數學理科試題(適用于全國卷)

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

一、選擇題

A. (-2,+∞) B. (-∞,2) C.AD.B

解題思路因為A=(-3,+∞)，所以A∪B=A，故選C.

3．若函數y=(a2-2a-2)xa2-3a-4為冪函數，且圖象與兩坐標軸無交點，則實數m的值為( ).

A.3 B.3或1 C.3或-1 D.-1

解題思路由于函數y=(a2-2a-2)xa2-3a-4為冪函數，所以a2-2a-2=1.又冪函數圖象與兩坐標軸無交點，所以a2-3a-4≤0，解得a=3或a=-1，故選C.

4．為貫徹落實黨中央關于黨史學習教育的總體部署，今年4月，教育部在中小學部署開展了“從小學黨史 永遠跟黨走”主題教育活動.某校開展了學黨史讀書活動，學生積極參加，現對該校學生每周學黨史讀書時間進行統計，統計結果繪制成頻率分布直方圖，如圖1，則該校學生每周學黨史讀書的平均時間(單位：小時)為( ).

圖1

A.11.6 B.11.20 C.11.25 D.11.30

解題思路由題意得頻率之和為1，即(0.1+a+0.4+0.25+0.1)×1=1，解得a=0.15，則學黨史讀書時間的平均數為9.5×0.10+10.5×0.15+11.5×0.40+12.5×0.25+13.5×0.10=11.6(小時)，故選A.

解題思路依題意，得

故選B.

6.已知函數f(x)=ln(x+2)+m的圖象不經過第二象限，則m的取值范圍為( ).

A.m<-ln2 B.m≤-ln2

C.m>ln2 D.m≥ln2

解題思路由對數函數的圖象和性質，可知函數f(x)在(-2，+∞)單調遞增，若函數圖象不經過第二象限，則ln(0+2)+m≤0，解得m≤-ln2.

故選B.

7．已知等比數列{an}中，a1=1，a9=64，則a5=( ).

A.8 B.-8 C.10 D.±8

故選A.

圖2

A.①②④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤

解題思路1 由題知兩條漸近線方程為4x±3y=0，設P(x0,y0)，則lPP1:3x+4y-3x0-4y0=0，lPP2:3x-4y-3x0+4y0=0.

故選D.

11．由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的五位數，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數字保持遞增，后3個數字保持遞減”(如五位數“12543”，前3個數字“125”保持遞增，后3個數字“543”保持遞減)的概率是( ).

C.(-1,1) D.(-1,+∞)

由g(x)與f(x)互為反函數，得

即ea-1=a，構造函數φ(x)=ex-1-x，求導得φ′(x)=ex-1-1，當x<1時φ′(x)<0，當x>1時φ′(x)>0，所以φ(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增.

二、填空題

綜上該展開式中含x2項的系數為46.

14．已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且b2>a2+c2，sinB=sinC.設△ABC的面積為S，若4bS=a(b2+c2-a2)，則A=____．

解題思路由4bS=a(b2+c2-a2)，得2abcsinB=2abccosA，即sinB=cosA.

由b2>a2+c2，得cosB<0，即B為鈍角.

又sinB=sinC，所以cosA=cos2A.

圖3

三、解答題

17.已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an-1(n∈N*).

(1)證明：數列{an}為等比數列，并求an.

解題思路(1)當n=1時，得a1=1.當n>2時，Sn-1=2an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.所以an=2an-1.所以{an}是以1為首項，2為公比的等比數列，所以an=2n-1.

(2)設等差數列{bn}的公差為d(d≥0)，則T1=b1=2，T2=4+d，T3=6+3d.

所以Tn=n2+n.

所以Wn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.

故2Wn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n.

兩式相減，得

-Wn=20+21+22+…+2n-1-n·2n

=2n-1-n·2n.

所以Wn=(n-1)·2n+1.

18．新冠病毒變異株奧密克戎導致歐美多國新冠病例數激增，為全球抗疫帶來新的挑戰.某市防疫部門為保障該市的防疫物資質量，聯合質檢部分對該市甲、乙兩家口罩生產企業進行檢查，分別從這兩家企業生產的某種同類口罩中隨機抽取了100個作為樣本，并以樣本的一項關鍵質量指標值為檢測依據.

已知該質量指標值對應的產品等級如下：

質量指標值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)等級次品二等品一等品二等品三等品次品

根據質量指標值的分組，統計得到了甲企業的樣本頻率分布表和乙企業的樣本頻數分布直方圖(如圖4，其中a>0).

質量指標值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)頻數2184814162

(1)為確保口罩使用者的防疫安全性，甲企業將所有次品口罩銷毀，并將一、二、三等品的售價分別定為2元、1元、0.5元.一名顧客隨機購買了甲企業銷售的2個口罩，記其支付費用為X元，用頻率估計概率，求X的分布列和數學期望；

(2)如果你是某學校的后勤采購人員，需要為學校師生采購口罩，請你根據圖表數據，自定標準，對甲、乙兩企業口罩質量的優劣情況進行比較，來決定購買哪個企業生產的口罩.

隨機變量X的分布列為：

X11.522.534P1361919161314

(2)答案不唯一，參考如下:

①以口罩的合格率(非次品的占有率)為標準，對甲、乙兩家企業的口罩質量進行比較，由圖表可知，(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080)×5=1，得a=0.008，所以乙企業的樣本中次品的頻率為(a+0.020)×5=0.14，則合格率約為0.86，甲企業口罩的合格率約為0.96，所以甲企業口罩的合格率高于乙企業口罩的合格率，故認為甲企業的口罩生產質量更高，故采購甲企業的口罩.

②以口罩中一等品的概率為標準，對甲、乙兩家企業的口罩質量進行比較，根據圖表可知，甲企業口罩中一等品的概率約為0.48，乙企業口罩中一等品的概率約為0.4，即甲企業口罩中一等品的概率高于乙企業口罩中一等品的概率，所以甲企業的口罩生產質量更高，故選擇采購甲企業的口罩.

圖5 圖6

(1)求證：平面ABD⊥平面ADC；

(2)求直線AC與平面ADE所成角的正弦值.

圖7

圖8

(1)求橢圓Γ的離心率；

(2)若橢圓Γ的短軸長為2，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于E，F兩點，求△AEF的面積最小時，k1+k2的值．

21.已知函數f(x)=e-x+sinx，g(x)=ax(a∈R).

(2)若函數h(x)=f(x)-g(x)在區間(0,2π)內單調遞減，求實數a的取值范圍.

當x∈(0,t)時，f″(x)>0，f′(x)單調遞增；

當x∈(0,x0)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

所以x0為f(x)的極大值點，得證.

(2)由題意可知h(x)=e-x+sinx-ax在(0，2π)上單調遞減，則h′(x)=-e-x+cosx-a≤0在(0，2π)上恒成立，參變分離得a≥-e-x+cosx，x∈(0，2π)，令φ(x)=-e-x+cosx，x∈(0，2π)，φ′(x)=e-x-sinx，當x∈(π，2π)時，φ′(x)>0恒成立，所以φ(x)在(π，2π)上單調遞增；當x∈(0,π)時，φ″(x)=-e-x-cosx單調遞增，

φ″(0)=-e0-cos0=-2<0，

綜上,a≥φ(2π)=1-e-2π.

(1)求曲線C1的極坐標方程；

所以-1

因為y≠-1，所以曲線C1的極坐標方程為

23.已知f(x)=|2x-2|+|x+3|，

(1)求不等式f(x)≤x+3的解集；