信息化手段在“數(shù)值分析方法”教學(xué)中的應(yīng)用探索

謝冰 魯興舉

[關(guān)鍵詞] 數(shù)值分析;信息化教學(xué);應(yīng)用探索

[作者簡(jiǎn)介] 謝 冰（1982—），女，湖南懷化人，博士，國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院自動(dòng)化系講師，主要從事多智能體系統(tǒng)和合作博弈研究;魯興舉（1977—），男，河南羅山人，博士，國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院自動(dòng)化系副研究員，主要從事精確制導(dǎo)技術(shù)研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G641 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-9324（2022）17-0157-04 [收稿日期] 2021-11-02

“數(shù)值分析”課程具有概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的正確性三大特征，同時(shí)具有很強(qiáng)的實(shí)用性及實(shí)踐性，被廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。不僅物理專(zhuān)業(yè)、化學(xué)專(zhuān)業(yè)、計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)等理工科專(zhuān)業(yè)對(duì)“數(shù)值分析”課程有非常嚴(yán)格的要求，一些經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)也開(kāi)設(shè)了“數(shù)值分析”課程，比如風(fēng)險(xiǎn)投資專(zhuān)業(yè)及財(cái)務(wù)管理專(zhuān)業(yè)等。“數(shù)值分析”課程是一門(mén)基礎(chǔ)類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程，學(xué)生對(duì)于這門(mén)課程的掌握程度將直接影響其后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的掌握程度，是本科教育中非常重要的一門(mén)課程。

然而在“數(shù)值分析”課程的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中依然存在不少問(wèn)題，比如課程難度系數(shù)大、內(nèi)容相對(duì)枯燥、知識(shí)點(diǎn)離散缺乏連貫性和公式復(fù)雜難記[1]。同時(shí)由于課程開(kāi)設(shè)時(shí)間一般在大二，早于大多數(shù)專(zhuān)業(yè)類(lèi)課程，學(xué)生對(duì)于數(shù)值分析方法缺少應(yīng)用場(chǎng)景，難以理解原理并掌握。針對(duì)這些問(wèn)題，如何利用信息化手段完善授課方式和增加教學(xué)手段，以期增加課堂的趣味性和直觀性，將知識(shí)點(diǎn)清晰明了地傳導(dǎo)給學(xué)生，是信息化網(wǎng)絡(luò)時(shí)代“數(shù)值分析”課程教學(xué)模式改革的一種非常有價(jià)值的探索[2]。

一、“數(shù)值分析”課程教學(xué)中面臨的困境

（一）內(nèi)容多、課時(shí)少

在本科生教學(xué)安排中，“數(shù)值分析”課程需要講授數(shù)值逼近和數(shù)值代數(shù)兩大模塊，涉及的算法多，知識(shí)內(nèi)容包括插值（涉及插值法的一般理論、拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值、埃爾米特插值和樣條插值等）、回歸分析（涉及數(shù)據(jù)描述性分析、一元線性回歸分析、一元二次回歸分析、一元多項(xiàng)式回歸分析和多元回歸分析）;數(shù)值積分和數(shù)值微分，其中數(shù)值積分涉及機(jī)械求積方法、Newton-Cotes方法和復(fù)合求積方法，數(shù)值微分涉及中點(diǎn)方法、插值方法和積分方法;線性方程組的求解，包括高斯算法、三角分解法和迭代法;非線性方程的求根，涉及二分法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法、弦截法、牛頓法和迭代法收斂性分析。在課堂上要向?qū)W生講授涉及的全部算法，并將知識(shí)點(diǎn)講解到位，公式推導(dǎo)過(guò)程講解清楚，因此時(shí)間緊迫且難度大。

（二）內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，知識(shí)點(diǎn)之間缺少連貫性

數(shù)值分析算法通常在課堂上會(huì)講授插值、回歸分析、數(shù)值微分與數(shù)值積分、線性方程組求解和非線性方程組求根這五大塊內(nèi)容，每一章之間的內(nèi)容關(guān)聯(lián)性小，前面章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的掌握并不能為后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的掌握奠定理論基礎(chǔ)，反而在講授課程中因?yàn)閷W(xué)生缺乏應(yīng)用理解，導(dǎo)致理解和應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)有難度。

（三）學(xué)生缺少應(yīng)用認(rèn)識(shí)，對(duì)課程內(nèi)容理解有困難

“數(shù)值分析方法”課程作為一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，通常開(kāi)設(shè)于大二，在很多專(zhuān)業(yè)課程開(kāi)設(shè)之前，這就導(dǎo)致學(xué)生在還沒(méi)有了解“數(shù)值分析”課程在自己所學(xué)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的具體應(yīng)用時(shí)，就直接進(jìn)行方法講授，因此缺少對(duì)“數(shù)值分析方法”課程的應(yīng)用認(rèn)知，在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)“一頭霧水”的狀態(tài)，對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)理解起來(lái)有難度，可能會(huì)出現(xiàn)死記硬背公式考試成績(jī)不錯(cuò)，但對(duì)數(shù)值分析算法設(shè)計(jì)思想缺少整體認(rèn)識(shí)，不能靈活應(yīng)用所掌握的數(shù)值分析方法，也不能對(duì)所學(xué)的數(shù)值分析方法舉一反三。

