高中數學換元解題“六法”

?山東省泰安第二中學 劉延群

1 引言

在解數學題時，我們可以把某個代數式看成一個新的未知數(元)來實行變量替換，從而使問題得到簡化，這種方法就是換元法.換元法的實質是轉化，轉化是為了達到“化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉”的目的[1].換元法的關鍵是構造元和設元，它的基本思路就是等量代換.在高中數學中，我們常用換元法將分式轉化為整式、將無理式轉化為有理式、將高次式降冪、將超越式轉化為代數式.

具體來說，采用換元解題有以下六種常見的方法.

2 比值換元法

由 sin2θ+cos2θ=1(三角公式)，得

即3x4+3y4-10x2y2=0.

再由因式分解，化簡為(3x2-y2)(x2-3y2)=0.

3 整體換元法

例2設x是實數，求證：(x2+4x+5)(x2+4x+2)+2x2+8x≥-10.

證明：令y=x2+4x+2.

易知y=(x+2)2-2≥-2，ymin=-2.

則(x2+4x+5)(x2+4x+2)+2x2+8x

=(y+3)y+2y-4=y2+5y-4

根據f(y)的單調性及ymin=-2可知，fmin(y)=f(-2)=(-2)2+5(-2)-4=-10.

故原不等式成立.

方法與技巧：整體換元的思路，就是通過對整體問題的觀察，研究整體結構的特性，從而導出局部結構和元素的特性.這里的“整體”和“局部”是相對而言的，例如本題中的令y=x2+4x+2 就只是相對的“整體”，因為相對于整個待證式來說它又是“局部”，其優勢就在于其繁瑣的原式左邊能用這個“局部”很簡捷地表示出來，從而使證明過程變得簡單明了.

4 倒數換元法

例3解方程：4x4-8x3+3x2-8x+4=0.

解：因為x≠0，可用x2除方程的兩邊，得

①

5 均值換元法

例4在復數集上解方程：(x+1)6+(x+2)6+(x+3)6=2.

展開整理,得y2(y4+10y2+10)=0.

方法與技巧：本題若將方程直接展開得六次方程，不僅繁瑣而且不容易解出，所以應該采用均值換元法.均值換元的實質是根據二次展開式(x+a)n+(x-a)n可消去含a的奇次項，且利用這些特征將某些高次方程轉化為特殊的高次方程以便于求解.這種均值換元法還可以推廣到更多項的這類特殊高次方程.

6 對稱置換法

例5求函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

則y=(a+b)(a-b)+(a+b)+(a-b)

方法與技巧：本題如果直接將sinx用cosx表示，則帶根式；若用萬能公式則又會出現高次冪，都比較繁瑣.所以我們可以根據題目的特點，采用對稱換元后很快就能將其可轉化為一元二次函數的最值問題[2]，達到了化難為易的目的.

7 三角換元法

例6已知a2+b2=c2(a,b,c∈R+)，求證：an+bn2且n∈N).

因為a,b,c∈R+，于是0

又因n-2為大于1的自然數，所以

因此，sinnθ+cosnθ

又因為 1≥cos(θ-φ),所以

①

令sinθcosθ=k，則(sinθ+cosθ)2=1+2k.

代入①式得： 144(1+2k)=1 225k2，

1 225k2-288k-144=0.

例9解方程：sinx+cosx+sinxcosx-1.

整理化簡,得 2t(1-t)(t2+t+2)=0.

解得t=0，t=1.

即

由此可見，在一個比較復雜的數學式子中，當直接解答有困難時，我們可以考慮用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，這樣能使運算簡化，使問題易于解決.