利用彈性網絡算法求解大型三坐標測量機幾何誤差的方法

陳洪芳 孫夢陽 高 毅 石照耀 王幗媛 路偉光 宋輝旭

1.北京工業大學北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京，1001242.中國航空工業集團公司北京航空精密機械研究所，北京，100076

0 引言

航空發動機、大型汽輪機、風力機、汽車、大型艦船等大型先進制造裝備的核心關鍵部件如葉片、大齒輪、大箱體、大主軸等的精密測量，對保障先進制造裝備性能至關重要。為使我國成為大型先進制造裝備的制造強國，必須全面提升葉片、大齒輪等核心機械基礎部件的制造與測試水平。而高精度大型三坐標測量機是先進高端制造裝備領域大型關鍵核心部件高精度檢測的有效手段[1-2]。

大型三坐標測量機(coordinate measuring machine，CMM)測量空間大、各運動部件質量大，且易受環境溫度變化影響[3-5]，其精度提高與中小型CMM相比非常困難。完全通過提高大型CMM制造的精度、嚴格控制環境條件來實現高測量精度是很困難的，成本也高。CMM制造中除了機械主機、標尺、導軌、驅動機構、平衡部件、測頭等硬件基礎保證精度外，21項幾何誤差的高精度、高效補償是保證CMM整體性能的先決條件。

傳統方法修正大型CMM空間幾何誤差的效率有限，實物基準體積大、較為笨重且難以加工[6-7]。激光跟蹤儀作為一種面向現場的便攜式三維坐標測量儀器，與其他CMM的幾何誤差修正技術相比，效率高、操作方法簡單，但其角度測量的精度有限，且隨著測量距離的增大，角度的測量不確定度更大，因此激光跟蹤儀在大型CMM空間幾何誤差修正中受限。激光追蹤儀采用基準球設計，機械旋轉軸的偏差對精度影響較小，且僅采用長度量，因此精度較高，達到了0.2 μm + 0.3 μm/m。激光追蹤儀更適合用于大型CMM空間體積誤差的測量。

對于三坐標測量機幾何誤差的求解，傳統的方式均基于體積誤差與單軸幾何誤差之間的關系模型，該模型數據利用率低、算法精度低且耗時長。ZHANG等[8]利用激光跟蹤儀轉站測量CMM的體積誤差，并對體積誤差進行分解得到幾何誤差，該方法求解幾何誤差的效率較低，且數據利用率不高。基于激光追蹤儀多站位測量技術有利于CMM體積誤差測量效率的提高，但是基于準剛體模型求解幾何誤差過程中存在多重共線問題。

彈性網絡(elastic net)算法由斯坦福大學于2005年提出[9]，是一種使用L1、L2范數作為先驗正則項訓練的線性回歸模型，結合了 LASSO篩選重要變量的特性和嶺回歸防止多重共線性的優點[10]。

本文利用激光追蹤儀多站位測量技術，提出了基于彈性網絡算法求解CMM幾何誤差的方法，解決了該方程組多參數求解的多重共線問題，相較于傳統的單項幾何誤差測量及補償，該方法的多參數求解效率更高；此外，相較于傳統的大型CMM幾何誤差修正方法，該方法所采用的激光追蹤儀多站位測量技術更高效，操作更便捷。

1 CMM幾何誤差求解方法

基于激光追蹤多站位測量技術對CMM體積誤差進行測量，利用L-M(Levenberg-Marquard)算法求解其目標方程，實現激光追蹤儀站位自標定及體積誤差的高精度測量。基于符合FYXZ型CMM的準剛體模型，建立CMM體積誤差與幾何誤差的關系模型，整理得到求解幾何誤差的目標方程組。為解決目標方程組多重共線問題，利用彈性網絡算法求解CMM的幾何誤差。

1.1 激光追蹤多站位測量系統工作原理

建立圖1所示的激光追蹤多站位測量系統。將激光追蹤儀分時轉站放置在CMM測量平臺的不同位置，貓眼被固定于CMM測頭位置，貓眼隨CMM的測頭移動。從激光追蹤儀發出的激光經貓眼反射后，再經過激光追蹤儀內固定的標準球反射后作為測量光束，與參考光束形成干涉，以實現激光追蹤儀的跟蹤測距。

圖1 激光追蹤多站位測量系統Fig.1 Laser tracing multi-station measurement system

1.2 基于L-M算法測量CMM體積誤差的原理

根據激光追蹤儀的測距原理，激光追蹤多站位測量模型可由下式表示：

Fi(Xj,Yj,Zj,dj)=

(1)

其中,i為測量點個數，i=1,2,…,n；j為追蹤儀站位個數，j=1,2,…,m；(Xj,Yj,Zj) 為激光追蹤儀站位坐標；(xi,yi,zi) 為待測點理論坐標；dj為激光追蹤儀站位到待測初始測量點的距離；lij為激光追蹤儀在第j個站位測量第i個待測點時測量的相對干涉長度。

