基于局部樣本三軸磁傳感器校準參數求解

龐學亮，江鵬飛，楊 慧

(武漢工程大學，湖北 武漢 430205)

0 引言

三軸磁傳感器用于測量外部磁場的三分量，在地磁導航、航空磁探、空間磁場測量方面具有廣泛的應用。在傳感器設計生產中，由于工藝等原因，三軸很難做到完全正交，同時三軸也存在一定差異，接收器電路存在漂移、噪聲，接收器鐵芯存在剩磁，數據采集存在截斷誤差等，這就給測量帶來兩方面影響：1) 由于地磁場的存在，當傳感器姿態發生變化時，在相對穩定的地磁場下，其標量輸出不是一個穩定的值，會產生很大干擾信號；2) 由于三軸已經偏離了正交，致使按照理想情況進行計算的標量值也產生了偏差[1]，這就需要對三軸磁傳感器進行校準。目前校準的思路是先建立三軸磁傳感器信號輸出模型，通過在穩定地磁場下測量的數據求解模型系數，然后再根據模型系數進行輸出信號校準。三軸磁傳感器校準的關鍵是校準模型精度和模型系數的求解，對于校準模型通常考慮三軸正交性、靈敏度一致性和剩磁三個因素，而模型系數求解的方法有很多種，比如文獻[2]提出極大似然方法校準方法，文獻[3]采用支持向量回歸(support vector regression)方法進行校準，文獻[4]提出非線性最小二乘法參數估計，文獻[1]提出共軛梯度法進行系數求解，文獻[5]提出模型系數自動搜索方法，文獻[6]提出自適應系數求解法，本文作者之前也提出了基于遺傳算法參數求解方法[7]。歸納起來這些方法對模型參數求解都是在樣本空間分布比較均勻的情況下，具有很好的效果[8-10]，但是當求解的樣本為局部樣本時，其求解的精度大幅度下降。本文針對在局部樣本下，三軸磁傳感器校正橢球模型參數求解精度差的問題，提出基于局部樣本三軸磁傳感器校準參數求解方法。

1 三軸磁傳感器校準橢球體模型

(1)

B0=K-1(B-b)。

(2)

當空間校準磁傳感器時，B0的變化軌跡為一球面，其半徑為常量，令L=K-1，可以得到

(3)

該式子展開可以整理成如下形式：

(4)

該方程為橢球體模型，對于泊松模型12個參數，L矩陣非對角元將按對稱關系兩兩合并，模型的參數簡化為9個；通過對測量的磁傳感器數據進行橢球體擬合，采用最小二乘法就可求解出9個參數a1到a9，將式(3)展開，和式(4)對比，可以得到

(5)

式(5)中，k為橢球擬合過程求得的半徑，為一常數因子；根據橢球擬合求得的a1到a9和k。根據式(5)，可以得到L矩陣和b，再利用B0=L(B-b)對三軸磁傳感器進行校正。

2 局部樣本下橢球體模型求解

三軸磁傳感器的校準核心為橢球體模型參數的求解，在校準過程中，采集的磁場數據空間遍歷性越好，其參數求解的精度越高，校準效果越好；但在實際應用過程中，受設備空間體積限制等，往往只能得到局部的一些數據樣本，其擬合的結果往往不是橢球體，而變成二次拋物面，其偏差非常大，導致三軸磁傳感器的校準失效。為了保證局部樣本情況下，擬合的模型為橢球體，將式(4)寫成

(6)

如果保證擬合的為一橢球體，擬合過程中需要增加約束條件，根據橢球方程的性質，當4J-I2>0，可以保證擬合的二次曲面為橢球面，這是擬合方程為橢球面的一個充分條件，這里我們取該條件為橢球擬合的約束條件[12]。

對于校準測量的磁場數據，令

滿足4J-I2>0約束條件下式(6)最小二乘法參數求解等價為：

min‖DV‖24J-I2=1。

(7)

