針對高階Sigma-Delta 調制器穩定性提升的相位補償器設計

王欣欣，周 彪

（江南大學 江蘇 無錫 214122）

0 引言

高階Sigma-Delta 調制器是在具有低通濾波特性的二階傳感結構后級聯電學積分器，積分器的個數越多，噪聲整形能力越強，但高階Sigma-Delta 調制器面臨著穩定性差的問題，噪聲傳遞函數的增益（1-z-1）L在高頻處會迅速增大。

解決調制器不穩定問題的方法主要有：（1）采用MASH 結構[1-2]，但電路設計復雜；（2）采用相位超前補償器（主要方法）。

本文所采用的分數階相位補償器PDu，引入微分參與控制，可以使系統的穩定性增加，通過觀測系統的穩定性提高來證明。傳遞函數形如：H（s）=kp+kd*su，其中：kp為比例系數、kd為微分系數、su為分數階微分算子。su具有積分效果，可以對系統起到噪聲整形的作用。u是微分階次，階次為1 時，PDu即整數階PD相位補償器。

使用MATLAB 編程，采用粒子群優化算法對kp、kd和α3 個參數進行優化，通過尋求最優解帶入SIMULINK 仿真系統，分別在分數階和整數階情況下求取系統最高信噪比。

當前使用分數階相位補償器提升高階Sigma-Delta 調制器系統穩定性的研究非常有限。文獻[3]中只分析了對比整數階相位補償器，分數階相位補償器有著更好的噪聲整形效果，并沒有對比沒有加相位補償器時系統的信噪比變化。本文在現有的研究基礎上，對此進行完善，同時使用Lee 判據[4-6]加以輔助，其具體表述如下：一個1-bit 量化器Sigma-Delta 調制系統，噪聲傳遞函數NTF=H(z)在滿足如下條件時可以是穩定的，即max|NTF（ejw）|≤1.5，0 ≤w≤π。

1 高階Sigma-Delta調制器系統建模

四階CIFF 結構Sigma-Delta 調制器的系統框圖見圖1。

根據圖中所示的Sigma-Delta 調制器的系統框圖的輸入輸出關系，可以列出下列方程組：

為了減少諧波干擾，將信號通路到第二、三、四級積分器去除，即令b2=b3=b4=0。其中T是采樣周期，每一級積分器的傳遞函數H為1/（z-1），量化器等效為帶有隨機加性白噪聲的加法器[7]，H(z)是本文所采用的分數階相位補償器PDu的傳遞函數。聯立上式可推得噪聲傳遞函數NTF 結果如下式所示：

在Simulink 搭建的Sigma-Delta 調制器模型中所示參數是未知的，需要通過Matlab 中的SDToolbox 工具箱得到。使用SDToolbox 中synthesizeNTF 函數合成調制器的噪聲傳遞函數，realizeNTF 函數把噪聲傳遞函數映射到積分器的反饋系數[a，g，b，c]中，mapABCD 函數計算得到的優化后的結構參數[8]。通過對系統模型的仿真得到最優的信噪比，最終確定的系數見表1。

表1 調制器系數

2 粒子群算法優化相位補償器參數

分數階PD控制器的傳遞函數H(s)=kp+kd×su，本文采用的分數階微分形式為s{mu}，其中mu是s運算符的階數。mu=1 時，即整數階微分形式；mu介于0 到1 之間時，即分數階微分形式。在SIMULINK 系統中所加的相位補償器的內部結構圖見圖2。

通過粒子群優化（Particle swarm optimization，PSO）算法[9-10]對參數kp、kd和mu進行優化，在算法中，需要在三維空間內搜索，尋找目標函數的最優點。粒子的當前位置通過其速度和位置更新為最近發現的自身和全局最佳位置。

2.1 初始化相關參數

首先，綜合系統的優化性能和算法的計算時長，設置種群規模是50，迭代次數也取50，學習因子c1=c2=2。3 個參數的粒子位置矢量定義xi=(kp,kd,mu)，其中i代表空間維度，需要設置粒子的速度和位置區間，以防止超出最大的區間范圍，為每個待優化參數設定不同的粒子移動范圍。代入數值檢測后可以獲得kp、kd和mu的大致范圍，從而確定3 個粒子的最大位置區間分別為[popmin1:popmax1；popmin2:popmax2；popmin3:popmax3]=[-3:3; -3:3; 0:1]。

