基于強(qiáng)化基礎(chǔ)和素養(yǎng)導(dǎo)向的高考數(shù)學(xué)備考策略
——2017-2021年全國(guó)卷中數(shù)列解答題試題綜述

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)之一，是與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)銜接的內(nèi)容之一，在研究和學(xué)習(xí)過(guò)程中，從知識(shí)的生成、生發(fā)、遷移、重組、融合和創(chuàng)新上培養(yǎng)學(xué)生思維能力和綜合素養(yǎng).依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)列模塊屬于選擇性必修課程主題——函數(shù)的內(nèi)容，作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，具有遞推規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具.

1 精準(zhǔn)領(lǐng)會(huì)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.1 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求區(qū)別

新課標(biāo)增加了通過(guò)數(shù)學(xué)中的實(shí)例了解數(shù)列的概念；要求通過(guò)生活中的實(shí)例理解等差(比)數(shù)列的概念，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，突顯了數(shù)列的應(yīng)用性，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值；增加了“理解等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系”，對(duì)等差(比)數(shù)列提出了更高的要求；新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍限于“數(shù)列”中的一些簡(jiǎn)單命題.

1.2 兩了解、四理解和兩體會(huì)

了解：數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；數(shù)列是一種特殊函數(shù)；數(shù)學(xué)歸納法的原理.

理解：等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系；等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

體會(huì)：等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系；等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

重點(diǎn)：提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)．

2 高考考情統(tǒng)計(jì)分析

基本問(wèn)題高考卷基本問(wèn)題高考卷等差(比)數(shù)列判定2021年乙卷理(1)、2021年甲卷文(2)2019年新課標(biāo)Ⅱ理(1)、2018年新課標(biāo)Ⅰ(2)2017年新課標(biāo)Ⅲ文(2)數(shù)列與不等式2021年乙卷文(2)2021年新高考Ⅱ(2)2019年新課標(biāo)Ⅰ文(2)求通項(xiàng)公式2021年乙卷理(2)、2021年乙卷文(1)2021年甲卷文(2)、2021年新高考Ⅲ(1)2020年新課標(biāo)Ⅲ文理(1)、2019年新課標(biāo)Ⅰ文(1)2019年新課標(biāo)Ⅱ文(1)、2019年新課標(biāo)Ⅱ理(2)2018年新課標(biāo)Ⅰ文(3)、2018年新課標(biāo)Ⅱ理(1)2018年新課標(biāo)Ⅲ文(1)、2017年新課標(biāo)Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ文(1)求前n項(xiàng)和2021年新高考Ⅰ(2)2020年新課標(biāo)Ⅰ理(2)2020年新課標(biāo)Ⅲ文理(2)2019年新課標(biāo)Ⅱ文(2)2018年新課標(biāo)Ⅲ文(2)2017年新課標(biāo)ⅡⅢ文(2)數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題2021年新高考Ⅰ結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題2021年甲卷理

由統(tǒng)計(jì)可以看出，

(1)十八個(gè)題中，有十五道題涉及求數(shù)列通項(xiàng)公式，占比83.3%，求數(shù)列基本量計(jì)算比重較大.

(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和有十二道題，占比67%，考查頻率較高，并且一般情況下通項(xiàng)公式處于第一問(wèn)，求和處于第二問(wèn)位置.

(3)考查等差(比)數(shù)列的判定或證明，有五道題.

(4)近幾年數(shù)列與不等式以及函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題也比較多，數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題即交叉遞推關(guān)系源自于分段函數(shù)，結(jié)合數(shù)列特征，看似復(fù)雜，其實(shí)不難.

(5)從2021年開(kāi)始出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，表現(xiàn)出更多的開(kāi)放性和靈活性.

3 幾個(gè)基本問(wèn)題以及經(jīng)典試題分析

3.1 等差(比)數(shù)列的判定

則Sn=a1n2.

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2na1-a1,

當(dāng)n=1時(shí),滿(mǎn)足an=2na1-a1，

故{an}的通項(xiàng)公式an=2na1-a1.

所以{an}是以a1為首項(xiàng)，2a1為公差的等差數(shù)列.

3.2 求等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式

(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;

(2)求{an}的通項(xiàng)公式．

(1)證法1 因?yàn)閎n=S1·S2·…·Sn-1·Sn，

于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1(n≥2).

又因?yàn)閎n=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1，

用數(shù)學(xué)歸納法證明略.

(2)由(1)可得，

顯然對(duì)于n=1不成立,

3.3 求數(shù)列的前n項(xiàng)和

例3(2017年新課標(biāo)Ⅲ文)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

解析(1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n，則當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

評(píng)注本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,比較基礎(chǔ).

總結(jié)提升數(shù)列求和方法有：(1)求和公式法；(2)倒序相加法；(3)分組求和法；(4)錯(cuò)位相減法；(5)裂項(xiàng)相消法；(6)并項(xiàng)相加法求和，例如{(-1)n-1·an}求和，需要對(duì)n進(jìn)行奇偶分類(lèi)討論，又例如例4；(7)待定系數(shù)法.