這里D=[X1,X2,…,Xn]，n為采樣數據點數。令

4J-I2=1可以表示為VTCV=1，這樣式(7)求解采用拉格朗日因子方法變為：

DDTV=λCV，

(8)

VTCV=1，

(9)

式(8)、式(9)的唯一解為正特征值所對應的特征向量；對于矩陣C，當行或列大于6時，元素都為零[13]，令

(10)

式(10)中，S11、S12、S22分別為6×6、6×4、4×4矩陣，V1、V2分別為6×1、4×1向量。式(10)可以寫成

(S11-λC1)V1+S12V2=0，

(11)

(12)

可以求得

(13)

將式(13)代入式(11)得

(14)

(15)

3 數值仿真

表1 參數假設值Tab.1 Hypothetical parameters

仿真樣本分別選取全橢球面、半橢球面、1/3橢球面，如圖1—圖3所示。根據文獻[12]分析，當樣本取橢球體頂端端面，其最容易擬合成非橢球二次曲面，為了算法性能，這里選取的方法為頂端橢球面。

圖1 全橢球面圖Fig.1 Total ellipsoid

圖2 半橢球面Fig.2 Half ellipsoid

圖3 1/3橢球面Fig.3 1/3 ellipsoid

通過數值仿真，當選取全球面和半球面時，進行20次仿真計算，兩種方法均可以準確求解參數，且具有較高的求解精度；當樣本選取1/3橢球面時，進行20次仿真，傳統最小二乘法出現3次誤差異常大情況，計算4J-I2值，發現其盡管還為正值，但已經非常接近零值；而采用帶約束最小二乘，盡管其精度下降，但不會出現誤差異常大情況，4J-I2值都大于3.1；這說明帶約束最小二乘在局部小樣本情況下，求解橢球體模型參數的有效性。表2列出了其中一次參數求解結果。

表2 參數求解結果Tab.2 Parameter solution results

4 實測數據

三軸磁傳感器校準選取的樣本空間遍歷性越好，校準效果越好，但為了簡化校準程序，也不能選取過多的樣本。一般在整個橢球面選取遍歷性好的有代表性的20個左右樣本點，結合工程實際，選取的方法為X、Y和Z平面各每間隔90°取4個點，X平面傾斜60°下，在Y和Z平面間隔90°各再取4個點，總共20個點。該選取方法經過驗證可以保證求解精度，如圖4所示。為了驗證局部樣本下，提出方法的有效性，選取水平樣本12點，傾斜30°情況下樣本12點，如圖5所示。該選取方法便于實際設備校準取樣，需要設備俯仰的角度又不大，屬于局部樣本情況，相對于仿真取的1/3橢球面，更滿足實際需求。分別采用傳統二乘和帶約束最小二乘方法進行橢球體模型參數求解，結果如表3所示。

圖4 20點全空間樣本Fig.4 20 Point sample

圖5 24點局部樣本Fig.5 24 Point sample

表3 不同樣本下參數求解結果

通過實測數據對橢球體模型參數進行求解，當樣本為全空間情況，兩種方法均可準確求解出模型參數；但當采用局部樣本是最小二乘法求解的參數誤差非常大，而帶約束最小二乘仍然可以準確求解出橢球體參數，說明了該方法的有效性。

5 結論

本文提出基于局部樣本三軸磁傳感器校準參數求解方法。該方法能準確求解局部樣本下橢球體參數，當參數求解的樣本為整個橢球面取樣時，最小二乘方法可以準確求解出參數。在實際應用中，會存在只有局部樣本取樣情況，這時最小二乘法參數求解精度就會很差，可能擬合的是拋物線方程，為此利用帶約束的最小二乘法，以保證求解的方程為橢球體方程。數值仿真和實測數據計算結果表明，該方法驗證了在局部樣本情況下橢球體參數求解的有效性。該方法不僅適用最小二乘，還可以推廣到橢球體模型參數求解的其他方法,例如神經網絡、遺傳算法等最優參數估計的方法，通過增加約束條件，理論上可以保證在局部樣本情況下，參數估計還具有較高的精度。