孔隙內填充單一固體的固-固孔隙介質中的聲波傳播*

劉琳 張秀梅? 王秀明

1)(中國科學院聲學研究所,聲場聲信息國家重點實驗室,北京 100190)

2)(中國科學院大學,北京 100149)

3)(中國科學院聲學研究所,北京市海洋深部鉆探研究中心,北京 100190)

連通孔隙空間被有別于骨架固體的另一種固相介質充填而形成的雙組分連通固體孔隙介質,簡稱固-固孔隙介質.推導出了固-固孔隙介質的聲波動力學方程和本構關系,利用平面波分析的方法研究了各種波的頻散和衰減特性.在此基礎上,提出了基于一階速度-應力方程的時間分裂的高階交錯網格有限差分算法,對其中的聲場演化特點進行了模擬計算,分析了各種波的產生機制和能量分布,并詳細討論了兩種固體間的摩擦系數和聲源頻率對各種波傳播特性的影響.數值模擬表明:固-固孔隙介質中存在兩種縱波(P1 和P2)和兩種橫波(S1 和S2),其中P1 和S1 波能量主要在骨架固體中傳播;P2 和S2 波是骨架固體和孔隙固體之間相對運動產生的慢波,能量主要在孔隙固體中傳播.固體骨架和孔隙固體之間的摩擦主要影響慢波(P2和S2)的衰減,且低頻時衰減大于高頻.

1 引言

Biot[1?4]于二十世紀五六十年代首次提出流體飽和孔隙介質的彈性波傳播理論,奠定了孔隙介質聲學的基礎.Biot 理論預言了在流體飽和孔隙介質中存在著兩類縱波(快縱波和慢縱波)和一類橫波.Plona[5]從實驗室中觀測到Biot 理論中預言的慢縱波,從而推動了對Biot 理論的進一步研究和應用[6?8].自Biot 理論建立以來,多相孔隙介質理論及其波動問題得到了廣泛而持續的研究[9?13].當流-固孔隙介質中的流體相被另一種固體替代時,固體填滿整個孔隙空間,就形成了固-固孔隙介質,例如,在能源勘探開發領域,地下石油與天然氣儲層是典型的由固體顆粒骨架和內部孔隙空間組成的多孔介質,儲層中懸浮著可隨孔隙流體自由運移的顆粒,并會發生聚集,進一步可能會完全填充原有的孔隙空間形成固-固孔隙介質[14,15];在天然氣水合物的開采中,孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲層也可以看成是固-固孔隙介質.其次,在聲學壓電材料的研究中,由壓電材料及聚合物構成的雙固體壓電復合材料可以提高材料的機械性能以及電性能,其構成包含兩種規則或者不規則分布的孔隙壓電介質[16,17].此外,在醫學領域,骨質骨中的骨松質結構疏松,孔隙中存在骨髓,可以看成是具有孔隙結構的介質,孔隙中的骨髓應該看作是剪切模量很小的軟組織.為此,研究固-固孔隙介質中的聲波傳播機理和規律具有重要意義.

自Biot 理論建立以來,國內外學者對孔隙介質中波的傳播規律的數值模擬研究有了較大進展.Zhu 和McMechan[18]利用以位移表述的有限差分算法模擬了非均勻孔隙彈性介質中聲波的傳播.Dai 等[19]提出了用于模擬孔隙介質聲波傳播的速度-應力有限差分算法.Carcione 等[20]利用解析式分析了孔隙度、滲透率、黏滯性等對聲波的影響特點.Atalla 等[21,22]利用基于Biot 理論的有限元法模擬了孔隙介質聲波的傳播.杜啟振等[23]采用偽譜法正演模擬了各向異性黏彈性孔隙介質地震波,并對其波場特征進行了分析.王秀明等[6]利用高階交錯網格有限差分算法模擬了波在非均勻孔隙介質中的傳播.在此基礎上,趙海波等[24]基于Santos理論[25]發展了方程存在剛性部分情況下的時間分裂[20]的高階交錯網格有限差分法,解決了方程存在剛性的問題,清楚地展示了不飽和孔隙介質中存在的三類縱波和一類橫波.為了研究孔隙中填充一種固體和一種流體的孔隙介質中彈性波傳播規律,Carcione 和Seriani[26]利用偽譜法模擬出冷凍多孔介質(凍土或永凍土)的波場,指出該孔隙介質中存在三種縱波和兩種橫波,但其數值計算的聲場存在一定程度的頻散,不能清晰地展示每種波的傳播和相互作用情況.Gao 等[27,28]使用變階數時域有限差分模擬孔隙彈性方程.Zhan 等[29]使用間斷有限元模擬孔隙彈性波動方程.劉琳等[30]基于Carcione 理論[26]利用時間分裂的高階交錯網格有限差分法模擬了彈性波在孔隙中填充一種固體和一種流體的孔隙介質中的傳播,清楚地顯示出該類孔隙介質中存在的5 種波.以上工作表明,針對多相孔隙介質中聲波傳播問題目前已經開展了較多工作,然而對于固-固孔隙介質中的聲波傳播規律認識較少.因此,開展聲波在固-固孔隙介質中的傳播研究,是進一步進行相關的實際應用的物理基礎.

