通過一題多解方法復習同角三角函數基本關系

馬來吉

摘要：同角三角函數基本關系是高中數學三角函數內容中非常重要的一節。學生能正確理解和掌握同角三角函數基本關系是后續學習的基礎.因此學好同角三角函數基本關系才能和后面的內容融會貫通，順利解決問題。本文通過對一道關于同角三角函數關系的題目試用多種方法展開求解，以期學生能完全掌握知識，能舉一反三，合理選取能快速解決問題的技巧。

關鍵詞：同角三角基本關系;一題多解

正文：數學學科是我國現行基礎教育主要學科之一.數學學習對學生的思維能力和創造能力以及組織能力有著重要的影響.一題多解的目的在于激發學生興趣、培養學生思維能力和應變能力.能促使學生養成對事物的探索精神.在高中數學學習中經常使用一題多解的方法加快學生掌握知識的速度.同角三角函數關系是新課標高中數學內容非常重要的一節，學生能正確理解和掌握同角三角函數基本關系是后續內容學習的基礎.本文我們使用多種方法對下面這道題進行講解與分析，希望學生能觸類旁通，舉一反三，順利掌握同角三角函數關系相關知識，將其和后面內容融會貫通，快速解決考試中出現的問題.

例題：已知 求 的值.

該題是一道典型的已知代數式的值求另一個代數式的值的問題.題目主要考查同角三角函數基本關系.學生很容易想到利用同角三角函數關系的平方關系以及解方程思想求出 和 的值來解決該問題，我們嘗試一下.

該方法雖然是學生最容易想到的方法，進行到這一步感覺能解決問題，但真實情況是大多學生很難正確求解.原因是我們還需要根據其它條件來判斷 和 的取值，在這個解題過程中顯然是沒有的，需要另找條件或者方法。

基于三角函數線相關知識，有向線段 .因此可利用有向線段來判斷 所在的象限從而來判斷 和 的正負，我們以此可以完善方法一。

我們知道，用三角函數線表示三角函數一定是帶方向的，正是因為有了方向，三角函數線才有了靈魂.利用三角函數線不僅可以判斷三角函數在各個象限的符號，而且還可以比較大小.比如利用三角函數線可比較 時， 的大小（有興致的同學可以嘗試多種方法來求解）。

在三角函數求解中，將和的形式轉化為乘積的形式常用到的方法是平方法，而不同名稱的兩個三角函數乘積正好是正弦形式的二倍角公式.而 和 又是同角三角函數，因此我們可以利用以下方法解決該問題。

通過平方法快速求解了 的值，再利用同角三角函數關系 可完美解決問題，而且計算量也不大，將 看成一個整體，利用整體代換法是解決很多數學問題快速有效的好方法。

我們設想一下，如果知道 的值，和已知條件 一起可構造關于 和 的二元一次方程組，而方程組是我們初中就已經掌握了的.從而能夠很好的解決該問題.學會構造法，在求解方程過程中能起到事半功倍的效果.具體我們來看下面的方法。

該方法難點是通過 的值來求 的值，以及在縱觀以上幾種方法，每種方法都有各自的特點，不存在哪種方法優，哪種方法劣.對于學生來說最好的方法就是能快速掌握且能正確找到答案的方法.本文我們羅列這么多方法主要是從復習的角度來發散學生的思維，使得學生能快速找到適合自己的解法，順利掌握知識。