利用L-M算法求解出激光追蹤儀站位坐標Pi(Xj,Yj,Zj)和dj。激光追蹤儀站位自標定利用全球定位系統(GPS)建立模型，避免了坐標系的轉換；在求解模型時采用L-M算法解算非線性方程組，有效提高了站位自標定的精度[11]。

基于L-M算法求解測量點的實際坐標,與式(1)相似，測量模型如下所示：

Fj(xi,yi,zi)=

(2)

將求解的激光追蹤儀站位坐標Pi(Xj,Yj,Zj)和dj作為已知參數代入式(2)中，利用L-M算法對待測點實際坐標Ai(x′i,y′i,z′i)求解。

記待測點理論坐標為Ai(xi,yi,zi)，則CMM體積誤差為待測點實際坐標與理論坐標之差為

(3)

1.3 FYXZ型CMM準剛體模型建模

以FYXZ型三坐標測量機為例，建立準剛體模型如下[12]：

Δx=δx(x)+δx(y)+δx(z)+(z+z1)εy(x)-
y1εz(x)+(z+z1)εy(y)-y1εz(y)+
z1εy(z)-y1εz(z)-zαxz

(4)

Δy=δy(x)+δy(y)+δy(z)-(z+z1)εx(x)+
x1εz(x)-(z+z1)εx(y)+(x+x1)εz(y)-
z1εx(z)+x1εz(z)-xαxy-zαyz

(5)

Δz=δz(x)+δz(y)+δz(z)+y1εx(x)-
x1εy(x)+y1εx(y)-(x+x1)εy(y)+
y1εx(z)-x1εy(z)

(6)

其中，A1(x1,y1,z1)為待測初始點坐標;(x,y,z)為CMM相對初始點的位移;(Δx,Δy,Δz)為待測點體積誤差;δx(x)、δy(x)、δz(x)為x軸位移誤差；εx(x)、εy(x)、εz(x)為x軸旋轉誤差；δx(y)、δy(y)、δz(y)為y軸位移誤差；εx(y)、εy(y)、εz(y)為y軸旋轉誤差；δx(z)、δy(z)、δz(z)為z軸位移誤差；εx(z)、εy(z)、εz(z)為z軸旋轉誤差；αxy、αxz、αyz為垂直度誤差。

圖2 三坐標測量機結構示意圖Fig.2 Structure diagram of coordinatemeasuring machine

FYXZ型三坐標測量機結構如圖2所示。根據上述準剛體模型，結合待測點個數及誤差個數建立體積誤差與幾何誤差之間的方程組。令CMM測量空間內任意待測點Ai(xi,yi,zi)到第一個待測點A1(x1,y1,z1)3個坐標軸的位移分別為xi1=xi-x1,yi1=yi-y1,zi1=zi-z1，代入CMM的準剛體模型式(4)～式(6)中，得到

Aixi=bi

(7)

其中

bi=[ΔxiΔyiΔzi]T

(8)

xi=(δx(x),δy(x),δz(x),εx(x),εy(x),
εz(x),δx(y),δy(y),δz(y),εx(y)，εy(y),
εz(y),δx(z),δy(z),δz(z),εx(z),εy(z),
εz(z),αxy,αxz,αyz)T

(9)

Ai=

(10)

(11)

式中，δx(x)表示由x軸的定位誤差構成的矩陣，其大小與x軸所規劃的測量范圍及步長大小有關，其余幾何誤差矩陣均與δx(x)有相同含義；Exx1表示δx(x)對應的系數矩陣，長度與x軸規劃的測量范圍及步長大小有關，其余單位矩陣的定義均與Exx1相同；(z+z1)1表示εy(x)的系數矩陣，因此(z+z1)1的大小與εy(x)相同，其余系數矩陣均有相同的含義。

設方程組所包含幾何誤差的個數為f個，共n個待測點，每個待測點對應一個式(10)，整理方程組即可得到式(11)。

1.4 基于彈性網絡算法的CMM幾何誤差求解

由于式(11)系數矩陣奇異，故采用彈性網絡算法對其求解，優化目標如下：

(12)

采用坐標下降法求式(12)。對系數矩陣A進行零均值標準化，將由體積誤差組成的矩陣b中心化，即

(13)

式中，u為方程式個數，u=1,2,…,3n；n為待測點個數；p為第p個幾何誤差個數，p=1,2,…,f。

根據彈性網絡公式(式(12))構造懲罰函數:

(14)

式中,λ1>0；λ2>0。

令δ=λ1/(λ1+λ2)(在計算過程中需選取合適的δ值)，δ為懲罰因子，λ=λ1+λ2，則式(14)可寫為

(15)

對L(x)求偏導有

(16)

(17)

根據最小二乘原理，令式(17)為0，迭代解得CMM幾何誤差為

(18)

由式(10)可以看出，旋轉誤差εz(x)、εx(z)、εy(z)、εz(z)的系數均為初始測量點的坐標值A1(0,0,0)，故εz(x)、εx(z)、εy(z)、εz(z)4項幾何誤差通過準剛體模型無法求解。因此利用體積誤差與單軸幾何誤差的關系模型進行求解。