本文首先根據動能密度、勢能密度和耗散勢函數,結合Lagrange 方程得到固-固孔隙介質動力學方程和本構關系.在此基礎上,利用平面波分析的方法研究了各種波的頻散和衰減特性.研究聲波在孔隙介質中的傳播過程,必須進行數值模擬,有限差分法是進行聲波數值模擬的有效手段.孔隙介質中各部分之間的相對運動會產生一定的摩擦.由于摩擦系數的存在,其運動方程傳播矩陣的特征值差別很大,在此情況下,方程被稱之為剛性方程.可以利用時間分裂法解決方程的剛性問題[20,24,30,31].因此,利用時間分裂的交錯網格有限差分法可以實現對孔隙介質波場的高精度數值模擬.本文根據一階速度-應力方程,構建了時間分裂的高階交錯網格有限差分算法.以孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲層為例,對該類介質中的波場進行了高精度的數值模擬,得到了波場快照圖以及質點振動速度時間變化曲線,分析了各類波的能量分布與傳播特征.基于此,研究了骨架固體和填充固體之間的摩擦系數和頻率對聲波傳播特征的影響.

2 固-固孔隙介質聲傳播理論

當流體飽和孔隙介質中的流體相被另一種固體替代時,就形成了由兩種固體組成的固-固孔隙介質,且固體骨架和孔隙固體之間存在相對運動.假設孔隙均勻分布,其尺度遠小于聲波波長.根據Biot 理論[1?4],孔隙介質的一階速度-應力方程可根據其動能密度、勢能密度以及耗散能密度結合Lagrange 定理得到.與Biot 理論描述的雙相介質中的動能密度[1?4]類似,孔隙中填充一種固體的固-固孔隙介質的動能密度可以表示為

式中,上角標1 和2 分別表示骨架固體和填充固體,ρ11和ρ22分別為骨架固體和填充固體的有效質量密度,ρ12為兩種固體的耦合質量密度,和分別表示骨架固體和填充固體的質點振動位移分量.

骨架固體和填充固體間的相對運動會導致能量的耗散,耗散力表現為兩種固體之間的相互摩擦作用力,可以近似成運動速度差的一次函數.耗散力是一種特殊的非保守力,可由顯含速度的勢函數給出[32].對于各向同性介質,固-固孔隙介質中的耗散勢D可以用Biot 理論中對飽和流體孔隙介質中耗散函數的描述來表示[1?4]:

式中,b12為兩種固體之間的摩擦系數.根據流體飽和孔隙介質中骨架固體與孔隙流體之間的摩擦系數以及Berryman 和Wang[33]對阻力系數的定義,Guerin 和Goldberg[34]給出了兩固一流孔隙介質中固體骨架和孔隙固體間的摩擦系數.在此基礎上,定義固-固孔隙介質中兩種固體之間的摩擦系數為

固-固孔隙介質的勢能密度V只與固體骨架的應變張量和孔隙固體的應變張量有關.忽略二階以上的項,其Taylor 展開可以表示為

由固體骨架勢能密度、孔隙固體勢能密度以及二者耦合的勢能密度項構成,其中,m=1,2.Leclaire 等[32]對孔隙中填充一種固體和一種流體的孔隙介質勢能密度的描述忽略了固體骨架與孔隙固體之間的接觸.考慮到固體骨架與孔隙固體之間的接觸,可以得到固-固孔隙介質的勢能密度為

