多裂紋對裂紋搭接規(guī)律影響數(shù)值模擬及機理研究

趙 楠，李萬渠，馮金鈺，王奕儒, 李 麗

1四川水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院 2中國石油長慶油田蘇里格南作業(yè)分公司作業(yè)一區(qū) 3中國石油青海油田分公司勘探開發(fā)研究院

0 引言

裂隙廣泛存在于巖體結(jié)構(gòu)中[1-2]，在復(fù)雜應(yīng)力條件下裂縫的擴展貫通是導(dǎo)致工程結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的關(guān)鍵因素[3-4]。裂隙的存在降低了材料的剛度與強度，裂紋尖端的應(yīng)力集中使得工程結(jié)構(gòu)更加容易失效，因此對含裂隙材料及結(jié)構(gòu)的裂隙擴展規(guī)律及機理的研究則顯得尤為重要。

對于含裂隙材料的失效過程研究較多，在室內(nèi)試驗研究方面：董振興[5]對水壓及雙軸作用下的含穿透型裂隙的裂紋擴展進(jìn)行了室內(nèi)試驗研究，得到了試樣的起裂應(yīng)力、峰值強度及裂紋的發(fā)展過程；梅比[6]基于動態(tài)焦散線實驗系統(tǒng)，對含缺陷的PMMA板進(jìn)行了三點彎沖擊試驗；王蒙[7]采用則分離式霍普金森壓桿(SHPB)，對SCSCC試樣I—II復(fù)合型裂紋進(jìn)行動態(tài)斷裂試驗。

在理論判據(jù)方面：李勇明等[8]建立了綜合考慮儲層所處地應(yīng)力、多裂紋相互作用的裂紋擴展模型；劉雨等[9]對儲層的水力裂縫與天然裂縫的交匯判別準(zhǔn)則進(jìn)行了推導(dǎo)驗證。

在數(shù)值模擬方面：王杰[10]基于單元破裂法對巖石的裂紋擴展過程進(jìn)行了描述；蔣明鏡[11]基于離散單元法，對含雙裂隙標(biāo)準(zhǔn)立方體模型進(jìn)行了單軸壓縮數(shù)值模擬試驗；王洪建[12]利用擴展有限元法對巖石的斷裂過程進(jìn)行了分析。但是，以往的研究多針對一條或兩條類型進(jìn)行研究，裂隙往往成陣列形式存在于結(jié)構(gòu)中。將實際問題抽象成單條或兩條裂隙很難描述裂隙之間的相互作用規(guī)律。

1 數(shù)值計算理論

1.1 本構(gòu)關(guān)系

巖石的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系主要由平衡方程、應(yīng)力—應(yīng)變方程及應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系三個方程來進(jìn)行描述。

(1)平衡微分方程：

σij,j+Fi=0(i,j=1,2,3)

(1)

式中：σij—計算過程中的總應(yīng)力,Pa；

Fi—體積力,m3。

(2)應(yīng)力—應(yīng)變方程：

(2)

式中：εij—應(yīng)變張量；

μi—位移張量；

μi，j—位移梯度張量。

(3)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系:

(3)

λ、G—Lame常數(shù)；

εv—體積應(yīng)變；

δij—克羅內(nèi)克函數(shù)。

1.2 損傷過程描述

在數(shù)值計算過程中，每一個單元的應(yīng)力分量滿足破壞準(zhǔn)則時，單元將發(fā)生破壞。因此，根據(jù)以往損傷處理經(jīng)驗，其損傷后的彈性模量可表達(dá)為：

E=(1-D)E0

(4)

式中：D—損傷程度表征；E和E0—已經(jīng)損傷以及還沒有損傷的單元的彈性模量。

同時，當(dāng)拉應(yīng)力分量超過材料抗拉強度時，損傷程度表征可以寫成：

(5)

式中：ftr—殘余抗拉強度,MPa；εt0和εtu—分別表示彈性極限拉伸應(yīng)變和單元極限拉伸應(yīng)變。

根據(jù)以往數(shù)值處理經(jīng)驗，選取Mohr-Columb作為損傷破壞準(zhǔn)則，可以同時表征單元的拉伸破壞與剪切破壞，可以表達(dá)成為：

(6)

式中：φ—單元的內(nèi)摩擦角,(°)；fc—單元的抗壓強度,MPa。

因此，單元在壓縮條件下的損傷程度表征可以表示為

(7)

2 計算模型和參數(shù)

建立二維有限元模型，其模型尺寸為150 mm×200 mm，單條裂隙的長度為20 mm，裂隙寬度為1 mm。

模型分為兩組，一組為含不同裂隙條數(shù)(編號為A)，裂隙角度確定為45°，裂隙條數(shù)分別為A1：15條，A2：20條，A3：25條及A4：30條；另一組為含不同傾角裂隙(編號為B)，裂隙條數(shù)為15條，裂隙角度分別為B1：25°，B2：45°，B3：75°及B4：90°。模型受到單軸應(yīng)力作用，采用位移加載模式，加載速率為0.004 mm/計算步。不同工況的數(shù)值計算模型如圖1所示，模型參數(shù)如表1所示。

