2022屆高考模擬考試理科數學試題

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，時量120分鐘.滿分150分.

第Ⅰ卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.已知z∈C，z+|z-|=2+i，則z等于（）.

A. -34+iB. 34-iC. -34-iD. 34+i

2.設全集U=R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，則圖1中陰影部分表示的集合為（）.

A. {x|x≥1}B. {x|x≤1}

C. {x|0<x≤1}D. {x|1≤x<2}

3.有下列四個命題：

①x∈R，2x2-3x+4>0;

②x∈{1，-1，0}，2x+1>0;

③x0∈N，使x20≤x0;

④x0∈N*，使x0為29的約數.

其中真命題的個數為（）.

A. 1B. 2C. 3D. 4

4.已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f（x）-g（x）=x3-2x2，則f（2）+g（2）=（）.

A. 16B. -16C. 8D. -8

5.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，且A1E=23A1D，AF=13AC，則EF與C1D1所成角的余弦值為（）.

A. 39B. 66C. 33D. 63

6.現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（）.

A.每人都安排一項工作的不同方法數為54

B.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為A45C14

C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為（C35C12+C25C23）A33

D.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是C13C24A33+C23A33

7.將函數f（x）=cosx的圖象先向右平移56π個單位長度，再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的1ω（ω>0）倍，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）在（π2，3π2）上沒有零點，則ω的取值范圍是（）.

A. （0，29]∪[23，89]B. （0，29]

C. （0，29]∪[89，1]D. 0，1

8.如圖3是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區陜西師范大學以南.天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.某數學興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=60°，∠BCD=120°，據此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為（）（結果精確到1米）.

（參考數據：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A.39米B.43米C.49米D.53米

9.在區間[0，1]上隨機取兩個數x，y，記P為事件“x+y≤23”的概率，則P=（）.

A. 23B. 12C. 49D. 29

10.設函數f（x）=lnx+ax2-32x，若x=1是函數f（x）的極大值點，則函數f（x）的極小值為（）.

A.ln2-2B.ln2-1C.ln3-2D.ln3-1

11.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上有一點P，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓內一點Q在線段PF2的延長線上，且QF1⊥QP，sin∠F1PQ=513，則該橢圓離心率的取值范圍是（）.

A. 2626，1B. 15，53

C. 15，22D. 2626，22

12.已知大于1的三個實數a，b，c滿足（lga）2-2lgalgb+lgblgc=0，則a，b，c的大小關系不可能是（）.

A.a=b=cB. a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）.

13.若雙曲線的漸近線方程為y=±34x，則雙曲線的離心率為.

14.已知向量a=（-1，2），b=（m，1），若向量a+b與a垂直，則m=.

15.鳳山媽祖不僅是美麗汕尾的景點之一，更是漁民航海的方向標.一艘漁船向正北方向航行，在A處看到媽祖在北偏東30°方向.繼續航行了30海里到達B處，看到媽祖在北偏東75°方向.問B處與媽祖的距離是海里.

16.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中點分別為E，F，點P在平面BCC1B1內，作PQ⊥平面ACD1，垂足為點Q.當點P在△EFB1內（包含邊界）運動時，點Q的軌跡所組成的圖形的面積等于.

三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）為研究家庭收入和食品支出的關系，隨機抽取了10個家庭的樣本，得到數據見下表所示.10個家庭的月收入額與食品支出額數據（單位：百元）

家庭12345678910收入x20303340151326383543支出y7981154810

910

（1）恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.一個家庭或個人收入越少，用于購買生存性的食物的支出在家庭或個人收入中所占的比重就越大.對一個國家而言，一個國家越窮，每個國民的平均支出中用來購買食物的費用所占比例就越大.恩格爾系數達59%以上為貧困，50～59%為溫飽，40～50%為小康，30～40%為富裕，低于30%為最富裕.根據上述樣本數據，請估計這個國家達到最富裕（恩格爾系數<30%）的家庭比例;

（2）建立y（支出）關于x（收入）的回歸方程（系數精確到0.01，并解釋b^及a^現實生活意義.

參考數據：∑10i=1xi=293，∑10i=1yi=81，∑10i=1x2i=9577，

∑10i=1y2i=701，∑10i=1xiyi=2574.參考公式：回歸方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b^=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2，a^=y--b^x-.