2.2 性能評價指標

選取信噪比（Signal-to-noise ratio，SNR）作為粒子群優化算法的適應度函數。在粒子的每一次迭代尋優過程中，當粒子的移動速度和位置超出邊界值，令其等于邊界值。將更新后的粒子的位置對應的參數設置Sigma-Delta 調制器的PDu控制器的相應參數，然后運行系統計算相應的適應度函數。每次更新kp、kd和mu的數值都需要遍歷整個系統，調用添加的calcSNR 函數計算信噪比，具體實現步驟如下：對提取到的正弦信號和噪音成分使用窗函數截取之后進行快速傅里葉變換，求得的信號幅度值平方求和結果得到信號能量和噪音能量，二者的比值即待求的信噪比。

其中，Es為信號能量，En為噪聲能量。As為信號振幅，An為噪聲振幅。每次更新粒子代入系統求得的信噪比作為適應度函數，通過最大化適應度函數使系統達到穩定。第j個粒子的適應度函數為：

fitness（j）=SNR

系統迭代50 次以后，系統自動完成優化。優化完成后，在MATLAB 命令行窗口自動輸出3 個參數的數值以及最優適應度即最優SNR 的數值，若SNR 相較于之前有所提高，由此實現了PDu控制器的參數自整定。

3 仿真結果及性能分析

使用多個調制器穩定性衡量標準綜合考量：首先檢查每級積分器的輸出電壓是否符合實際情況。使用粒子群算法對比例微分參數優化完成后，系統SNR 取最大值時，則認為調制器處于最穩定狀態。再使用Lee 判據加以輔助，判定噪聲傳遞函數NTF 的峰值幅頻值是否小于1.5。

當mu=1 時，即整數階相位補償器。系統經過50 次迭代優化，最高信噪比為152.569 8 dB，對應的優化參數為：-1.606 3、0.048 0。粒子的移動范圍是逐漸收斂的，對比原始Sigma-Delta 調制器系統信噪比有所提升，信噪比提升了大約5.0 dB。圖3 為整數階控制器粒子在迭代過程的收斂趨勢。

增設分數階相位補償器情況下，通過50 次迭代優化，可得到的最高信噪比為SNR=155.938 4 dB，對應的優化參數為：2.116 7、0.662 2、0.602 8，對比原始Sigma-Delta調制器系統信噪比提升了大約8.4dB。同時可以看出，分數階相位補償器的噪聲整形效果優于整數階。圖4 為分數階控制器粒子在迭代過程的收斂趨勢。兩種情況下，粒子的移動范圍都是逐漸收斂的。

使用Lee 判據判定系統的穩定性，對于沒有添加相位補償器的原始四階CIFF 結構Sigma-Delta 調制器的系統，令z=ejw，求解噪聲傳遞函數NTF(z)的幅頻響應，在[0,2π]范圍內的幅頻曲線圖見圖5，幅值最高可達1.500 14。

增設相位補償器的四階CIFF 結構Sigma-Delta 調制器的系統，令z=ejw，將優化后的調制器系數以及相位補償器的參數帶入噪聲傳遞函數NTF，分別求解增設整數階相位補償器和分數階相位補償器后整個系統的噪聲傳遞函數NTF(z)的幅頻響應，整數階相位補償后和分數階相位補償后在[0,2π]范圍內的幅頻曲線圖。可以看出加了相位補償模塊之后，噪聲傳遞函數的幅頻值遠小于1.5，系統穩定。

4 結論

本文的主要目的是為了尋找最優的PDu參數kp、kd和mu，從而提高高階Sigma-Delta 調制器的穩定性。綜合多項實驗結果表明，使用粒子群優化可以實現比例微分控制器參數的自整定，同時在一定程度提高了Sigma-Delta 調制器系統的穩定性，提高了系統的噪聲整形能力。通過增設相位補償器與原始四階CIFF 結構Sigma-Delta調制器的系統比較，增設相位補償器的系統的信噪比的值有所提升；同時通過對比分數階和整數階相位補償器，可以看出分數階相位補償器有更好的噪聲整形效果。