基于強化基礎和素養導向的高考數學備考策略

摘要：自2017年版新課程標準實施以來，數列的考查方向更明確，內容更清晰，文章對新舊課程標準中數列教學要求做了簡單分析，通過對2017-2021年全國卷中數列解答題知識詳細考點分析，歸納出了六種基本問題并做了經典試題分析，基于此給出了備考復習建議.

關鍵詞：數列;課程標準;基本問題;復習建議

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0021-05

數列是高中數學重點知識之一，是與大學數學知識銜接的內容之一，在研究和學習過程中，從知識的生成、生發、遷移、重組、融合和創新上培養學生思維能力和綜合素養.依據新課程標準，數列模塊屬于選擇性必修課程主題——函數的內容，作為一類特殊的函數，具有遞推規律的數學模型，是研究其他類型函數的基本工具.

1 精準領會新課程標準要求

1.1 新舊課程標準教學要求區別

新課標增加了通過數學中的實例了解數列的概念;要求通過生活中的實例理解等差（比）數列的概念，強調了數學與生活的聯系，突顯了數列的應用性，引導學生感悟數學應用價值;增加了“理解等差（比）數列的通項公式與前n項和公式的關系”，對等差（比）數列提出了更高的要求;新課標強調數學歸納法的應用范圍限于“數列”中的一些簡單命題.

1.2 兩了解、四理解和兩體會

了解：數列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式）;數列是一種特殊函數;數學歸納法的原理.

理解：等差數列的概念和通項公式的意義;等差數列的通項公式與前n項和公式的關系;等比數列的概念和通項公式的意義;等比數列的通項公式與前n項和公式的關系.

體會：等差數列與一元一次函數的關系;等比數列與指數函數的關系.

重點：提升學生數學抽象、數學運算、直觀想象、數學建模和邏輯推理素養.

2 高考考情統計分析

基本問題高考卷基本問題高考卷

等差（比）數列判定

2021年乙卷理（1）、2021年甲卷文（2）

2019年新課標Ⅱ理（1）、2018年新課標Ⅰ（2）

2017年新課標Ⅲ文（2）

數列與不等式

2021年乙卷文（2）

2021年新高考Ⅱ（2）

2019年新課標Ⅰ文（2）

求通項公式

2021年乙卷理（2）、2021年乙卷文（1）

2021年甲卷文（2）、2021年新高考Ⅲ（1）

2020年新課標Ⅲ文理（1）、2019年新課標Ⅰ文（1）

2019年新課標Ⅱ文（1）、2019年新課標Ⅱ理（2）

2018年新課標Ⅰ文（3）、2018年新課標Ⅱ理（1）

2018年新課標Ⅲ文（1）、2017年新課標Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ文（1）

求前n項和

2021年新高考Ⅰ（2）

2020年新課標Ⅰ理（2）

2020年新課標Ⅲ文理（2）

2019年新課標Ⅱ文（2）

2018年新課標Ⅲ文（2）

2017年新課標ⅡⅢ文（2）

數列中奇偶項問題

2021年新高考Ⅰ

結構不良問題

2021年甲卷理

由統計可以看出，

（1）十八個題中，有十五道題涉及求數列通項公式，占比83.3%，求數列基本量計算比重較大.

（2）求數列前n項和有十二道題，占比67%，考查頻率較高，并且一般情況下通項公式處于第一問，求和處于第二問位置.

（3）考查等差（比）數列的判定或證明，有五道題.

（4）近幾年數列與不等式以及函數綜合應用問題也比較多，數列中奇偶項問題即交叉遞推關系源自于分段函數，結合數列特征，看似復雜，其實不難.

（5）從2021年開始出現結構不良問題，表現出更多的開放性和靈活性.

3 幾個基本問題以及經典試題分析

3.1 等差（比）數列的判定

例1（2021年甲卷文）記Sn為數列an的前n項和，已知an>0，a2=3a1，且數列Sn是等差數列，證明：an是等差數列.

證明因為Sn是等差數列，

設公差d=S2-S1=a1，

所以Sn=a1+（n-1）a1=na1.

則Sn=a1n2.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2na1-a1，

當n=1時，滿足an=2na1-a1，

故an的通項公式an=2na1-a1.

所以an是以a1為首項，2a1為公差的等差數列.

總結提升判斷等差（比）數列的方法：一是定義法，an+1-an（或an+1an）為一個常數;二是等差（比）中項公式法，其本質還是公式法;三是函數法，an=kn+b（即為關于n的一次函數）.需要注意的是an+1=qan和a2n=an-1an（n≥2）都是數列為等比數列的必要不充分條件，因為有可能各項為0，并且要注意在利用an=Sn-Sn-1求通項公式時，一定要分類討論n=1和n≥2兩種情況.