18.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點E，F分別為CA1與AB的中點.

（1）證明：EF∥平面BCC1B1;

（2）求B1F與平面AEF所成角的正弦值.

19.（本小題滿分12分）已知正項數列an的前n項和為Sn，a1=1，S2n=a2n+1-λSn+1，其中λ為常數.

（1）證明：Sn+1=2Sn+λ;

（2）是否存在實數使得數列an為等比數列？若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

20.（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=2px（p>0），Q為C上一點且縱坐標為4，QP⊥y軸于點P，且|QP|=12|QF|，其中點F為拋物線的焦點.

（1）求拋物線C的方程;

（2）已知點M（12，-2），A，B是拋物線C上不同的兩點，且滿足kAM+kBM=-85，證明直線AB恒過定點，并求出定點的坐標.

21.（本小題滿分12分）已知函數f（x）=ex-

ln（x+t）+t.

（1）若x=0是f（x）的極值點，且f（x）-k≥0在定義域內恒成立，求k的取值范圍;

（2）當t≤2時，證明：f（x）>t.

請考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號.

22.（本小題滿分10分）已知平面直角坐標系中，曲線C：x2+y2-6x-8y=0，直線l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系.

（1）寫出曲線C的參數方程以及直線l1，l2的極坐標方程;

（2）若直線l1與曲線C分別交于O，A兩點，直線l2與曲線C分別交于O，B兩點，求△AOB的

面積.

23.（本小題滿分10分）已知函數fx=x-1a+x+a，a>0.

（1）若a=2，求不等式fx≤3的解集;

（2）若關于x的不等式fx>4恒成立，求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A

8.D9.D10.A11.D12.D

二、填空題

13.54或53

14.715.15216.312

三、解答題

17.（1）由題意可知，

10個家庭的恩格爾系數見下表所示：

家庭 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 恩格爾系數/%35 3024.24 27.5 33.33 30.77 30.77 26.32 25.71 23.26

所以這個國家達到最富裕的家庭有5個，估計這個國家達到最富裕的家庭比例為510=12.

（2）x-=∑10i=1xi10=29310=29.3，y-=∑10i=1yi10=8110=8.1，

所以b^=∑10i=1（xi-x-）（yi-y-）∑10i=1（xi-x-）2=∑10i=1xiyi-∑10i=1xiy--∑10i=1yix-+10x-y-∑10i=1x2i-2x-∑10i=1xi+10x-2=2574-293×8.1-81×29.3+10×29.3×8.19577-2×29.3×293+10×29.32≈0.20.

a^=y--b^x-=8.1-0.20×29.3=2.24，所以y關于x的回歸方程為y^=0.20x+2.24.b^的現實意義為收入每增加1百元，估計支出增加的值;

a^的現實意義為用于購買生存性的食物的最少支出.

18.如圖4，連接AC1，BC1.

因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點.

又因為F為AB的中點，所以EF∥BC1.

又EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

所以EF∥平面BCC1B1.

2以點A1為原點建立如圖3所示的空間直角坐標系A1-xyz.

則A（0，0，6），B1（0，4，0），E（2，0，3），F（0，2，6）.

所以B1F=（0，-2，6），AE=（2，0，-3），AF=（0，2，0）.

設平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則n·AE=2x-3z=0，

n·AF=2y=0.

令x=3，得n=（3，0，2）.

記B1F與平面AEF所成角為θ，則

sinθ=|cos<B1F·n>|=|B1F·n

|B1F|·|n|=313065.

19.1因為an+1=Sn+1-Sn，S2n=a2n+1-λSn+1，

所以S2n=（Sn+1-Sn）2-λSn+1.

所以Sn+1（Sn+1-2Sn-λ）=0.

因為an>0，所以Sn+1>0.

所以Sn+1-2Sn-λ=0.

所以Sn+1=2Sn+λ.

2因為Sn+1=2Sn+λ，Sn=2Sn-1+λ（n≥2），

相減，得an+1=2an（n≥2）.

所以{an}從第二項起成等比數列.

因為S2=2S1+λ，即a2+a1=2a1+λ.

所以a2=1+λ>0，得λ>-1.

所以an=1，n=1，（λ+1）2n-2，n≥2.

