基于Voronoi圖選點法的響應面法

尚昆

（中國直升機設計研究所，江西景德鎮 333001）

0.引言

在進行結構可靠性分析時，通常使用結構功能函數來表征結構響應值與變量之間的關系。對于簡單的現實問題，可以通過解析解或數值分析的方式獲得其可靠性指標與設計驗算點。但對于復雜的結構系統，其功能函數通常為隱式的。針對這一問題，可采用蒙特卡洛法（Monte Carlo Simulation，MCS）、一階可靠性方法（First Order Reliability Method，FORM）、二階可靠性方法（Second Order Reliability Method，SORM）等。但此類方法計算成本較大，特別是失效概率較低的復雜結構問題。

響應面法（Response Surface Method，RSM）作為一種重要的結構可靠性分析方法，其通過簡單的響應面函數來近似提到原有復雜的結構功能函數，可以極大地減少結構失效概率的計算量，提高可靠性分析效率。目前，在工程中應用較多的是由Bucher等提出的選代響應面法及其改進[1-2]。該類響應面法使用二次多項式作為響應面的形式，每次迭代響應面均由2n+1個樣本點構建而成。Kim等[3]提出了向量映射法，是樣本點更加接近于極限狀態面，從而加快迭代。以上響應面法，在每次迭代中僅使用本次迭代出的樣本點，丟失了很多樣本信息。文獻[4]采用加權響應面法來近似隱式極限狀態，通過權函數對全部樣本點進行處理后，使用全部樣本點構建響應面，從而加快收斂速度，但容易導致回歸矩陣病態[4]。對響應面模型貢獻最大的區域為極限狀態面和設計驗算點周圍區域，而基于最小二乘法的響應面法是一種基于全局逼近的模型，無法實現局部近似。

向量映射法以及加權響應面試圖通過將樣本點選擇在極限狀態面上以及為貢獻大的區域賦予更大權重的方法解決這一問題。文獻[5]用移動最小二乘法對曲線曲面進行擬合，利用了全部樣本點，在每一次送代時，通過為每個擬合點賦予影響域的方式來選擇合適的樣本點來擬合[5]。這一方法實現了局部近似，得到了精度高的曲線曲面。

但是樣本均勻程度在移動最小二乘法的擬合效果上起著重要作用[6]，因此基于移動最小二乘法的影響面模型的關鍵就是選取均勻性好的樣本。常見的實驗設計方法通常只能保證本次迭代樣本的均勻性，無法保證整體樣本分布均勻性的質量且采樣過程具有隨機性，因此即使使用同一種實驗設計方法進行重復試驗，也可能產生不同的計算結果。Voronoi圖可以在已有樣本的情況下，找到距離現有樣本最遠位置的樣本點，通過這種方法選取的樣本不會產生聚集，且均勻性較好，且采樣過程是確定的，消除了由樣本選擇的隨機性導致樣本均勻性質量的波動。

同時，由于響應面模型的精度和效率主要取決于設計驗算點附近的近似效果。且隨著迭代，響應面模型的設計驗算點逐步逼近真實設計驗算點，因此，應在設計驗算點附近的區域內選取樣本。

1.傳統響應面法

響應面法的基本思想是通過簡單的顯式函數來近似替代真實的結構功能函數，傳統響應面法使用不含交叉項的二次多項式作為響應面模型的基本函數，假設n維隨機變量X=[x1,x2,…,xn]，則響應面函數為：

其中，ai，bi，c為系數。

傳統響應面法每次迭代只使用本次抽取的樣本點，且f的取值對最終結果影響很大[7]。f值越小，則其穩定性較差，反之，則試驗設計點附近近似效果難以保證。

2.改進響應面法

2.1 移動最小二乘法的基本原理

考慮在一個n維變量空間中，定義變量X=[x1,x2,…,xn]，則其響應面模型可以表示為：

其中，p（X）為該響應面的基函數，本文選用僅含平方項和線性項的二次多項式作為基函數；a（X）是該基函數對應的系數向量，假設樣本點個數為N(N≥2n+1)，則p（X），a（X）分別表示為：

系數向量a（X）可以通過最小化樣本集樣本值與擬合值之間的加權誤差H（X）獲得，其中

通過對上式進行最小化，即求解H（X）的極值，令?H/?a=0，可得系數向量

其中，g，W，P分別為

w(X-Xi)為權函數，本節僅以高斯函數為例進行展示：

式中，α為任意參數，可根據不同模型的擬合效果加以調整，本文取α=1，R為影響域半徑，影響域是移動最小二乘法區別于最小二乘法最大的特征，影響域越小，其局部擬合越精確，同時影響域也應足夠大，以保證該影響域內具有足夠的樣本點(N≥2n+1)。

2.2 基于Voronoi圖的實驗設計

Voronoi圖是對空間平面的一種剖分，是由一組連接兩相鄰樣點線段的重直平分線組成的連續多邊形，因此該多邊形的頂點為距離最近樣點最遠的位置。選擇這些位置的樣本可以有效保證空間樣本的均勻程度。但由于Voronoi選點法不會在設計驗算點附近聚集，導致迭代出的響應面模型熟練速度較慢。為解決這一問題本文同樣選擇個設計驗算點的頂點作為新的樣本點。

根據上述推導過程，基于Voronoi選點法和移動最小二乘法的響應面法的計算步驟如下：

步驟1：確定樣本空間，選取初始樣本點。在標準正態空間中，本文選取以坐標原點為抽樣中心點，在坐標軸上距離抽樣中心點一定距離f（f=3）的點作為初始樣本點。

步驟2：將樣本點代入結構功能函數g（X）中，獲得其響應值，并代入式（7）中求解系數向量。

步驟4：以設計驗算點作為新的抽樣中心點，形成Voronoi圖，以抽樣中心點為樣點的多邊形頂點構成候選樣本集SA，并在樣本集SA中選取n個距離抽樣中心點最遠的多邊形頂點構成樣本集Sa。并找出樣本空間中其余所有頂點構成侯選樣本集SB，在候選樣本集SB中選取n個距離現有樣本點最遠的樣本作為新的樣本Sb。則本次迭代的樣本點由Sa、Sb以及抽樣中心點構成。

重復步驟2-4直至滿足下列收斂條件：

其中，ε為要求的計算精度。

3.算例驗證

為了便于對本文方法進行分析和說明，本算例選取文獻[7]功能函數：

式中，x1，x2相互獨立且均服從標準正態分布。設置收斂條件為ε≤0.01，用一階可靠性方法計算出的設計驗算點作為參考值。其計算結果如表1所示。

表1 計算結果

通過數值算例可以看出，本文方法運算次數（計算效率）相比傳統響應面法有明顯提高，且試驗設計點也更準確，誤差小于傳統響應面法。

4.結論

移動最小二乘法具有局部計算精度高的優點，但若樣本集在擬合點分布不均勻時其擬合誤差較大，且容易導致回歸矩陣奇異，因此移動最小二乘法對樣本的均勻程度要求較高。

針對現有實驗設計方法存在的無法根據已有樣本點進行抽樣，進而導致樣本在空間中分布不均勻，且抽樣過程中存在隨機性的問題。本文將Voronoi圖選點法引入響應面模型中，通過Voronoi圖的特點在感興趣的樣本空間選擇出距離現有樣本最遠的點作為新的樣本，避免樣本點集中在少數區域，從而提高了空間樣本的均勻程度。算例分析結果表明，本文方法選取的樣本更加合理，結合移動最小二乘法有效提高了響應面法的精度和效率。