受非線性白噪聲驅動的隨機非自治不可壓縮非牛頓流體的弱拉回吸引子

晏 濤, 鄒愛紅, 張 露, 舒 級*

(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學 可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室, 四川 成都 610066)

假設O是R2上的光滑區域,考慮在具有非線性擴散項的白噪聲驅動下的隨機非自治不可壓縮非牛頓流體：

x=(x1,x2);

▽·u=0,u|?O=0,

(1)

其中未知向量函數u=u(x,t)=(u(1),u(2))表示流體的速度,

g(x,t)=g(t)=(g(1),g(2))

τ

eij=e

(2)

其中μ0、μ1、α、ε1依賴于溫度和壓力的參數,本文μ0、μ1、α、ε1是正常數且0<α<1,在(2)式中如果τij(e(u))和eij(u)是線性關系,就稱相應的流體是牛頓流體.一般來說,氣體、水、機油、醇和簡單的碳氫化合物往往是牛頓流體,它們的運動可以用Navier-Stokes方程來描述.如果τij(e(u))和eij(u)是非線性關系,那么這個流體就叫做非牛頓流體.例如,熔融的塑料、聚合物溶液和涂料往往是非牛頓流體.由于速度的梯度|▽u|相對較大,方程(1)可以看成是“修正的”隨機Navier-Stokes方程.顯然,當α=μ1=0,(1)式退化為隨機Navier-Stokes方程,而當μ1=μ0=0時退化為隨機歐拉方程;它們都是牛頓流體.注意到,(1)式中的隨機項在It積分下是有意義的.

本文將在適當的Bochner空間中研究方程(1)弱拉回均方隨機吸引子的存在唯一性,這種弱拉回均方隨機吸引子不同于逐點拉回隨機吸引子.隨機動力系統的逐點拉回隨機吸引子的概念首先在文獻[1-3]中提出,隨后許多專家也進行了廣泛的研究;自治的隨機方程可以參考文獻[4-24],非自治的隨機方程可以參考[25-29].特別地,隨機方程(1)的逐點拉回隨機吸引子的存在唯一性可以在文獻[2,6,14]中查閱,但是這些論文對擴散項σ施加了非常嚴格的條件,要求σ(t,u)在u中是線性的,或者具有非常特殊的結構,比如反對稱.據作者所知,當σ是一般的Lipschitz非線性函數時,目前還沒有關于逐點拉回隨機吸引子存在的結果.

為了研究同時具有非線性漂移和非線性噪聲的隨機反應擴散方程的漸近行為,Wang[30]引入了弱拉回均方隨機吸引子,并在文獻[31]中進一步研究.之后,Wang[32]討論了具有一般Lipschitz非線性擴散項的隨機非自治Navier-Stokes方程的弱拉回均方隨機吸引子的存在性.本文在σ(t,u)是Lipschitz非線性函數的條件下,證明了隨機非自治不可壓縮非牛頓流體方程(1)的弱拉回均方隨機吸引子的存在唯一性(見定理2.2).這似乎是關于具有一般Lipschitz非線性擴散項的隨機非自治不可壓縮非牛頓流體方程的弱拉回均方隨機吸引子存在性的第一個結果.

下文首先在適當的Bochner空間中定義了帶Lipschitz非線性擴散項的隨機非自治不可壓縮非牛頓流體方程(1)的均方隨機動力系統,然后構造了(1)式的一個弱緊拉回吸收集,并證明了弱拉回均方隨機吸引子的存在唯一性.

1 預備知識

本節在濾子概率空間中給出了非自治隨機不可壓縮非牛頓流體(1)的解的存在性,并定義了一個均方隨機動力系統.為此,需要將問題(1)重新表述為抽象的隨機微分方程,本文使用了以下符號：

Lp(O)-2維勒貝格空間并定義了范數‖·‖Lp(O);特別地,‖·‖L2(O)=‖·‖;

Hm(O)-2維索伯列夫空間{φ=(φ1,φ2)∈L2(O),▽kφ∈L2(O),k≤m}并有范數‖·‖Hm(O),其中k、m是非負的整數;

H=L2(O)中V的閉包并有范數‖·‖;H′=H的對偶空間;

V=H2(O)中V的閉包并有范數‖·‖V;V′=V的對偶空間,(·,·)為H中的內積,〈·,·〉為V和V′的對偶內積.

進一步引入一些算子.令

(3)

由文獻[33],有以下引理.

引理 1.1存在2個正常數c1和c2它們僅依賴于O且有

從a(·,·)的定義和引理1.1可得a(·,·)在V上定義了一種正定對稱雙線性形式.作為Lax-Milgram引理的推論,得到了一個等距算子A∈Γ(V,V′),并有

〈Au,v〉=a(u,v), ?u,v∈V.

b(u,v,w)=-b(u,w,v),

b(u,v,v)=0, ?u,v,w∈V.

