈道極限速度，結果及試驗后部分靶板如表2、圖7和圖8所示。

表2 彈道試驗結果

圖7 破片對4 mm厚Q345E鋼靶板侵徹情況Fig.7 Fragments penetrate Q345E plate with 4 mm thick

圖8 破片對8 mm厚Q345E鋼靶板侵徹情況Fig.8 Fragments penetrate Q345E plate with 8 mm thick

3 模型求解

3.1 擬合數據

根據文獻[4-9]及2.2節試驗數據進行模型系數獲取，試驗數據列于表3中。

表3 彈道極限速度試驗數據

圖9顯示了表3數據中相對彈靶厚度比和彈道極限速度的非線性關系。由圖9可見：低碳鋼板彈道極限速度隨著彈靶厚度的增加而逐漸減少。

圖9 彈道極限速度關于彈靶厚度比分布Fig.9 Distribution of ballistic limit velocity with thickness ratio of projectile to target

3.2 速度閾值

根據表2中力學性能參數和(3)式、(7)式、(8)式，計算彈道極限速度模型中的分段速度閾值如表4所示。由表4可見，靶體材料對破片破壞特征改變的著靶速度閾值影響不大。

表4 破片變形閾值

破片變形閾值速度如表4所示，對比1.1節的破片侵徹特征，可見所求變形閾值速度在一定程度上與試驗結果符合。例如，文獻[11]的試驗結果，顯示在500～1 000 m/s的著靶速度下，破片呈現非侵蝕塑性變形的特征，與所求662 m/s的塑性變形閾值速度是相容的。

3.3 系數獲取

試驗獲得彈道極限速度如圖10所示，不同靶板對應的彈道極限速度和速度閾值以不同的顏色進行區分。由圖10可見，靶板類型對破片的侵蝕速度閾值有一定影響。由于現有樣本量分布不均，在此取破片侵徹兩類靶板的平均侵蝕閾值速度作為破片侵蝕變形閾值速度進行計算。

圖10 試驗數據分布Fig.10 Distribution of test data

圖9和圖10分別體現了彈道極限速度與彈靶厚度比的關系，彈道極限速度與破片變形閾值速度之間的聯系。將彈靶厚度比與破片變形閾值速度關聯，可得彈道極限速度與彈靶厚度比之間的聯系，如圖11所示。

圖11 彈道極限速度隨彈靶厚度比的變化Fig.11 Variation of ballistic limit velocity with thickness ratio of projectile to target

圖11反映了破片極限穿透靶板時，不同彈靶厚度比與破片侵徹類型之間的聯系。彈靶厚度比1<≤27時，破片以剛性侵徹為主；彈靶厚度比052<≤1時，破片以塑性侵徹為主；彈靶厚度比042<≤052時，破片以侵蝕侵徹為主；彈靶厚度比033<≤042時，破片以破碎侵蝕為主。由此(14)式隱式形式的彈道極限速度計算模型變為顯示形式：

(15)

331 信賴域方法

模型(15)式為非線性方程組，對于此方程組，可采用迭代算法求解。信賴域反射方法是一種求解非線性優化問題的方法，其原理是利用目標式的泰勒2階展開代替目標式搜索最優步長，較一般線搜索方法收斂更快，求解方法如下：

()是目標函數，在的鄰域定義為{∈|‖-‖≤}，為信賴域半徑，則在鄰域處泰勒展開，定義信賴域子問題如下：

(16)

(17)

若>075，則表明接近程度好；此時可擴大信賴域，令+1=2；若<075，則可維持信賴域半徑，令+1=；若<025，則表明離真實值較遠，進一步縮小信賴域半徑，有+1=025‖‖。隨后在新信賴域半徑內，對信賴域子問題求解，直到試探步長收斂接近于0。

若采用信賴域反射方法，則需要對解的取值范圍進行約束。根據已有研究，靶板厚度、靶板強度、靶板密度、靶板材料延伸率與彈道極限速度呈現正相關；破片密度、破片強度、破片直徑與彈道極限速度呈現負相關。因此，(14)式回歸系數取值應大于0；為了對模型的回歸系數在相同尺度下進行對比，分析不同物理參量在相同條件下的重要程度，在此可令模型系數、、均為1。

采用上述方法，(14)式系數回歸后模型為

(18)

對(18)式擬合系數四舍五入后保留兩位小數，方程中出現趨于0項即指數為0，則表明該項在方程中不起作用。因此去掉指數為0項可進一步化簡為

(19)

(19)式的形式和前面理論分析有一些出入，如剛性和侵蝕侵徹計算方程不含延伸率項，破碎侵徹方程的彈靶密度項為0，反映了速度區間閾值和信賴域擬合方法在方程求解上的特點。在信賴域方法中，信賴域半徑等于鄰域1的范數，因此可視為求信賴域子問題時加入了L1正則項。而L1正則化使解的特征稀疏化，具備特征選擇功能。