式中,K1和K2分別是骨架固體和填充固體的體積模量,μ1和μ2分別是骨架固體和填充固體的剪切模量,C12是骨架固體和填充固體的彈性耦合系數,μ12是由于骨架固體和填充固體耦合形成的剪切模量,θm和dm為應變張量的不變量.θm=,,其中δ是克羅內克符號.由于應力分量可以表示為

因此可以得到固-固孔隙介質的本構方程為

固-固孔隙介質的運動方程可以由Hamilton原理得到.對于保守系統的Lagrange 密度可以表示為

可以用基于Hamilton 最小作用原理的Lagrange方程來描述保守系統的運動.帶耗散勢的以位移為廣義坐標的Lagrange 方程[1,9,32]可以寫成:

式中上標m=1,2 分別表示骨架固體和填充固體.由于動能密度是速度的函數,勢能密度是應變的函數,因此可以得到

將動能密度、勢能密度和耗散勢函數代入Lagrange方程中可以得到固-固孔隙介質的運動方程為

將(7a)—(7f)式代入到(11a)式和(11b)式中,可以得到

式中,ρ,b,R和μ分別為質量密度、摩擦系數、剛度和剪切模量矩陣:

其中,

這里,c1和c2分別代表骨架固體和孔隙固體骨架的固結系數,具體表示見附錄A .將(12)式分別進行梯度和散度運算,得到縱橫波的運動方程為

縱波和橫波的位移勢函數分別為

式中,A(1)和A(2)分別為固體骨架和孔隙固體縱波勢函數振幅分量,B(1)和B(2)分別為固體骨架和孔隙固體橫波勢函數振幅分量,kP和kS分別表示縱波和橫波波矢量.將縱波和橫波的位移勢函數分別代入縱橫波運動方程(15)中得到

由于固體骨架和孔隙固體勢函數振幅存在非零解,因此可以得到縱波和橫波的頻散方程為

縱橫波的傳播系數和衰減因子分別為

用來評價衰減的逆品質因子可以表示為

式中j=P1,P2,S1 和S2.

3 數值算法

本文采用基于時間分裂的高階交錯網格有限差分法實現對固-固孔隙介質波場的模擬.分裂法[20,24,30,31]是將運動方程分為剛性和非剛性兩部分,剛性部分可以得到解析解,將剛性部分得到的解析解作為初始值輸入到方程的非剛性部分,再使用交錯網格有限差分算法求解.

將方程(11a)和(11b)兩邊對時間求導,在二維情況下為

將運動方程(11a)和(11b)寫成如下矩陣形式:

式中,

這樣得到了如下速度-應力關系的運動平衡方程,該表述方式有利于之后的數值模擬算法的建立,即:

式中γij和Π=ij分別為矩陣γ和Π中元素.

(24a)—(24f)式,(26a)式和(26b)式構成了兩種固體組成的固-固孔隙介質中彈性波在二維平面內傳播的一階速度-應力方程組.

將方程(25)的剛性部分寫成如下矩陣形式:

其中S=.在二維平面內,剛性方程(25)的解析解為

可利用Sylvester 公式求取 exp(SΔt),即

式中λ為矩陣S的特征值,λ=b12(γ12?γ11+γ21?γ22).

方程(25)中非剛性部分寫成如下矩陣形式:

式中B=.

定義中間過渡向量V′=,作為初始量輸入到方程非剛性部分.過渡向量中質點振動速度為剛性部分解析解.二維情況下非剛性部分的交錯網格有限差分形式為(以固體顆粒骨架為例)

式中Dx和Dz表示離散化的微分算子,以x方向的差分算子Dx作用于為例,表示為

其中L為差分算子的長度,本文中L=4,即采用空間階數為8 的高階交錯網格有限差分算法.二維情況下各場量在交錯網格有限差分法中的位置分布如圖1 所示.

圖1 各場量在交錯網格有限差分法中的位置分布Fig.1.Distribution of the field components in the staggeredgrid finite-difference algorithm.

