計算錯誤找原因、解答粗心尋對策

?上海七寶中學 肖 嵐

1 引言

教學中經常碰到這樣的學生，思維敏捷，一點就通，但就是計算頻錯、粗心不斷.本文中梳理了一些原因，不過高中數學題目綜合性強，原因多種多樣，互相影響，相互作用，惡性循環，此處不可能面面俱到，只求拋磚引玉.分析問題所在的同時，嘗試更新和設計針對性練習，采取有效可行的方案，長期不斷堅持下來，讓學生們從中受益.教與學正是這樣做而獲其惑，惑而求其解，解而求其用，不亦樂乎？

2 錯因分析

2.1 心理性問題

2.1.1 沒有信心，裹足不前

不能洞見條件和結論的聯系，沒有目標，也不敢嘗試.消極的心理暗示容易造成優柔寡斷，墨守成規.

認定函數y=f(x)關于點(m,n)成中心對稱的充要條件是對定義域中任意x，都有f(x)+f(2m-x)=2n.那么，不要猶豫!目標明確!沒有退路！立馬計算!

我們發現無論多少字母只要抓住關鍵點都能迎刃而解，此時教師輔以適當的鼓勵，對學生心理產生積極暗示，長此以往，提升學生數學自我效能感.先在心理上突破，再在方法上突破.

2.1.2 計算內容缺少故事性，學習情緒沒有起伏

教師可以根據學生認知規律設計有故事的組團式練習(變式練習、探究練習等)，讓學生在解鎖一個個問題時有過關斬將的情緒波動，從而更好地內化知識、優化運算.數學用數字編碼世界，心理用人性編碼世界.數學問題需要對編碼儲存、提取.當一個問題被各種角度編碼時本質就會更完整地呈現、記憶會更加深刻，這樣建立的知識結構更有高瞻遠矚性.高中數學為我們提供了很多這樣的契機，下面舉一例由三個問題構成的組團練習.

圖1

|OA|2|OB|2=(|OA|2+|OB|2)r2.

問題一的定值放在直角三角形中就是斜邊上高與直角邊關系，于是有了問題二；定值的逆代求范圍也是對不等式的靈活運用，于是有了問題三.學生發現它們的聯系后思考的維度被打開了，對某些定值的復雜運算也不再抗拒了.計算有方法，問題有源頭，解答有樂趣.這三個問題包括組合性、逆向性、結合性、同一性等變式設計.讓學生對數學的學習有更深和更全面的認識和理解.當題目的外延增大時，計算會變得更有意義.

2.2 邏輯性問題

2.2.1 轉化時疏忽等價性

分析：

4sinA+2cosB=1

①

②

由式①、式②平方和得：

學生因為沒有意識到平方不一定是等價變形，很可能產生增根.錯誤地保留了2個答案.

另外，充分不必要條件會造成失根，必要不充分條件則易造成增根.

2.2.2 片面不嚴謹，審題不嚴密，挖掘信息不夠全

例3設數列{an}的通項公式為an=pn+q(n∈N*，p>0).數列{bn}定義如下：對于正整數m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.

(2)是否存在p和q，使bm=3m+2(m∈N*)？若存在，求p和q的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解：(1)略.

(2)仔細審題，條件一：n=3m+2滿足an=pn+q≥m(n∈N*，p>0)，所以有p(3m+2)+q≥m.

條件二：n=3m+2是最小的滿足an=pn+q≥m(n∈N*，p>0)的解，再小不行了，所以有p(3m+1)+q

三個條件缺一不可，而學生通常不能全部挖掘，自然就算不出答案.邏輯是思維品質的中心環節.清晰、嚴密、理性和嚴謹是數學最重要的特點之一.

2.3 知識性問題

以不等式為例，沒有深刻理解不等式的性質：誤認為分母為正；取倒數時想當然認為分母越大分數越??；移項時正負號混亂.

例4直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支分別交于A，B兩點，

(1)求k的取值范圍；

(2)直線l過點P(-2,0)及線段AB的中點，CD是y軸上一條線段，對任意的直線l都與線段CD無公共點，試問CD長得最大值是否存在.

(1-k2)x2-2kx-2=0

(取倒數時很多學生會不注意分正負情況，忽略不等式的性質做出錯誤答案.)

這類問題建議擇機擇時訂正，建議分行寫步驟，建議限時訓練，建議整理錯題本.

2.4 策略性問題

不同的策略計算量大不相同，尋找最佳策略、優化解題方法可以規避復雜的運算和人為陷阱.

策略1：沉溺于多字母代數處理剪不斷理還亂.

圖2

設AB中點為C(x，y)，在等邊△OAB中可得：

2.5 概念性問題

例6空間四邊形ABCD中，E,F分別是AC,BD的中點，AD=6,BC=8,且AD與BC成60°角，求線段EF的長.

很多同學沒有深刻理解異面直線所成角的概念，只給了一種答案，漏了A′BCD這種情況(如圖4).

圖3

圖4

3 總結

布魯納曾經說：“學生的錯誤都是有價值的.”運算錯誤和粗心大意不是獨立存在的，是以上種種問題導致的多米諾效應，互相影響，很有可能導致數學焦慮，進而影響毅力、自我效能感，最終影響數學成績.提高運算能力減少粗心發生實際上是一種綜合能力的提高.教師層面上，應該更充分理解學生的認知心理、認知過程，確定學生自己的操作運輸、知識存儲、組織情境的方法，使學生能夠積極地參與到情感溝通中，教師鼓勵越多，學生收獲越大，能力提高越快.學生層面上，應該優化記憶系統，提高感覺、知覺、視覺等觀察品質，減少錯覺，審題全面；注重新舊知識聯系、正反兩方面論證、總結歸納類比，逐漸豐富知識結構，促進數學學習的整體觀念；多加練習、經常反思、深思熟慮，形成在解題中集中而穩定的注意力；增加學習的動機和自我要求，突破一些關于數學的消極和情緒化的信念，更多正面自我暗示.Z