邏輯類分法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 張 惠 馮長煥

1 引言

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，題目類型多種多樣，涉及的知識點眾多，解題難度較大.在教與學(xué)的過程中，學(xué)生常常被難題難住，有時甚至找不到解決問題的突破口.從解題的角度來看，成功解決一道數(shù)學(xué)問題不僅需要扎實的學(xué)科知識，更重要的是要有靈活的方法策略.邏輯類分法是指將原問題劃分為有限多個子問題，然后逐一去解決每一個子問題，最后把各個子問題的結(jié)論歸納起來，從而得到整個問題的結(jié)論[1].一般地，要進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)問題的邏輯性、探索性較強，運用邏輯類分法解題，能讓問題中不確定的因素轉(zhuǎn)化為子問題中確定的因素，從而增加問題的條件，使問題變得簡單易于求解.

2 邏輯類分法的內(nèi)涵

2.1 邏輯類分法的目的與對象

在遇到復(fù)雜問題難以解決的時候，可以嘗試將原來復(fù)雜的大問題轉(zhuǎn)化為某些較容易的小問題，化繁為簡、化大為小來幫助求解.在解題中，很多同學(xué)認(rèn)為分類討論的題目很難，從而產(chǎn)生畏懼心理.教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生明確分類討論的對象，分析問題、明確題目所考查的知識點，然后運用所學(xué)知識進(jìn)行解題.

2.2 邏輯類分法的分類標(biāo)準(zhǔn)

在確定分類討論的對象后，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，從而進(jìn)行正確合理的分類.引分類討論的原因有很多，于同一個數(shù)學(xué)問題的研究對象有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：(1)數(shù)學(xué)中的概念、定理、定義或者函數(shù)的性質(zhì)引起的分類，例如含有絕對值問題的求解、分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的探究等[2]；(2)數(shù)學(xué)中的公式、運算法則、圖形的形狀或位置變化引起的分類，例如直線與直線、圓與圓的位置關(guān)系；(3)題目中含有參數(shù)以及問題的實際情況，例如含有參數(shù)的函數(shù)問題、方程解的個數(shù)問題以及排列、組合中的計數(shù)問題.在解題時要根據(jù)題目具體要求、題目實際情況的不同而對問題進(jìn)行具體分析.

2.3 邏輯類分法的特征

運用邏輯類分法解題時所要遵循的規(guī)則有：(1)整體簡約性，分類的過程要完整而縝密，周詳而簡約；(2)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一性，標(biāo)準(zhǔn)是確定的，每一次分類都要用同一個標(biāo)準(zhǔn)，不允許改變；(3)完備性，子問題不重復(fù)不遺漏；(4)逐級遞次性，連續(xù)分類要嚴(yán)格按照層次逐級進(jìn)行，不可以越級.在運用邏輯類分法解題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握好各個原則，做到心中有數(shù).

3 邏輯類分法在高中數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)

邏輯類分法作為一種常用且普遍的解題方法貫穿于教材中每一個知識點講解之中，人教版高中數(shù)學(xué)教材無論是必修還是選修內(nèi)容都對這一思想方法與解題策略的教學(xué)尤為重視.通過仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，涉及數(shù)學(xué)運算、圖形位置關(guān)系的知識本身就是一種分類討論.例如對于集合之間的運算，要涉及是否為空集的討論；指數(shù)與指數(shù)冪的運算，對數(shù)與對數(shù)運算；平面向量的線性運算；不等式的運算；點、直線、平面之間的位置關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系.涉及概率、函數(shù)的性質(zhì)問題時常常會采用分類討論進(jìn)行求解，例如拋硬幣、擲骰子；具有典型代表的分段函數(shù)、數(shù)列、解三角形、三角函數(shù)、排列組合、參數(shù)方程中都有涉及.

例1(人教版高中數(shù)學(xué)教材必修一)某市空調(diào)公交車的票價按照以下方案制定：(1)5 km以內(nèi)(含5 km)，票價2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票價增加1元(不足5 km的按照5 km計算).已知相鄰的公交站距離約為1 km，如果沿途(包括起點站與終點站)有21個公交站，根據(jù)題目要求寫出票價與路程之間的函數(shù)關(guān)系式.

說明：此題主要是分段函數(shù)的知識點，屬于典型的分類討論問題，主要由公交車的分段票價引起分類討論.求解這類問題時往往根據(jù)題目要求，分類討論，做到不重不漏.