4 數值模擬

本節以孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲層為例,首先求解固-固孔隙介質頻散方程,分析各種波的相速度和衰減與頻率的關系.其次,將時間分裂的有限差分算法運用到孔隙中填充固體的固-固孔隙介質中的聲波數值模擬中,討論了各種波的產生機制,分析了多孔介質中波的能量分布與傳播特征,研究了兩種固體之間的摩擦系數和頻率對聲波傳播特性的影響.

4.1 傳播特性分析

現針對一個均勻的孔隙中充滿固體的固-固孔隙介質模型(以孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲層為例),兩種固體之間存在耦合.模型的物性參數見表1[34].

表1 模型物性參數表Table 1. Physical parameters of different phases.

通過求解縱橫波頻散方程(19)和(20)得到固-固孔隙介質中存在兩種縱波和兩種橫波:第一類縱波(P1)、第二類縱波(P2)、第一類橫波(S1)和第二類橫波(S2).在此基礎上進一步計算出各種波相速度和衰減.圖2(a)—(d)分析了體波的相速度和衰減與頻率的關系.從圖2(a)和圖2(b)可以看出,P1 和S1 波的速度隨頻率增大有微小的變化,這一變化是由固體骨架和孔隙固體之間的摩擦系數引起的,且影響程度與頻率有關.P1 和S1 波的衰減較小,隨頻率的增大先增大后減小,存在衰減峰.從圖2(c)和圖2(d)可以發現,P2 和S2 波的速度在低頻時隨頻率的增大而增大,其衰減遠大于兩種快波的衰減.另外,由于兩種慢波的衰減主要受固體骨架和孔隙固體之間的摩擦影響,因此兩種慢波的衰減隨頻率的增大而減小.結合頻散方程可以發現,固-固孔隙介質體波傳播特性與兩種固體之間的摩擦系數參考值和頻率之比有關,且兩種慢波高頻時衰減比低頻情況下小.

圖2 相速度和衰減隨頻率的變化曲線 (φ=0.3,=2.2×108)(a) P1 波;(b) S1 波;(c) P2 波;(d) S2波Fig.2.Effects of frequency on the phase velocities and attenuation of waves (φ=0.3,=2.2×108):(a) P1;(b) S1;(c) P2;(d) S2.

為了進一步研究各種波的傳播特性,以天然氣水合物儲層為例,利用時間分裂的有限差分法模擬了波在固-固孔隙介質中的傳播.此時假設兩種固體之間的摩擦系數b12=0 .在二維x-z平面內,取x軸正方向水平向右,z軸正方向垂直向下.選用模型網格大小為1600×1600,模型x方向和z方向空間步長均為2 m,時間步長為0.4×10–3s.模型的物性參數如表1[34]所列.聲源位于模型中心位置(1600 m,1600 m)處.數值模擬時選用雷克子波作為聲源函數,其時域形式為

式中,f0為聲源主頻,f0=20 Hz.聲源能量按比例分配到骨架和孔隙固體質點振動速度水平方向分量上,具體形式為

圖3 顯示了0.45 s 時刻的質點振動速度水平和垂直分量的波場快照圖,圖3(a)—(d)的幅度顯示比例為1∶1,分別對應于骨架固體質點振動速度水平分量、填充固體質點振動速度水平分量、骨架固體質點振動速度垂直分量和填充固體質點振動速度垂直分量質點的情況.在圖中可以清晰地觀察到4 種體波,從外到內依次為P1,S1,P2 和S2 波.為了進一步分析各種波的產生機制,圖4 分別計算和分析了骨架固體和孔隙固體的質點振動速度水平分量歸一化的波形.模型以及參數與圖3 選用模型和參數一致,接收點位于(200 m,2600 m)位置處.其中藍色實線和紅色虛線分別表示骨架固體和填充固體傳播的波形.從圖4 可以觀察到,P1 和S1 波在骨架固體質點振動速度波形中幅度最大,骨架固體和填充固體質點運動同相.P2 和S2 波在填充固體質點振動速度波形中幅度最大,骨架固體和填充固體質點運動反相.類似于Biot理論中由于骨架固體與孔隙流體相對運動產生的慢縱波,P2 波和S2 波分別是由于骨架固體和填充固體之間相對運動產生的慢縱波和慢橫波.