由于6種幾何誤差分量和位移x的影響，實際x滑動坐標系的位姿發生了變化。利用4×4齊次變換矩陣可以表征參考坐標系與實際x軸滑動坐標系之間的關系。體積誤差可由下式求得：

(19)

將通過彈性網絡算法求解得到的δx(x)、δy(x)、δz(x)、εx(x)、εy(x)及體積誤差代入式(19)，可以求得εz(x)。

體積誤差與z軸幾何誤差的關系如下所示：

(20)

將通過彈性網絡算法求解得到的δx(z)、δy(z)、δz(z)及體積誤差代入式(20)，基于最小二乘原理利用QR分解對其進行求解，獲得旋轉誤差εx(z)、εy(z)、εz(z)。

2 實驗

2.1 搭建實驗系統

搭建基于激光追蹤儀的多站位測量系統，如圖3所示。本實驗使用海克斯康LaserTracer激光追蹤儀，將激光追蹤儀分時轉站放置在CMM測量平臺的不同位置進行測量。共規劃4個不同的激光追蹤儀站位。貓眼固定在CMM測頭位置，并跟隨CMM移動。CMM的測量范圍為1500 mm×2500 mm×1000 mm。擬規劃待測點的空間范圍為1400 mm×2400 mm×1000 mm，在激光追蹤儀的測量軟件中規劃測量路徑，共規劃待測點188個，如圖4所示。

圖3 激光追蹤測量系統Fig.3 Laser tracer measurement system

圖4 測量點分布Fig.4 Distribution of measuring points

當激光追蹤儀位于第一個站位P1時，CMM及貓眼按規劃路徑移動，激光追蹤儀追蹤并采集規劃的188個待測點到P1的相對干涉測長距離。為獲得高精度的測量數據，激光追蹤儀系統將188個待測點位置往返采集，即除最后一點外其他測量點均獲得兩組數據(共得到375個測量數據)，并進行對比，以確保其測量誤差在允許范圍內。重復以上過程，分時轉站4個站位測量。實驗過程中共采集1500個激光追蹤儀干涉測長值。

2.2 實驗結果

2.2.1激光追蹤儀站位自標定

激光追蹤儀的精度為亞微米級，本文搭建的激光追蹤儀多站位測量系統的精度需求為亞微米級，即ε=10-4。將實驗所得的干涉測長值及CMM待測點的理論位置坐標代入激光追蹤多站位測量模型(式(1))中，利用L-M算法對其進行求解，經過多次迭代得出基于CMM坐標系的激光追蹤儀站位坐標Pj(Xj,Yj,Zj) 以及激光追蹤儀站位到測量起始點距離dj，如表1所示。

表1 激光追蹤儀站位坐標及測量起始點距離

2.2.2CMM體積誤差測量

CMM的體積誤差為待測點實際位置坐標與理論位置坐標之差。將2.2.1節中求得的激光追蹤儀站位坐標和激光追蹤儀站位到測量起始點的距離代入激光追蹤多站位測量模型(式(2))中，利用L-M算法對其進行求解，經過多次迭代得出CMM待測點的實際位置坐標,與理論位置坐標比較即可得到CMM的體積誤差，實驗結果如圖5所示。

圖5 三坐標測量機體積誤差Fig.5 Volume error of CMM

2.2.3CMM幾何誤差的求解

將2.2.2節中測量的體積誤差及待測點坐標代入CMM體積誤差與幾何誤差之間的關系式(式(4)～式(6))，建立目標方程組，利用彈性網絡算法求解，獲得除εz(x)、εx(z)、εy(z)、εz(z)之外的17項幾何誤差。將求出的部分幾何誤差代入式(19)～式(20)，利用QR分解求解出εz(x)、εx(z)、εy(z)、εz(z)4項幾何誤差，最終獲得CMM的21項幾何誤差。不同懲罰因子對應的最小二乘均方誤差如圖6所示。求解出的垂直度誤差分別為αxy=3.06 μrad，αxz=-0.75 μrad，αyz=-3.57 μrad，其余18項x、y、z軸位移誤差及旋轉誤差如圖7所示。

圖6 均方誤差與懲罰因子對應關系Fig.6 Correspondence between mean square errorand penalty factor

3 結論

(1)本文基于激光追蹤儀多站位測量技術實現了大型CMM空間規劃點體積誤差的高精度測量；

(2)提出了基于彈性網絡算法求解三坐標測量機幾何誤差的方法，解決了CMM準剛體模型求解存在多重共線的難題；

(3)實驗測量了大型CMM的空間待測點體積誤差，表明本文提出的方法為大型CMM在現有硬件基礎上的精度提升提供了新思路。

(a)x軸位移誤差 (b)x軸旋轉誤差

(c)y軸位移誤差 (d)y軸旋轉誤差

(e)z軸位移誤差 (f)z軸旋轉誤差圖7 x、y、z軸位移誤差及旋轉誤差Fig.7 x, y, z axis displacement errors and rotation errors