3.2 求等差（比）數列的通項公式

例2（2021年乙卷理）記Sn為數列an的前n項和，bn為數列Sn的前n項積，已知2Sn+1bn=2.

（1）證明：數列bn是等差數列;

（2）求an的通項公式.

（1）證法1因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn，

于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1（n≥2）.

則bnbn-1=Sn.

因為2Sn+1bn=2，

所以bn-bn-1=12（n≥2）.

當n=1時，S1=b1=32.

所以數列{bn是以b1=32為首項，以d=12為公差的等差數列.

證法2因為2Sn+1bn=2，則bn=Sn2Sn-2，且Sn≠0，bn≠0，Sn≠1.

又因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1，

所以bn-1=bnSn=12Sn-2（n≥2）.

則bn-bn-1=12，同上.

證法3可知b1=32，b2=2，b3=52.

猜想{bn是以b1=32為首項，以d=12為公差的等差數列，bn=12n+1.

用數學歸納法證明略.

（2）由（1）可得，

bn=12n+1，Sn=n+2n+1.

當n=1時，a1=32，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-1n（n+1），

顯然對于n=1不成立，所以an=32，n=1，-1n（n+1），n≥2.

評注本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和與項的關系，第一問也可以由2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn2bn-1=bn，得到2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn+12bn+1-1=bn+1，進而得到2bn+12bn+1-1=2bn2bn-1.此題新穎，有新定義的味道.熟練掌握前n項和，積與數列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和（積）的遞推關系是常用的重要思想方法.

總結提升求數列通項公式方法有（1）定義公式法;

（2）累加法;（3）累積法;

（4）已知Sn求an，即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2;（5）倒數構造法;（6）構造法或拼湊法等.

3.3 求數列的前n項和

例3（2017年新課標Ⅲ文）設數列an滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

（1）求an的通項公式;

（2）求數列an2n+1 的前n項和.

解析（1）因為a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，則當n≥2時，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）.

所以（2n-1）an=2.

即an=22n-1（n≥2）.

當n=1時，a1=2，上式也成立，故an=22n-1.

（2）an2n+1=2（2n+1）（2n-1）

=12n-1-12n+1，

數列an2n+1的前n項和為（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1=2n2n+1.

評注本題考查了利用遞推公式求通項公式，裂項法求和的簡單應用，比較基礎.

總結提升數列求和方法有：（1）求和公式法;（2）倒序相加法;（3）分組求和法;（4）錯位相減法;（5）裂項相消法;（6）并項相加法求和，例如{（-1）n-1·an}求和，需要對n進行奇偶分類討論，又例如例4;（7）待定系數法.

3.4 數列中奇偶項問題

例4（2021年新高考Ⅰ卷）已知數列an滿足a1=1，an+1=an+1，n為奇數，an+2，n為偶數.

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數列bn的通項公式;

（2）求an的前20項和.

解析（1）可知b1=2，b2=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2，

故a2k+2=a2k+3.

即bn+1=bn+3.

所以bn為以2為首項，3為公差的等差數列.

故bn=3n-1（n∈N*）.

（2）方法1設an的前20項和為S20=a1+a2+a3+…+a20，

因為a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1，

所以S20=2（a2+a4+…+a20）-10=2（b1+b2+b3+…+b20）-10=300.

方法2由（1）知a2n=3n-1.

則a2n-1=3n-2（n∈N*）.

所以S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=300.

方法3（累加法）易知an-an-1=3-（-1）n2，an-1-an-2=3-（-1）n-12，…，a2-a1=3-（-1）12.

所以an=6n-3-（-1）n4.

即S20=300.

評注對于數列的交叉遞推關系，我們一般利用已知的關系得到奇數項的遞推關系或偶數項的遞推關系，再結合已知數列的通項公式、求和公式等來求解，或者直接求通項公式，并項求和.此類問題的本質還是等差（比）數列問題.

關聯試題1（2019年天津卷文科18題）設an是等差數列，bn是等比數列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3 ，b3=4a2+3.

（1）求an和bn的通項公式;

（2）設數列cn滿足cn=1，n為奇數，bn2，n為偶數，求a1c1+a2c2+…+a2nc2nn∈N*.

關聯試題2（2020年天津卷19題）已知an為等差數列，bn為等比數列，a1=b1=1，a5=5a4-a3，b5=4b4-b3.

（1）求an和bn的通項公式;

（2）記an的前n項和為Sn，求證：SnSn+2<S2n+1n∈N*;

（3）對任意的正整數n，設cn=

3an-2bnanan+2，n為奇數，an-1bn+1，n為偶數.求數列cn的前2n項和.