(5)

對任意的u∈V有

〈B(u),w〉=b(u,u,w), ?w∈V,

(6)

Qej=qjej, ?j∈N,qj≥0.

W是一個定義在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上的Q維納過程并在H上取值,從文獻[34]中可得

W(t)=在L2(Ω,F,H),

W

其中S*是S的伴隨算子.

最后,由u∈V,設

定義N(u)

?v∈V.

那么函數N(u)從V到V′是連續的.當u∈D(A)時,N(u)能通過

?v∈H

(7)

延拓到H.從物理角度看,(1)和(2)式的初邊值問題可表示為:

(8)

▽·u=0,x∈O,

(9)

u=0,τijlnjnl=0,x∈?O,

(10)

u|t=τ=u0,

(11)

除去p,問題(8)～(10)在螺線向量場中的弱形式可以表示如下

(12)

且有初值

u(τ)=u0,

(13)

在本文中,假設σ:R×V→L2(H0,H)是滿足以下條件的連續映射：存在非負常數β1,β2,…,β5使得對所有的t∈R和u,v∈V,有

(14)

(15)

現在給出(12)～(13)式解的存在性.

依概率幾乎處處成立.

在(14)和(15)式的條件下,(12)和(13)式的解的存在唯一性可參考文獻[34].

命題 1.3假設(14)和(15)式成立，則存在ε0>0使得對每一個ε∈(0,ε0),τ∈R和u0∈L4(Ω,Fτ;H),問題(12)和(13)有唯一解u∈L4(Ω,C([τ,τ+T],H))∩L2(Ω,L2((τ,τ+T),V)),對每一個T>0,并有

E(

‖u(s)‖2)ds)≤M1(1+E(‖u0‖4)), (16)

其中M1>0是一個不依賴于u0的常數.

因為u∈C([τ,∞),H)依概率處處成立,由(16)式和勒貝格控制收斂定理可得u∈C([τ,∞),L4(Ω,F;H)),因此(12)和(13)式能定義一個均方隨機動力系統.給定t∈R+和τ∈R,設Φ(t,τ)是從L4(Ω,Fτ;H)到L4(Ω,Fτ+T;H)的一個映射且有

Φ(t,τ)(u0)=u(t+τ,τ,u0),

其中u0∈L4(Ω,Fτ;H),u是(12)和(13)系統的具有初值u0的解.通過解的唯一性,可知對每一個t,s≥0和τ∈R,有

Φ(t+s,τ)=Φ(t,s+τ)°Φ(s,τ).

因此,Φ是文獻[32]中定義1.1下的在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中的均方隨機動力系統.

回顧在O上的龐加萊不等式:存在一個正常數λ使得

(17)

令B={B(τ)?L4(Ω,Fτ;H):τ∈R}是一個非空有界集族使得

(18)

其中

‖B(τ)‖L4(Ω,Fτ;H)=

記D為具有性質(18)的所有非空有界集族的集合:

D={B={B(τ)?L4(Ω,Fτ;H):

B(τ)≠0,τ∈R}},

(19)

其中B(τ)有界且B滿足(18)式.

為了證明Φ的弱D拉回均方隨機吸引子,假設確定的外力項g滿足

顯然(20)式不需要當s→±∞時g(s)在V′中有界.作為(20)式的一個推論,有

2 非自治不可壓縮非牛頓流體的弱D拉回均方隨機吸引子

本節證明問題(12)和(13)在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中弱D拉回均方隨機吸引子的存在唯一性.先對解進行一致估計,然后為系統構造了一個D拉回弱緊吸收集.

引理 2.1假設(14)和(15)式成立,則存在ε0>0使得對每一個0<ε≤ε0，每一個τ∈R和B={B(t)}t∈R∈D,并存在T=T(τ,B)>0使得對所有t≥T,問題(12)和(13)的解u滿足

E(‖u(τ,τ-t,u0)‖4)≤

M2+M2e

其中u0∈B(τ-t),M2是不依賴于τ和B的正常數.