3.4 數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題

(1)記bn=a2n，寫(xiě)出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)求{an}的前20項(xiàng)和.

解析(1)可知b1=2,b2=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2，

故a2k+2=a2k+3.

即bn+1=bn+3.

所以{bn}為以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.

故bn=3n-1(n∈N*).

(2)方法1設(shè){an}的前20項(xiàng)和為S20=a1+a2+a3+…+a20,

因?yàn)閍1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1，

所以S20=2(a2+a4+…+a20)-10=2(b1+b2+b3+…+b20)-10=300.

方法2 由(1)知a2n=3n-1.

則a2n-1=3n-2(n∈N*).

所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=300.

即S20=300.

評(píng)注對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來(lái)求解，或者直接求通項(xiàng)公式，并項(xiàng)求和.此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)還是等差(比)數(shù)列問(wèn)題.

關(guān)聯(lián)試題1 (2019年天津卷文科18題)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

關(guān)聯(lián)試題2 (2020年天津卷19題)已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3)．

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

3.5 數(shù)列與不等式

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

評(píng)注本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，其中證明不等式時(shí)采用作差法、作商法或者放縮法等，要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)類(lèi)型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)得更為簡(jiǎn)潔.

3.6 結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

例6(2021年全國(guó)甲卷理)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

③a2=3a1．

評(píng)注這類(lèi)題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法、等差中項(xiàng)法或者函數(shù)法.

4 蘊(yùn)含思想方法分析

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用這些思想方法提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高解題能力.

4.1 函數(shù)與方程思想

等差(比)數(shù)列基本量計(jì)算，即a1，n，d(q)，an和Sn,運(yùn)用“知一求二”，即建立方程求解；然而數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集或正整數(shù)集的子集上的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)形式和函數(shù)思想，解決數(shù)列問(wèn)題，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助初等函數(shù)的性質(zhì)，求值、解(證明)不等式、討論參數(shù)范圍問(wèn)題；二是通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化至討論函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題.

4.2 分類(lèi)討論思想

數(shù)列中離不開(kāi)分類(lèi)討論思想，可以考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性.關(guān)鍵一是明確引起分類(lèi)的原因；二是明確確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)或方法；三是注意分類(lèi)結(jié)論的整合，有分有合、先分后合是分類(lèi)討論的本質(zhì)屬性.比如數(shù)列奇偶問(wèn)題.

4.3 轉(zhuǎn)化與化歸思想

從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從未知到已知，是解題思維必經(jīng)之路.等價(jià)轉(zhuǎn)化就會(huì)顯得尤為重要，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化類(lèi)型通過(guò)換元、構(gòu)造或者待定系數(shù)法等把復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化至熟悉的等差(比)數(shù)列，比如2021年乙卷理科19題，2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科19題，2018年新課標(biāo)Ⅰ卷文科17題.

4.4 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)三個(gè)方面，一是以形助數(shù)，即借助直觀性闡述數(shù)之間的聯(lián)系；二是以數(shù)助形，即借助數(shù)的精確性闡述形的屬性；三是數(shù)形互助，即直觀與形的相互轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到解決問(wèn)題的目的.研究數(shù)列通項(xiàng)及其求和公式的函數(shù)特征，函數(shù)圖象，或者建立方程以及方程曲線，以此借助數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.比如2018年全國(guó)Ⅱ卷理科17題.

除了以上數(shù)學(xué)思想還會(huì)用到類(lèi)比思想，比如等差(比)數(shù)列與指對(duì)函數(shù)性質(zhì)類(lèi)比；建模思想解決實(shí)際問(wèn)題，如2019年全國(guó)Ⅱ卷理科21壓軸題；特殊與一般思想完成數(shù)學(xué)歸納法的推理與證明，如2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科17題等.

5 教學(xué)建議

雖然近幾年數(shù)列在全國(guó)卷中難度不大，但是也要引起重視，因?yàn)檎憬?、北京卷等高考?shù)列壓軸題居多，不排除難度增加的可能，畢竟導(dǎo)數(shù)和解析幾何壓軸已經(jīng)很多年了，2021年數(shù)列題明顯一見(jiàn)清新，考查靈活，難度自然有所提升.數(shù)列基本量運(yùn)算和等差(比)數(shù)列性質(zhì)在選擇填空考查比較多，對(duì)于解答題備考需要注意：一是依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求對(duì)數(shù)列進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)；二是回歸教材，注重?cái)?shù)列中六類(lèi)基本問(wèn)題的生成和原理，特別是求通項(xiàng)公式和求和，并加強(qiáng)運(yùn)算能力；三是加強(qiáng)思想和方法的理解，特別是講題講方法、講思想；四是加強(qiáng)用函數(shù)觀點(diǎn)思考數(shù)列問(wèn)題；五是加強(qiáng)基本知識(shí)和方法的總結(jié)，方法靈活多變，但是萬(wàn)變不離其宗，比如2021年乙卷；六是利用規(guī)律解決較為抽象復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題.