若使an是等比數列，

則a1a3=a22，即2（λ+1）=（λ+1）2.

解得λ=1，經檢驗，符合題意.

故存在λ=1，使得數列an為等比數列.

20.1設點Q（x0，4），由拋物線的定義可得|QF|=x0+p2.又QP⊥y軸于點P，且|QP|=

12|QF|，所以|QF|=2x0，即x0+p2=2x0，所以x0=p2.

又點Q（x0，4）在拋物線上，所以42=p2，p>0，解得p=4，所以拋物線的方程為y2=8x.

2由1可知，M（12，-2）在拋物線上，設直線AB的方程為x=my+n，點A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+n，y2=8x，得y2-8my-8n=0.

故y1+y2=8m，y1y2=-8n.

所以kAM+kBM=y1+2x1-12+y2+2x2-12

=y1+2y218-12+y2+2y228-12

=8y1-2+8y2-2

=8（y1+y2）-32y1y2-2（y1+y2）+4

=64m-32-8n-16m+4=-85.

解得n=3m-2，所以直線AB的方程為x+2=m（y+3），恒過定點（-2，-3）.

21.（1）因為f（x）=ex-ln（x+t）+t，所以f ′x=ex-1x+t.

因為x=0是f（x）的極值點，

所以f ′0=e0-1t=1-1t=0，解得t=1，經檢驗t=1符合題意，此時函數f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定義域為（-1，+∞）.因為f ′（x）=ex-1x+1=ex（x+1）-1x+1，

設g（x）=ex（x+1）-1，則

g′（x）=ex（x+1）+ex>0，

所以g（x）在（-1，+∞）上單調遞增.

又因為g（0）=0，所以當x>0時，g（x）>0.即f ′（x）>0.

當-1<x<0時，g（x）<0，f ′（x）<0，所以f（x）在（-1，0）上單調遞減.在（0，+∞）單調遞增.

因此f（x）的最小值為f（0）=2.

因為f（x）-k≥0在定義域內恒成立，

所以k≤fxmin=2，即k≤2.

2要證f（x）=ex-ln（x+t）+t>t，即證ex-ln>（x+t）>0.

設F（x）=ex-ln（x+t），即證F（x）>0.當t≤2，x∈（-t，+∞）時，

ln（x+t）≤ln（x+2），

故只需證明當t=2時，F（x）>0.當t=2時，函數F′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上

單調遞增，且F′（-1）<0，F′（0）>0.

故F′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實數根x0，且x0∈（-1，0）.當x∈（-2，x0）時，F′（x）<0，F（x）單調遞減，

當∈（x0，+∞）時，F′（x）>0，F（x）單調遞增，

從而當x=x0時，F（x）取得最小值.

由F′（x0）=0，得ex0=1x0+2，lnx0+2=-x0.

故F（x）≥F（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

綜上，當t≤2時，F（x）>0，即f（x）>t.

22.1依題意，曲線C：（x-3）2+（y-4）2=25.

所以曲線C的參數方程是x=3+5cosαy=4+5sinα（α為參數）.

因為直線l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，

所以l1，l2的極坐標方程為l1：θ=π6（ρ∈R），l2：θ=π3（ρ∈R）.

（2）因為曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入

得ρ1=4+33.

所以A（4+33，π6）.

把θ=π3代入，得ρ2=3+43.所以B（3+43，π3）.

所以S△AOB=12ρ1ρ2sin∠AOB=12（4+33）（3+43）sin（π3-π6）=12+2534.

23.（1）a=2時，不等式為|x-12|+|x+2|≤3，

當x≤-2時，不等式化為-x+12-x-2≤3，解得x≥-94，此時-94≤x≤-2.

當-2<x<12時，不等式化為52≤3恒成立，此時-2<x<12.

當x≥12時，不等式化為x-12+x+2≤3，解得x≤34，此時12≤x≤34.

綜上，不等式的解集為[-94，34].

（2）因為f（x）=|x-1a|+|x+a|≥|（x+a）-（x-1a）|=|a+1a|，

f（x）>4fxmin>4，

所以|a+1a|>4.

又因為a>0，所以a+1a>4.解得0<a<2-3或a>2+3.即a的取值范圍是

（0，2-3）∪（2，+3，+∞）.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學正高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]