高等幾何背景下的解析幾何試題探究

?北京市第四十三中學(xué) 柏任俊

?北京市育才學(xué)校 賈春花

?湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 毛 井

1 引言

高等幾何背景下的解析幾何問(wèn)題一直是高考命題的熱點(diǎn)，例如2020年北京卷第20題，既有高等幾何的背景，又重點(diǎn)考查了先猜后證、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是一道非常難得的優(yōu)秀題目．下面筆者對(duì)這道題目進(jìn)行深入探究．

2 試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

3 分析與思考

圖1

(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0.

令x=-4，可得

又(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)

=2[x1x2+3(x1+x2)+8]

=0.

很多學(xué)生不難得到以上結(jié)論，但是再往下學(xué)生該怎么做呢？在這里，先猜后證的研究方法就顯得尤為重要了．

第二步，他還要知道要證明

成立，就只需證明

(x1x2+2x1+4x2+8)+(x1x2+2x2+4x1+8)

=2x1x2+6(x1+x2)+16=0

成立．即證x1x2+3(x1+x2)+8=0成立.此后的問(wèn)題就非常容易了．

由此可見(jiàn)，高考數(shù)學(xué)北京卷解析幾何題的落腳點(diǎn)還是在“能力”上.就此題而言，考查學(xué)生“先猜后證”的研究方法和數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本素養(yǎng)，這是非常重要的．

4 背景分析

本題的選題來(lái)源于高等幾何中的極點(diǎn)極線理論，當(dāng)然它不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不在高考考查的范圍內(nèi)，但由于該理論體現(xiàn)了圓錐曲線的基本性質(zhì)，經(jīng)常會(huì)成為命制解析幾何試題的背景．如果中學(xué)教師能夠了解該理論，熟悉有關(guān)性質(zhì)，那么我們就能夠站在比較高的觀點(diǎn)下去看待這些試題，就能夠“看透”試題中蘊(yùn)含的有關(guān)極點(diǎn)極線的知識(shí)背景.下面給出高等幾何中有關(guān)二次曲線的極點(diǎn)極線的概念及相關(guān)理論．

4.1 極點(diǎn)與極線的幾何定義與性質(zhì)

定義1[2]不在二次曲線Γ上的點(diǎn)P關(guān)于一條二次曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線叫做點(diǎn)P關(guān)于此二次曲線Γ的極線，點(diǎn)P稱(chēng)為這條直線關(guān)于此Γ的極點(diǎn)．一般我們把這個(gè)定義稱(chēng)為極點(diǎn)極線的幾何定義．

圖2

圖3

推論2[2]如圖3，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于有心圓錐曲線G的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)Q，PQ連線經(jīng)過(guò)圓錐曲線的中心O，且與G交于兩點(diǎn)R,R′，則有OR2=OP·OQ.反之若有此式成立，則點(diǎn)P與Q關(guān)于G調(diào)和共軛．

4.2 極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義

定義2[3]已知圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，則稱(chēng)點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線Γ的一對(duì)極點(diǎn)和極線，一般我們把這個(gè)定義稱(chēng)為極點(diǎn)極線的代數(shù)定義．

5 高等幾何背景下的解法探究

圖4

繼續(xù)探究這道題，點(diǎn)A(-2,-1)與B(-4,0)有沒(méi)有關(guān)聯(lián)呢？A,B兩點(diǎn)滿足什么關(guān)系結(jié)論成立呢？有沒(méi)有更一般的結(jié)論呢？我想這些都是值得我們?nèi)パ芯康模?/p>

那我們可以大膽地猜想，如果保持點(diǎn)B固定，切線AB進(jìn)化為割線，直線MF,NE分別交直線x=-4于點(diǎn)P,Q，|PB|=|BQ|還成立嗎？

圖5

其實(shí)從證明的過(guò)程可以看出，如果點(diǎn)B是x軸上任意一點(diǎn)(t,0)，上述結(jié)論也成立．于是從這道高考題中得到下面的推廣結(jié)論：

當(dāng)然這個(gè)一般結(jié)論讓學(xué)生做的話，計(jì)算量會(huì)非常大，所以可以把題目難度降低，這道北京高考題就是上述結(jié)論的一個(gè)簡(jiǎn)單特殊情形．我們可以把上面結(jié)論中過(guò)點(diǎn)B的一條割線BEF設(shè)定為x軸，這樣E(-a,0),F(a,0)為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)問(wèn)題的計(jì)算量就小了很多，也非常適合學(xué)生來(lái)做．

6 其他考題的相同幾何背景

以高等幾何中的極點(diǎn)極線為背景的解析幾何題目非常多，2020年全國(guó)1卷理科壓軸題就是其中一個(gè)．

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)．

圖6

7 結(jié)束語(yǔ)

高等幾何下的極點(diǎn)極線理論蘊(yùn)含著非常豐富的內(nèi)容，它是解析幾何命題的內(nèi)在背景．作為中學(xué)一線教師，掌握一些極點(diǎn)極線理論，從高等幾何的角度去研究高中解析幾何題目，有助于我們深層次地理解高等幾何與初等幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．