例2(人教版高中數(shù)學(xué)教材必修二)已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0的方程，判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系；如果相交，則求出兩者交點的坐標(biāo).

說明：此題是判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系，通過圖形的形狀或位置關(guān)系引起的分類，這類問題必定會涉及到分類討論.

例3(人教版高中數(shù)學(xué)教材必修五)在△ABC中，已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°，解這個三角形(角度精確到1°，邊長精確到1 cm).

說明：此題考查的知識點是解三角形，主要考查學(xué)生對于正弦定理相關(guān)知識的掌握和應(yīng)用.在解答這類問題時往往要對三角形的解的個數(shù)進(jìn)行分類討論.

高中數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，教師不能只限于對數(shù)學(xué)教材的講解，要結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)要求，創(chuàng)新教學(xué)方式，傳授學(xué)生知識并教會學(xué)生解題.邏輯類分法是一種重要的解題策略，教會學(xué)生靈活運用這一策略，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，幫助學(xué)生更加輕松地解題.研究發(fā)現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中涉及分類討論的知識繁多，運用邏輯類分法解題的例題和習(xí)題也各種各樣，以上例題只是簡單列舉.

4 邏輯類分法在高考題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)高考試題注重突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，聚焦核心素養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)思維，倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用，重視讓學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)問題的探索過程，靈活運用數(shù)學(xué)知識分析數(shù)學(xué)問題的能力，全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求[3].

例4(2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

試題特點：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的問題.導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)單調(diào)性的常用方法，其首先對函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b進(jìn)行求導(dǎo)得到f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).由導(dǎo)函數(shù)f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a)=0解出x時引起分類討論.

解題思路：已知函數(shù)的定義域為R,那么f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).

①當(dāng)a≤0時，令f′(x)>0，所以x<0時，f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

試題特點：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點以及難點，等差數(shù)列與等比數(shù)列是其重點學(xué)習(xí)以及考查內(nèi)容之一，此題主要考查等差數(shù)列及其通項公式的基本應(yīng)用[4]，要求學(xué)生靈活運用其定義以及通項公式的知識來解決問題.需要注意的是在求出當(dāng)n≥2時的通項公式后，不要忘記檢驗n=1是否滿足.

例6(2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第23題)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)≥6的解集；

(2)若f(x)>-a，求a的取值范圍.

試題特點：對于當(dāng)a=1時，絕對值不等式|x-1|+|x+3|≥6的解法的一般思路是先去掉絕對值：分x≥1，x≤-3,-3

解題思路：(1)a=1時，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x+3|≥6的解集.當(dāng)x≥1時，2x+2≥6，得x≥2；當(dāng)-3

(2)由題意可得f(x)min>-a.

由絕對值的幾何意義可知，f(x)min即為數(shù)軸上x到a和-3的距離之和的最小值.當(dāng)x在a與-3之間時，距離之和最小，此時f(x)min=|a+3|.

所以,|a+3|>-a.

當(dāng)a<-3時，-a-3>-a，無解.

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)活動，在高考題中涉及分類討論的題目往往較難，在日常教學(xué)中教師要結(jié)合教材內(nèi)容注重培養(yǎng)學(xué)生分類解決問題的意識，掌握這一解題方法，做到靈活應(yīng)用，正確合理判斷其分類標(biāo)準(zhǔn)以及分類，將問題簡單化.

5 結(jié)論

數(shù)學(xué)不僅是中學(xué)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，也是高考必考科目之一，在學(xué)習(xí)與考試中都占有極其重要的地位.在素質(zhì)教育發(fā)展的背景下，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，掌握解題方法，樹立正確的學(xué)習(xí)理念，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，全面提升自身綜合能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，做到輕松應(yīng)對高考，實現(xiàn)自己的目標(biāo)[5].無論是教材中的數(shù)學(xué)題，還是高考題，用什么方法去解題往往是學(xué)生解題的難點與關(guān)鍵點.在解題教學(xué)中教師要教會學(xué)生“怎樣想”，引導(dǎo)學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，讓學(xué)生自己去探究與領(lǐng)悟，親身經(jīng)歷知識的發(fā)生與發(fā)展過程.

學(xué)會解題需要長期的模仿與練習(xí)，解決一道數(shù)學(xué)問題不僅需要具備扎實的專業(yè)知識，還需要掌握靈活的解題策略.邏輯類分法在數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的作用和地位，教師在教學(xué)中要有意識地滲透這種解題策略，幫助學(xué)生更好地掌握和運用.