3.5 數列與不等式

例5（2021年全國乙卷理）設an是首項為1的等比數列，數列bn滿足bn=nan3.已知a1，3a2，9a3成等差數列.

（1）求an和bn的通項公式;

（2）記Sn和Tn分別為an和bn的前n項和.證明：Tn<Sn2.

思路分析（1）利用等差數列的性質及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可;（2）利用公式法、錯位相減法求出Sn，Tn，則Tn-Sn2=34（1-13n）-n2×3n-34（1-13n）=-n2×3n<0，所以Tn<Sn2.

評注本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，其中證明不等式時采用作差法、作商法或者放縮法等，要根據式子的結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡得更為簡潔.

3.6 結構不良問題

例6（2021年全國甲卷理）已知數列an的各項均為正數，記Sn為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數列an是等差數列;

②數列Sn是等差數列;

③a2=3a1.

思路分析選①②作條件證明③時，可設出Sn，結合an，Sn的關系求出an，利用an是等差數列可證a2=3a1;選①③作條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出Sn，結合等差數列定義可證;選②③作條件證明①時，設出Sn=an+b（a>0），結合an，Sn的關系求出an，根據a2=3a1可求b，然后可證an是等差數列，方法類似例1.

評注這類題型在解答題中較為罕見，求解的關鍵是牢牢抓住已知條件，結合相關公式，逐步推演，等差數列的證明通常采用定義法、等差中項法或者函數法.

4 蘊含思想方法分析

數列在高中數學中蘊藏著豐富的數學思想方法，運用這些思想方法提出問題、分析問題和解決問題，可以強化學生對知識的理解，提高解題能力.

4.1 函數與方程思想

等差（比）數列基本量計算，即a1，n，d（q），an和Sn，運用“知一求二”，即建立方程求解;然而數列是定義域為正整數集或正整數集的子集上的函數，通過函數形式和函數思想，解決數列問題，主要表現在兩個方面：一是借助初等函數的性質，求值、解（證明）不等式、討論參數范圍問題;二是通過建立函數關系或者構造函數，把所研究的問題轉化至討論函數性質問題.

4.2 分類討論思想

數列中離不開分類討論思想，可以考查學生思維的嚴謹性和條理性.關鍵一是明確引起分類的原因;二是明確確定分類的標準或方法;三是注意分類結論的整合，有分有合、先分后合是分類討論的本質屬性.比如數列奇偶問題.

4.3 轉化與化歸思想

從復雜到簡單，從未知到已知，是解題思維必經之路.等價轉化就會顯得尤為重要，關鍵是如何轉化.常見的轉化類型通過換元、構造或者待定系數法等把復雜的數列轉化至熟悉的等差（比）數列，比如2021年乙卷理科19題，2019年新課標Ⅱ卷理科19題，2018年新課標Ⅰ卷文科17題.

4.4 數形結合思想

數形結合主要體現三個方面，一是以形助數，即借助直觀性闡述數之間的聯系;二是以數助形，即借助數的精確性闡述形的屬性;三是數形互助，即直觀與形的相互轉化，最終達到解決問題的目的.研究數列通項及其求和公式的函數特征，函數圖象，或者建立方程以及方程曲線，以此借助數形結合思想解決問題.比如2018年全國Ⅱ卷理科17題.

除了以上數學思想還會用到類比思想，比如等差（比）數列與指對函數性質類比;建模思想解決實際問題，如2019年全國Ⅱ卷理科21壓軸題;特殊與一般思想完成數學歸納法的推理與證明，如2020年新課標Ⅲ卷理科17題等.

5 教學建議

雖然近幾年數列在全國卷中難度不大，但是也要引起重視，因為浙江、北京卷等高考數列壓軸題居多，不排除難度增加的可能，畢竟導數和解析幾何壓軸已經很多年了，2021年數列題明顯一見清新，考查靈活，難度自然有所提升.數列基本量運算和等差（比）數列性質在選擇填空考查比較多，對于解答題備考需要注意：一是依據新課程標準要求對數列進行專題復習;二是回歸教材，注重數列中六類基本問題的生成和原理，特別是求通項公式和求和，并加強運算能力;三是加強思想和方法的理解，特別是講題講方法、講思想;四是加強用函數觀點思考數列問題;五是加強基本知識和方法的總結，方法靈活多變，但是萬變不離其宗，比如2021年乙卷;六是利用規律解決較為抽象復雜的數列問題.

參考文獻：

[1]

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

＼[2＼] 郭慧清，黎治國.2021年高考“數列”專題命題分析＼[J＼].中國數學教育，2021（Z4）：59-67.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：巨小鵬，陜西省漢中人，碩士，中學二級教師，從事數學教學研究.

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