2021年新高考Ⅰ卷第21題的探究

?江蘇省沭陽高級中學 徐春華

1 試題呈現

(1)求C的方程；

2 試題背景及分析

2.1 試題背景

普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學選修4-4《坐標系與參數方程》第38頁例4及其變式探究：如圖1所示，AB,CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB,CD與橢圓長軸的交角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

圖1

教材中例4的類比探究題：把橢圓改為雙曲線呢？拋物線呢？

2.2 試題分析

2021年新高考卷第21題是一道圓錐曲線大題，第(1)問比較簡單，考查利用雙曲線定義求方程，注意軌跡只是雙曲線的右支.第(2)問在線段等積式條件下，求兩直線的斜率之和，所求隱含斜率和為定值.第(2)問的幾何背景是圓錐曲線上的四點共圓，結論是所成四邊形的對邊(不平行時)或兩對角線所在直線的傾斜角互補，當斜率均存在時，所在直線的斜率互為相反數.

2.3 證明四個點共圓和推導四點共圓的充要條件[1]

幾何法：四邊形對角互補法，外角等于內對角，公共邊法(同底同側頂角相等的兩三角形)，圓冪定理法[2](相交弦定理、切割線定理和割線定理的統一形式).

代數法：向量法，托勒密定理的逆定理，圓的定義法，特殊圖形法(證明四點組成為矩形、等腰梯形等必有外接圓的圖形).

2.4 解題思維導圖

對于解析幾何綜合問題，求解步驟繁雜，計算過程偏多，借助思維導圖可以大大提高教學效率，加深學生對問題的理解，本題分別從兩小問出發，通過對條件的不同轉化給出思維導圖如圖2所示.

圖2

3 試題解析

解題準備：|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|?kAB+kPQ=0?θAB+θPQ=π實現轉化.

解法1：直接設直線法.

圖3

如圖3.由題意可知，直線AB與PQ的斜率一定存在分別設為k1,k2.

|TA|·|TB|

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

解法2：設點法——向量運算.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4).

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得

再結合解法1的方程，殊途同歸！

解法3：用直線的參數方程及參數的幾何意義求解.

直線與雙曲線交于A,B兩點，該方程有兩個根，分別設為t1,t2.則

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，得

則cos2α=cos2β.又α≠β?cosα=-cosβ?tanα=-tanβ?kAB+kPQ=0.

點評:用交點T建立兩條直線的參數方程.這樣|TA|·|TB| 和|TP|·|TQ|的值可以用韋達定理得出，并且避免討論直線斜率不存在的情況.

解法4：二次曲線系法.

|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|?割線定理A,B,P,Q四點共圓.

則A,B,P,Q四點的坐標滿足如下表示直線AB,PQ的方程：

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|?割線定理A,B,P,Q四點共圓，所以上面這個方程表示過A,B,P,Q四點的圓，于是左邊展開后x2,y2項的系數相等，且xy項的系數為零，得k1+k2=0.

點評:四點共圓的充要條件可快速判斷圓錐曲線上四點共圓，但無法求出圓方程.而用曲線系即可判斷四點是否共圓，還可求出圓方程.此題，兩法聯手珠聯璧合，相得益彰！

拓展圓錐曲線上四點共圓的一般性結論與統一證明.

下面我們用曲線系方程給出圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件的統一證明.

定理若兩條直線y=kix+bi(i=1,2)與圓錐曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個交點，則這四個點共圓的充要條件是k1+k2=0.

證明：兩條直線組成的曲線方程為(k1x-y+b1)·(k2x-y+b2)=0,則過四個交點的曲線方程可設為:(k1x-y+b1)(k2x-y+b2)+λ(ax2+by2+cx+dy+e)=0

①

必要性：若四點共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開式中xy項系數為0，即有k1+k2=0.

充分性：當k1+k2=0時，令①式左邊展開式中x2,y2項的系數相等得：k1k2+λa=1+λb，聯立解得

②

方程②的幾何意義是如下三種情形之一：表示一個圓，或表示一個點，或無軌跡.由題設知四個交點在方程②所表示的曲線上，故方程②表示圓.

4 變式拓展

數學問題改編主要包含改變條件和改變結論兩種基本方式，這兩種方式是基于問題本身內容和結構而言，我們稱為結構性改編．而筆者主要從試題難點和涉及技巧對問題進行變化研究．

變式1：若把條件點T所在直線，改為T為不在雙曲線上的任意一點，斜率之和是否為定值？

解：設T(a,b),直線TA，TP的傾斜角分別為α,β.

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β，

所以,cosα+cosβ=0.

則有,k1+k2=0.

上面就證明了T點在雙曲線外的任意位置，結論仍然成立.再繼續思考，巧了，這與平面幾何中圓的切割線定理類似(如圖4、圖5).

圖4

圖5

上面的定理利用相似三角形的相似比容易得到證明.那么問題就來了，圓也有類似的結論，那么對于橢圓，有類似的結論嗎？

變式2：若把此題背景換為橢圓.

變式3：初中學習過圓的相交弦定理，圓內的兩條弦AB和PQ相交于點T，則TA·TB=TP·TQ.是否可以類比到橢圓中呢？

5 推廣探究

結論1.若兩條直線與二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數.

結論2.若兩條直線與二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是這兩條直線的傾斜角互補.

結論3.設二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)上的四個點連成的四邊形是圓內接四邊形，則該四邊形只能是以下三種情形之一：

(1)兩組對邊分別與坐標軸平行的矩形；

(2)底邊與坐標軸平行的等腰梯形；

(3)兩組對邊均不平行的四邊形，但在其兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，每對直線的斜率均存在且均不為0，且均互為相反數[3].

6 教學反思

對于圓錐曲線的綜合問題，很多學生“有思路不敢算”“敢算又算不對”，所以正確率才一直不高，其實最主要的原因是“算理”不明，導致“算法”不靈！而很多教師講解的時候，又恰恰喜歡只講思路，不講“算理”，讓學生自己“狠”算.實際上，圓錐曲線的綜合問題一般都有多種解法，算理也各不相同，只要明晰“算理”，優化“算法”，就能把握運算的方向和目標，既快又準地算出結果.在日常的教學中要幫助學生分析“算法”，解剖“算理”，并注重鍛煉學生的運算能力[4].本文中通過對2021年全國數學新高考Ⅰ卷第21題的賞析，培養學生的數學核心素養，形成學生數學基本特征的思維品質，通過加強數學運算的培養，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.通過對四點共圓問題“一題多解”的研究，從多角度、多途徑、多方式看待和解決問題，能提高和培養學生的數據分析、數學運算的核心素養.