用導數研究曲線的切線問題

■江蘇省泰興市第二高級中學 高峰

用導數研究曲線的切線是高考一個主要考點,常與解析幾何知識交匯命題,旨在考查同學們對導數的幾何意義的正確理解。主要涉及求曲線切線的斜率與方程、曲線切線的條數、曲線的公切線、滿足條件的切線是否存在及滿足條件的切線的參數范圍等問題。

一、曲線在某點處的切線

例1(2021 屆四川省遂寧市高三三模)已知函數f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。

(1)設曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為k1,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線的斜率為k2,求k1+k2的值;

(2)若h(x)=f(x)+g(x),設曲線y=h(x)在點(t,h(t))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值。

解析:(1)因為f(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。

又因為g(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。

所以k1+k2=-2。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,則h＇(t)=-2t。

又因為點(t,h(t))為(t,2-t2),所以y=h(x)在點(t,2-t2)處的切線方程為y-(2-t2)=-2t(x-t),故當x=0 時,y=t2+2;當y=0時,x=。

感悟:曲線在某點(x0,f(x0))處的切線,則已知點一定是切點,求切線方程的步驟為:①求出函數f(x)的導數f＇(x);②求出切線的斜率k=f＇(x0);③寫出切線方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化簡為直線方程的一般式。

二、過某點的曲線的切線

例2(2022 屆山東省濰坊市高三上學期期中)已知a∈R,函數f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)過原點分別作曲線y=f(x)和y=g(x)的切線l1和l2,求證:存在a＞0,使得切線l1和l2的斜率互為倒數。

解析:(1)函數f(x)的定義域是(0,+∞),f＇(x)=-a。

若a≤0,則f＇(x)＞0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

若a＞0,當0＜x＜時,f＇(x)＞0;當x＞時,f＇(x)＜0。

所以f(x)在上單調遞增;在上單調遞減。

(2)f＇(x)=-a,g＇(x)=ex,設g(x)的切線方程為y=kx,則ex=k,顯然k＞0,x=lnk,切點為(lnk,k),于是=k,解得k=e,依題意l2的斜率為e,于是l1的斜率為。

設f(x)的切點坐標為(x0,y0),由導數的幾何意義知,則x0=。

設G(x)=ln(ex+1)-x,則G＇(x)=。

當0＜x＜時,G＇(x)＞0,G(x)單調遞增,因為G(0)=0,所以＞0;

當x＞時,G＇(x)＜0,G(x)單調遞減。

又因為G(e3)=ln(e4+1)-e3＜5-8＜0,所以存在x0∈,使得G(x0)=0,因此關于a的方程a=ln(ae+1)有正數解。

所以存在a＞0,使得切線l1和l2的斜率互為倒數。

感悟:對于曲線y=f(x)上“過”點(m,n)的切線問題,一般要先設切點(x0,y0),于是切線為y-n=f＇(x0)(x-m),再根據切點在曲線上,得y0=f(x0),切點在切線上,得y0-n=f＇(x0)(x0-m),聯立方程組,可得切點的坐標。本題探究過原點的兩條曲線的切線的斜率互為倒數時參數是否存在的問題,由導數求得l2的斜率為e,從而得l1的斜率為,設f(x)的切點坐標為(x0,y0),利用導數的幾何意義得f＇(x0)=,得出關于a的方程,再引入新函數,利用導數證明此方程有正數解即可。

三、探究曲線的切線的條數

例3(2022 屆重慶市南開中學高三上學期第一次質量檢測)已知函數f(x)=lnx+,a∈R。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若經過坐標原點恰好可作兩條直線與曲線y=f(x)相切,求a的取值范圍。

解析:(1)f＇(x)=,x＞0。

當a≤0 時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當a＞0時,f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增。

(2)設切點的橫坐標為x0,則切線方程為y=,將(0,0)代入得lnx0+-1=0,即2a=x0-x0lnx0,關于x0的方程2a=x0-x0lnx0在(0,+∞)內恰有兩個解。