證明從形式上推導出期望的一致估計,但是所有的計算都可以通過像Galerkin方法這樣的極限過程來驗證.首先,根據It公式和(12)式得到

d(‖u(r)‖2)=2ε(u(r),σ(r,u(r)))dW+

(-4μ1a(u,u)-2〈u(r),N(u〉)+

2〈u(r),g(r)〉+

(21)

d(‖u(r)‖4)=4ε‖u(r)‖2×

(u(r),σ(r,u(r)))dW+

2‖u(r)‖2(-4μ1a(u,u)-

2〈u(r),N(u)〉+2〈u(r),g(r)〉+

(22)

其中σ*是σ的伴隨算子.對(22)式取期望,對r≥τ-t,有

8μ1E(‖u(r,τ-t,u0)‖2a(u,u))+

4E(‖u(r,τ-t,u0)‖2〈u(r,τ-t,u0),N(u)〉)=

4E(‖u(r,τ-t,u0)‖2〈u(r,τ-t,u0),g(r)〉)+

2ε2E(‖u(r,τ-t,u0)‖2

4ε2E(‖σ*(r,u(r,τ-t,u0))×

(23)

現在對(23)式右邊的每一項進行估計.首先,有

4‖u(r,τ-t,u0)‖2|〈u(r,τ-t,u0),g(r)〉|≤

4‖g(r)‖V′‖u(r,τ-t,u0)‖2×

‖u(r,τ-t,u0)‖V≤

μ1c1λ‖u(r,τ-t,u0)‖4+

(24)

2ε2‖u(r,τ-t,u0)‖2×

2ε2(β1‖u(r,τ-t,u0)‖2+

β2‖u(r,τ-t,u0)‖4+

(25)

對(23)式右邊的最后一項,有

‖u(r,τ-t,u0)‖2≤

‖u(r,τ-t,u0)‖2≤

‖u(r,τ-t,u0)‖2,

根據(25)式,對所有0<ε≤ε0,有

(26)

現在對(23)式左邊每一項進行估計.

8μ1‖u(r,τ-t,u0)‖2a(u,u)≥

8μ1c1‖u(r,τ-t,u0)‖2×

(27)

由文獻[33],〈u(r,τ-t,u0),N(u)〉是非負的,所以有

4‖u(r,τ-t,u0)‖2×

〈u(r,τ-t,u0),N(u)〉≥0.

(28)

由(23)～(28)式,對0<ε≤ε0和r≥t-τ有

4μ1c1E(‖u(r,τ-t,u0)‖2

3μ1c1λE(‖u(r,τ-t,u0)‖4)+

(29)

因此,由(17)式對0<ε≤ε0和r≥t-τ,則

μ1c1λ‖u(r,τ-t,u0)‖4≤

(30)

利用Gronwall引理,由(30)式可以得到

E(‖u(r,τ-t,u0)‖4)≤e-μ1c1λtE(‖u0‖4)+

(31)

因為u0∈B(τ-t)和B∈D,當t→0時,

e-μ1c1λtE(‖u0‖4)=

e-μ1c1λτe-μ1c1λ(τ-t)E(‖u0‖4)≤

e-μ1c1λτe-μ1c1λ(τ-t)‖B(τ-t)‖L4(Ω,Fτ-t;H)→0.

因此,存在T=T(τ,B)>0使得

e-μ1c1λtE(‖u0‖4)<0

對所有t≥T,結合(31)式從而完成證明.

現在準備證明Φ的弱D拉回均方隨機吸引子的存在性.

定理 2.2假設(14)和(15)式成立,則存在ε0>0使得對每一個0<ε≤ε0,問題(12)和(13)式的均方隨機動力系統Φ在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中有唯一的弱D拉回均方隨機吸引子A={A(τ):τ∈R}∈D.

證明給定τ∈R,記

K(τ)={u∈L4(Ω,F;H):

E(‖u‖4)≤R(τ)},

其中

R(τ)=M2+M2e

M2是引理2.1中相同的正常數.因為K(τ)是自反Banach空間L4(Ω,F;H)中的有界閉凸子集,可得K(τ)在L4(Ω,F;H)中是弱緊的.因此,由(20)式可以得到

又因為K={K(τ):τ∈R}∈D,結合引理2.1可知K是Φ的弱緊D拉回吸收集.于是Φ的弱D拉回均方隨機吸引子A∈D的存在唯一性可以由文獻[32]中命題2.5得到.作為特例,根據引理2.1的證明,如果(14)式中的常數β1是0,并對所有的x∈O和t∈R,外力項g(x,t)=0,那么隨機方程(1)對于ε來說是指數穩定的,即所有解在L4(Ω,F;H)中以指數率都拉回收斂到零,具體地說,有以下結果.

定理 2.3假設(14)和(15)式成立且β1=0和g(x,t)≡0,那么存在ε0>0使得對每一個0<ε≤ε0,問題(12)和(13)的均方隨機動力系統Φ在(Ω,F,{Ft}t∈R,P)上L4(Ω,F;H)中有唯一的弱D拉回均方隨機吸引子A={A(τ):τ∈R}且對所有τ∈R有A(τ)=0.

證明因為β1=0和g(x,t)≡0,由(31)式,對每一個D={D(τ):τ∈R}∈D,可得

t→∞,

這表示0是Φ的一個D拉回弱吸引完全解.因此,由文獻[32]中的定理2.6可得結論.