圖3 頻率為20 Hz 且 b12=0 時,0.45 s 時刻質點振動速度水平及垂直分量波場快照 (a) 骨架固體質點振動速度水平分量;(b) 填充固體質點振動速度水平分量;(c) 骨架固體質點振動速度垂直分量;(d) 填充固體質點振動速度垂直分量Fig.3.Snapshots of the (a),(b) horizontal and (c),(d) vertical particle velocity component of (a),(c) solid grain frame and (b),(d) pore solid when the frequency is 20 Hz and b12=0 at 0.45 s.

圖4 頻率為20 Hz 且 b12=0 時,各相質點振動速度水平分量的波形Fig.4.Waveform comparisons of the horizontal particle velocity component between different phases when the frequency is 20 Hz and b12=0 (normalized).

4.2 參數影響

多相孔隙介質中孔隙中固體或流體與固體顆粒骨架的摩擦會使慢波發生衰減.對于固-固孔隙介質,分析了兩種固體間的摩擦系數對各種波傳播的影響.圖5(a)和圖5(b)分別為0.45 s 時刻兩種介質之間存在摩擦時(=2.2×108)骨架固體和填充固體的質點振動速度水平分量的波場快照,圖5(a)和圖5(b)的幅度顯示比例為1∶1.圖6 顯示了兩種介質之間存在摩擦時骨架固體和填充固體質點振動速度水平分量的波形情況.從圖5 和圖6 可以看出,兩種介質之間存在摩擦時骨架固體和填充固體中都已經完全觀察不到P2 和S2 波.說明兩種固體之間的摩擦對P2 和S2 波的衰減作用非常明顯.由于P2 和S2 波的能量主要在填充固體中傳播,骨架固體和填充固體之間的摩擦使P2 與S2 波衰減,導致存在摩擦時填充固體質點振動速度水平及垂直分量波場快照與骨架固體相同.

圖5 頻率為20 Hz 且=2.2×108 時,0.45 s 時刻質點振動速度水平分量波場快照 (a) 骨架固體;(b) 填充固體Fig.5.Snapshots of the horizontal particle velocity component when the frequency is 20 Hz and =2.2×108 at 0.45 s:(a) Solid grain frame;(b) pore solid.

圖6 頻率為20 Hz 且=2.2×108 時,各相質點振動速度水平分量的波形Fig.6.Waveform comparisons of the horizontal particle velocity component between different phases when the frequency is 20 Hz and =2.2×108 (normalized).

圖7 頻率為20 Hz 時,=0 和=2.2×108 兩種情況下各相質點振動速度水平分量的波形 (a) 骨架固體;(b) 填充固體Fig.7.Waveforms of the horizontal velocity component of each phase when =0 and =2.2×108 (the frequency is 20 Hz):(a) Solid grain frame;(b) pore solid.

孔隙介質中波的傳播速度和衰減與頻率有關.地震和聲波測井是和水合物開發有關的兩個重要手段,為了說明不同頻率下兩種固體之間的摩擦系數b12對波的傳播特性的影響,本文還研究了聲源頻率為10 kHz(聲波測井典型頻率)的情況下b12對各種波傳播速度和衰減的影響.現針對一個均勻的孔隙中充滿固體的固-固孔隙介質模型,兩種固體之間存在耦合.在二維x-z平面內,取x軸正方向水平向右,z軸正方向垂直向下.選用模型網格大小為800 × 800,模型x方向和z方向空間步長均為0.005 m,時間步長為2×10–7s.模型的物性參數見表1.計算時選用的雷克子波聲源主頻為10 kHz,聲源位于模型中心位置處(對應x和z的網格點坐標分別為400 和400),接收點位于模型網格(100,780)位置處.圖8 顯示了頻率為10 kHz時,=0 和=2.2×108兩種情況下骨架固體和填充固體質點振動速度水平分量的波形.從圖8可以看出,兩種固體間摩擦系數的存在使P2 和S2 波均產生一定程度的衰減,但衰減比低頻情況小得多(與圖7 相比).此分析進一步證明了高頻情況下摩擦系數對P2 和S2 波的衰減作用比低頻情況小的多這一特性.

