立體幾何中的動態(tài)問題探究

黃治元

立體幾何中的動態(tài)問題主要涉及點、線的移動或是平面的翻折所形成的線線角、線面角問題，以及所形成的軌跡、最值問題，立體幾何動態(tài)問題的解決需要較高的空間想象能力和化歸處里能力，既要善于在運動中找到不變量做到動中求靜，又要善于發(fā)現(xiàn)運動的本質(zhì)與共性，力爭找出解決問題的通性通法.

1 利用最小角定理解決立體幾何中的動態(tài)問題

最小角定理平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角（即直線與平面所成角），就是它和平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角.

2 利用最大角定理解決立體幾何中的動態(tài)問題

最大角定理如圖3，設(shè)點P是二面角α一l一β的半平面α內(nèi)的半圓弧ABC上一動點，OB ⊥l于點O，則直線OP與平面β所成角的最大值等于二面角α一l一β的大小，

簡證 點P沿半圓弧從A移動到B時，點P到平面β的距離h逐漸增大，則直線O與平面β所成角正弦值h/OP增大（OP長度不變），從而直線OP與平面β所成角逐漸增大，當(dāng)點P位于點B處時，直線OP與平面β所成角達到最大值，即為二面角a-l-β的大小，

評注此結(jié)論可以解決某平面內(nèi)運動直線與另一相交平面所成角最值問題，

例2如圖4，己知三棱錐A -BCD的所有棱長均相等，點E滿足DE= 3EC.點P在棱AC上運動，設(shè)E與平面BCD所成角為θ，則sinθ的最大值為____.

解析由最大角定理，sinθ的最大值即為二面角A -CD-B的正弦值，由正四面體熟知的結(jié)論，知二面角A一CD -B的正弦值為2√2/3，所以sinθ的最大值為2√2/3，

例3如圖5，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練，己知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小，若AB=15m，AC= 25m，

3 利用阿波羅尼斯圓解決立體幾何中的動態(tài)問題

阿波羅尼斯圓平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比等于常數(shù)λ（λ≠1）的點P的軌跡是圓，稱該圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

簡證 如圖7，在線段AB及其延長線上取點

結(jié)束語 立體幾何中的動態(tài)問題是指空間中某些點、線、面的位置不確定或可變的一類開放性問題，其解決的過程實質(zhì)是數(shù)學(xué)建模的過程，把問題回歸到最本質(zhì)的定義、定理或構(gòu)建的模型中.23E49A37-AAD7-4A24-8D70-596D25FA183E