圖1 不同工況數(shù)值計算模型

表1 材料基礎(chǔ)參數(shù)

3 結(jié)果分析

3.1 裂紋漸進(jìn)破壞過程

不同裂隙密度及傾角下的裂紋漸進(jìn)破壞過程如圖2所示。

由圖2可見，對于模型A裂隙傾角為45°不同裂隙密度而言，翼型裂紋首先在預(yù)制裂紋尖端產(chǎn)生，隨后翼型裂紋發(fā)展成為拉伸裂紋，逐漸沿著最大主應(yīng)力方向發(fā)展，值得注意的一點是，靠近模型邊界的預(yù)制裂紋，其翼型裂紋發(fā)展程度要大于位于模型內(nèi)部的預(yù)制裂紋，這應(yīng)是由于邊界效應(yīng)所導(dǎo)致。另外，翼型裂紋擴展后期，反翼型裂紋將從翼型裂紋相反方向產(chǎn)生，翼型裂紋尖端會相互搭接。同時剪切裂紋將從預(yù)制裂紋的中部產(chǎn)生，與翼型裂紋、反翼型裂紋相互作用，形成復(fù)雜的裂隙網(wǎng)絡(luò)。預(yù)制裂隙的密度越大，模型的邊界效應(yīng)將會減小，同時裂隙網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展將會越復(fù)雜。

而模型B僅含15條預(yù)制裂紋，但就裂隙角度不同的情況而言，模型B預(yù)制裂隙的傾角較小時(傾角為25°)，翼型裂紋沿著預(yù)制裂紋的內(nèi)部產(chǎn)生，其擴展方向為最大主應(yīng)力方向，存在邊界效應(yīng)，與模型A類似。但是對于裂隙傾角較大的情況(傾角為75°)，預(yù)制裂隙尖端產(chǎn)生翼型裂紋擴展，但擴展程度較小，隨后剪切裂紋主導(dǎo)了模型的破壞，對于裂隙傾角為90°的情況，翼型裂紋同樣也并非從裂紋尖端產(chǎn)生，最終模型的破壞模式為以剪切破壞。

3.2 應(yīng)力—應(yīng)變曲線

不同裂紋密度及裂紋傾角下的試樣應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖3所示。

由圖3可見,單軸壓縮下，試樣的應(yīng)力—應(yīng)變規(guī)律主要表現(xiàn)為三個典型特征：①線彈性階段,此時應(yīng)力—應(yīng)變曲線呈現(xiàn)直線規(guī)律；②非線性階段,由于這個階段裂隙萌生并擴展，其應(yīng)力—應(yīng)變曲線偏離直線變形，從而導(dǎo)致模型剛度非線性降低；③殘余變形階段,這個階段應(yīng)力跌落，應(yīng)變增大，模型破壞。

圖3 不同裂紋密度及裂紋傾角下的試樣應(yīng)力—應(yīng)變曲線

對于模型A含不同裂紋密度情況而言，裂紋的密度越大，模型的峰值應(yīng)力越小。對于模型A1而言，不同裂紋密度模型的峰值強度分別降低百分比為4.3%，4.7%及18.8%，可見裂紋密度對模型峰值強度影響較大，同時當(dāng)裂紋密度增大到一定程度時模型峰值強度會有一個突然的跌落。對于模型B含不同裂紋角度情況而言，裂隙角度的增大則對模型的峰值強度有一個提高的作用，相對于模型B1而言，不同裂隙角度的增大對模型峰值強度提供的百分比分別為13.2%，45.2%及61.9%，因此就本文

數(shù)值模擬結(jié)果而言，裂隙角度對模型峰值強度的影響要大于裂紋密度。

4 結(jié)果對比

本文的數(shù)值模擬結(jié)果和以往室內(nèi)試驗結(jié)果[13]的對比結(jié)果如圖4所示。

圖4 數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗對比

由圖4可見，數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗呈現(xiàn)高度一致性。在模型B1中，靠近邊界的預(yù)制裂隙翼型裂紋擴展程度要大于內(nèi)側(cè)裂隙，即出現(xiàn)明顯的“邊界效應(yīng)”，同時，翼型裂紋并不都是從預(yù)制裂紋的尖端產(chǎn)生；在模型A4中，多裂紋間的翼型裂紋、反翼型裂紋及剪切裂紋相互搭接，其裂紋擴展模式也與室內(nèi)試驗一致，因此，本文的數(shù)值模擬可以準(zhǔn)確的反映實際材料的破裂過程及其特征。

5 結(jié)論

(1)本文建立了含不同密度及傾角裂隙的有限元計算模型，翼型裂紋、反翼型裂紋在預(yù)制裂紋尖端及靠近尖端產(chǎn)生，剪切裂紋產(chǎn)生與裂紋中部，靠近模型邊界的預(yù)制裂紋存在“邊界效應(yīng)”。

(2)不同裂紋密度模型的峰值強度分別降低百分比為4.3%，4.7%及18.8%，不同裂隙角度的增大對模型峰值強度提供的百分比分別為13.2%，45.2%及61.9%，裂隙角度對模型峰值強度的影響要大于裂紋密度。

(3)數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果對比，驗證了本文數(shù)值模擬的正確性。