通常，材料延伸率和屈服強度是影響彈靶侵徹的因素，其中材料延伸率反映材料塑性應變的性能，屈服強度反映材料抵抗塑性應變能力。對于破片侵徹低碳鋼問題，由于靶板存在明顯塑性流動現象，在方程中考慮這兩類因素，但對于因素的影響因子相對大小是未知的。計算結果證明，在不同著靶速度范圍內，兩個物理量的影響存在差異。

332 結果驗證

圖12所示為彈道極限速度試驗結果與模型計算結果對比圖。由圖12可見，彈道極限速度模型計算結果與試驗結果基本一樣，表明系數的可靠性。圖13所示為模型計算結果與試驗結果的相對誤差，采用(20)式計算方法得到相對誤差，得到最大誤差為82，表明計算模型具有較高的精度。

(20)

圖12 試驗結果與計算結果對比Fig.12 Comparison of test results and calculated results

圖13 試驗結果與計算結果誤差Fig.13 Error between test results and calculated results

由(19)式可見：彈靶相對密度的系數絕對值最大，可判定其是影響彈道極限速度的主要因素；彈靶厚度比和彈靶相對強度是影響破片彈道極限速度的次要因素。

4 誤差分析與驗證

4.1 誤差分析

采用相同的方法與試驗數據，在相同求解區內，對文獻[4-5，22]中模型進行系數獲取，并比較新舊模型計算結果與試驗結果之間的平均絕對誤差(MAD)、平均相對誤差(MRE)和最大偏差(ME)，計算式如下：

(21)

(22)

=max{||,||,…,||}

(23)

式中：(,,,)為計算獲得數值；為試驗獲得數值；為數據量；為計算值與試驗值偏差。

文獻模型計算結果如圖14～圖16所示，新舊模型計算結果與試驗結果之間誤差如表5所示。

圖14 文獻[22]模型計算結果與試驗結果對比Fig.14 Comparsion between the calculated results in Ref.[22] and the test results

圖15 文獻[4]模型計算結果與試驗結果對比Fig.15 Comparsion between the calculated results in Ref.[4] and the test results

圖16 文獻[5]模型計算結果與試驗結果對比Fig.16 Comparison of the calculated results in Ref.[5] and the test results

表5 模型計算結果與試驗結果誤差

由圖14(a)、圖15(a)、圖16(a)可見：模型計算值和試驗值趨勢相同。各公式適用范圍集中在 611～1 800 m/s區間，比本文模型的適用范圍要窄。對比各模型計算結果和試驗結果的誤差直方圖，現有模型的誤差均呈現中間數據為正偏差、兩頭數據為負偏差的特點，且偏差絕對值均較大，一定程度上反映了現有模型的局限性。圖17所示為誤差直方圖對比。

圖17 誤差直方圖對比Fig.17 Error histogram

由表5可見：本文模型較文獻模型計算精度具有提升。其中，本文模型的平均相對誤差為3.2%，平均絕對誤差為30.2 m/s，最大偏差為8.2%，均低于文獻模型計算結果。可見本文模型在300～1 800 m/s的速度范圍內較文獻模型在計算精度方面具有優越性。

4.2 模型驗證

破片侵徹低碳鋼板的彈道極限速度數據全部參與模型系數擬合計算，因此不能用彈道極限速度數據對公式進行驗證。然而，可以對比模型(19)式預測彈道極限速度和單枚破片在一定初速下侵徹靶板的穿透結果，當靶板未穿透時，預測彈道極限速度應大于破片初速，以此對模型的正確性進行有限驗證(見圖18)。

圖18 驗證方法Fig.18 Validation method

驗證數據來源于李金福等、徐豫新等、趙曉旭等的試驗。彈靶材料、厚度、試驗結果和模型計算結果如表6所示。

表6為對模型(19)式的驗證結果，破片侵徹速度范圍從500～1 900 m/s。結果顯示模型(19)式：在侵徹速度范圍為500～1 800 m/s時，可以對彈道極限速度進行較好的預測；當侵徹速度超過1 800 m/s，或彈靶厚度比小于0.33時，彈道極限速度預測結果不佳。

表6 模型驗證

5 結論

本文針對鎢合金破片對低碳鋼侵徹建立了具有更加普適性的彈道極限速度計算模型，對不同速度區間內破片侵徹中的破壞特征進行討論，提出不同破壞特征變化的著靶速度閾值求解方法；建立基于彈靶力學性能參數的彈道極限速度計算模型，并基于信賴域方法獲得了模型系數。根據已有試驗數據分析了所建立模型計算的精度。得出主要結論如下：

1)通過對比分析，所建模型在300～1 800 m/s著靶速度區間內或0.33～2.70的彈靶厚度比內，計算精度較高，具有實用價值。

2)基于不同速度下的侵徹規律建立分段模型，較一般模型可取得更好的計算精度。

3)對于含約束條件的尋優問題，信賴域方法可在全局取得收斂性，解更具有普遍性。