令g(x)=x-xlnx,利用導數可求得g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。

又g(1)=1,當x→0 時,g(x)→0,且g(e)=0,故當0＜2a＜1時,方程g(x)=2a有兩個解,所以0＜a＜。

所以a的取值范圍為。

感悟:求曲線的切線的條數一般是設出切點(t,f(t)),由已知條件整理出關于t的方程,把切線的條數問題轉化為關于t的方程的實根個數問題。分離參數構建直線與新函數的交點個數,通過導數研究新函數的圖像,利用數形結合思想求解。

四、曲線的公切線

例4(2022 屆湖北省九師聯盟高三上學期質量檢測)已知函數f(x)=lnx,g(x)=x2-x+1。

(1)求函數h(x)=f(x)-g(x)的極值;

(2)證明:有且只有兩條直線與函數f(x),g(x)的圖像都相切。

解析:(1)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x2+x-1的定義域為(0,+∞),且h＇(x)=-2x+1=。

當0＜x＜1時,h＇(x)＞0;當x＞1 時,h＇(x)＜0。

所以h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以x=1是h(x)的極大值點。

所以h(x)的極大值為h(1)=-1,沒有極小值。

(2)設直線l分別與f(x),g(x)的圖像切于點(x1,lnx1),(x2,-x2+1)。

由f(x)=lnx可得f＇(x)=,所以l的方程為y-lnx1=,即y=·x+lnx1-1。

由g(x)=x2-x+1可得g＇(x)=2x-1,所以l的方程y-(-x2+1)=(2x2-1)(x-x2),即y=(2x2-1)x-+1。

當0＜x＜1時,F＇(x)＜0;當x＞1時,F＇(x)＞0。

所以F(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,所以F(x)min=F(1)=-1＜0。

因為F(e2)=ln e2+-2=＞0,所以F(x)在(1,+∞)上有一個零點。

由F(x)=lnx+,得F(e-2)=-2+＞0,所以F(x)在(0,1)上有一個零點。

所以F(x)在(0,+∞)上有兩個零點,故有且只有兩條直線與函數f(x),g(x)的圖像都相切。

感悟:求曲線的公切線的步驟:第一步,分別設出兩個曲線上切點的坐標為P(x1,y1),Q(x2,y2),并求出函數f(x)和g(x)在切點處的導數;第二步,充分考慮題目的已知條件,抓住切線的定義,挖掘題目的隱含條件,尋找解題的等量關系,如同一條切線的斜率和截距相等(尤其兩點連線的斜率),以及點既在曲線上又在切線上;第三步,利用方程思想即可得出結論。

五、滿足條件的切線是否存在的問題

例5(西安中學2021—2022 學年度第一學期期中)已知函數f(x)=ex-1,g(x)=lnx-1,其中e為自然對數的底數。

(1)當x＞0時,求證:f(x)≥g(x)+2。

(2)是否存在直線與函數y=f(x)及y=g(x)的圖像均相切?若存在,這樣的直線最多有幾條?并給出證明。若不存在,請說明理由。

解析:(1)設h(x)=f(x)-g(x)-2=ex-1-lnx-1,x＞0,則h＇(x)=ex-1-。

因為y=h＇(x)在(0,+∞)上為增函數,且h＇(1)=0,所以當x∈(0,1)時,h＇(x)＜0,h(x)為減函數;當x∈(1,+∞)時,h＇(x)＞0,h(x)為增函數。

所以h(x)min=h(1)=e0-ln 1-1=0,所以h(x)≥0恒成立,所以f(x)≥g(x)+2。

(2)設直線與y=f(x)切于,與y=g(x)切于B(x2,lnx2-1)(x2＞0)。

因為y=x-1+lnx在(0,+∞)上為增函數,且x=1時,y=0,所以當x∈(0,1)時,k＇(x)＜0,h(x)為減函數;當x∈(1,+∞)時,k＇(x)＞0,h(x)為增函數。所以k(x)min=k(1)=-2＜0。

感悟:判斷符合條件的切線是否存在,或根據切線滿足條件求參數的值或范圍,求解思路是把切線滿足的條件轉化為關于斜率或切點的方程或函數,再根據方程根的情況或函數的性質去求解。