圖8 頻率為10 kHz 時,=0 和 =2.2×108 兩種情況下各相質點振動速度水平分量的波形 (a) 骨架固體;(b) 孔隙固體Fig.8.Waveforms of the horizontal velocity component of each phase when =0 and =2.2×108 (the frequency is 10 kHz):(a) Solid grain frame;(b) pore solid.

5 結論

1)為了描述孔隙中填充一種固體的固-固孔隙介質中波的傳播特性,本文由動能密度、勢能密度以及耗散勢函數出發,結合Lagrange 方程建立固-固孔隙介質的基本聲學理論;2) 本文利用平面波分析的方法研究了固-固孔隙介質中各種波的傳播特性,分析了兩種縱波(P1 和P2 波)和兩種橫波(S1 和S2 波)的頻散和衰減特性,得到P2 和S2波在低頻時頻散,且衰減比P1 和S1 波大得多,兩種慢波的衰減隨頻率的增大而減小;3) 本文利用分裂法解決方程中的剛性問題,結合高階交錯網格有限差分法,提出了適用于固-固孔隙介質的時間分裂的高階交錯網格有限差分算法,模擬了聲波在固-固孔隙介質中的傳播.P1和S1 波的能量主要集中在骨架固體中,P2 和S2 波類似于Biot 理論中的慢縱波,是由于骨架固體和填充固體間的相對運動產生,能量主要在孔隙固體中傳播;4) 本文研究了兩種固體間摩擦系數和頻率對各種波傳播特性的影響.摩擦系數b12對P1 和S1 波的傳播速度和幅度幾乎無影響,主要影響P2 和S2 波的衰減.這就是在實際情況下很難觀測到慢波的原因,但由于慢波也攜帶了一部分能量,在研究聲波在介質中能量的衰減時是不能忽略的.聲源的頻率對激發模式的影響主要體現在幅度上,高頻情況下摩擦系數對P2 和S2 波的幅度衰減較低頻情況小的多.

本文的研究成果主要針對天然氣水合物的特殊填充情況,顯然本文方法可以推廣到其他的固-固孔隙介質中的聲波傳播研究中.

附錄A 物理量的表示及意義[26,35]

固體骨架有效質量密度:ρ11=a12(1?φ)ρs+(a21?1)φρps,其中下標s,ps 分別代表固體骨架和孔隙固體;

孔隙固體有效質量密度:ρ22=a21φρps+(a12?1)(1?φ)ρs;

兩種固體耦合質量密度:ρ12=?(a12?1)(1?φ)ρs?(a21?1)φρps;

固體骨架通過孔隙固體的彎曲度:a12=1+r12φ[(1?φ)ρs+φρps]/(1?φ)ρs;

孔隙固體通過固體骨架的彎曲度:a21=1+r21(1?φ)[(1?φ)ρs+φρps]/φρps,其中a12和a21為彎曲度量級的慣性阻力參數,r12和r21表示骨架固體和孔隙固體邊界的幾何特征,對于球形顆粒r12=1/2[1,26,32].

固體骨架有效體積模量:K1=[(1?c1)(1?φ)]2Kav+Ksm,其中Ksm為固體骨架體積模量;

孔隙固體有效體積模量:K3=[(1?c2)φ]2Kav+Kpsm,其中Kpsm為孔隙固體骨架體積模量;

固體骨架有效剪切模量:μ1=[(1?g1)(1?φ)]2μav+μsm,其中μsm為固體骨架剪切模量;

孔隙固體有效體積模量:μ3=[(1?g2)φ]2μav+μpsm,其中μpsm為孔隙固體骨架剪切模量;

兩種固體間耦合剪切模量:μ12=(1?g1)(1?g2)μav;

平均體積模量:Kav=[(1?c1)(1?φ)/Ks+(1?c2)φ/Kps]?1,其中Ks和Kps分別為固體骨架和孔隙固體的體積模量;

平均剪切模量:μav=[(1?g1)(1?φ)/μs+(1?g2)φ/μps]?1,其中μs和μps分別為固體骨架和孔隙固體的剪切模量;

固結系數:c1=Ksm/(1?φ)Ks,g1=μsm/(1?φ)μs,c2=Kpsm/φKps,g2=μpsm/φμps.