（四）學(xué)生課業(yè)繁重，課程內(nèi)容偏枯燥，缺少趣味性和求知欲

授課對(duì)象大多是大二學(xué)生，他們正處于本科學(xué)習(xí)階段課業(yè)最繁重的時(shí)期，有些專(zhuān)業(yè)的學(xué)生一周最多可能有60課時(shí)的課。而“數(shù)值分析方法”課程作為一門(mén)數(shù)學(xué)課，內(nèi)容復(fù)雜且枯燥，學(xué)生在繁重課業(yè)壓力之下很容易缺乏相應(yīng)的求知欲，并產(chǎn)生畏難情緒。這對(duì)學(xué)生掌握好“數(shù)值分析方法”課程內(nèi)容也是一大挑戰(zhàn)。

二、信息化教學(xué)手段

常見(jiàn)的幾種可以應(yīng)用于課堂內(nèi)的信息化教學(xué)手段有視頻化PPT、“雨課堂”，課堂外有Trustie教學(xué)社區(qū)、中國(guó)大學(xué)MOOC（慕課）等。

（一）“雨課堂”

“雨課堂”是學(xué)堂在線與清華大學(xué)在線教育辦公室共同研發(fā)的智慧教學(xué)工具，旨在連接教師和學(xué)生。使用“雨課堂”，教師可以將帶有MOOC視頻、習(xí)題、語(yǔ)音的課前預(yù)習(xí)課件推送到學(xué)生手機(jī)上，師生溝通及時(shí)反饋;課堂上實(shí)時(shí)答題、彈幕互動(dòng)，為傳統(tǒng)課堂教學(xué)師生缺少互動(dòng)提供了完美的解決方案。針對(duì)計(jì)算法方法中不容易理解或者是相似度高的公式，例如拉格朗日插值法和牛頓插值法的優(yōu)缺點(diǎn)比較、高斯順序消元法和高斯列主元消元法公式的異同，設(shè)計(jì)“雨課堂”互動(dòng)教學(xué)環(huán)節(jié)，用問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)記憶。

（二）Trustie教學(xué)社區(qū)

Trustie面向軟件創(chuàng)新和教育的高校創(chuàng)新實(shí)踐社區(qū)，不僅支持軟件創(chuàng)新的代碼開(kāi)源合作，在課程專(zhuān)區(qū)也為師生提供了依托平臺(tái)，教師可以在Trustie平臺(tái)上進(jìn)行課程資源發(fā)布、作業(yè)導(dǎo)入，完成常規(guī)作業(yè)、編程作業(yè)發(fā)布和批改;學(xué)生可以實(shí)時(shí)更新作業(yè)反饋和編程測(cè)評(píng)，實(shí)現(xiàn)群體協(xié)同學(xué)習(xí)。“數(shù)值分析”是一門(mén)應(yīng)用實(shí)踐要求高的課程，課后作業(yè)往往采用案例算法實(shí)現(xiàn)的形式，Trustie社區(qū)能很好地提供代碼互動(dòng)平臺(tái)，既方便了教師布置和檢查算法類(lèi)作業(yè)，也方便了學(xué)生就此類(lèi)作業(yè)進(jìn)行討論和參考代碼閱讀。

（三）中國(guó)大學(xué)慕課網(wǎng)

中國(guó)大學(xué)MOOC（慕課）是愛(ài)課程網(wǎng)攜手網(wǎng)易云課堂打造的在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，涵蓋了我國(guó)高校所有專(zhuān)業(yè)的課程，為學(xué)生進(jìn)行課外鞏固提升提供了豐富的學(xué)習(xí)資料。同時(shí)，慕課堂可以幫助教師實(shí)現(xiàn)一體化教學(xué)管理，賦能各學(xué)科特色教學(xué)，實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生在課堂內(nèi)外的表現(xiàn)，匯總線上線下成績(jī)，實(shí)踐智慧教學(xué)。“數(shù)值分析”課程作為工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課程，擁有大量的MOOC課程資源。在學(xué)校壓縮課時(shí)、課本內(nèi)容講授不全面的情況下，學(xué)生可以在課余時(shí)間通過(guò)觀看數(shù)值分析MOOC課程，在鞏固知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)擴(kuò)展對(duì)“數(shù)值分析方法”課外知識(shí)點(diǎn)的掌握。

（四）社交App

社交App，諸如微信、騰訊會(huì)議等，不拘泥于課堂上，將師生的聯(lián)系從課堂上延伸至課堂下，并可以靈活利用師生的時(shí)間，為師生就課程問(wèn)題交流提供更多且便捷的方式。課堂上，往往受限于傳統(tǒng)課堂形式，師生沒(méi)有過(guò)多交流的機(jī)會(huì)，并且中國(guó)學(xué)生的性格大多靦腆，不善于發(fā)問(wèn)。社交App能給學(xué)生提供課后聯(lián)系教師的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)渠道，同時(shí)避免面對(duì)面對(duì)話，讓熟悉網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的學(xué)生敢于向教師求助提問(wèn)。

上述四種信息化手段，各有其優(yōu)勢(shì)。“雨課堂”可以和傳統(tǒng)課堂結(jié)合，為課堂互動(dòng)提供網(wǎng)絡(luò)開(kāi)發(fā)渠道，鼓勵(lì)學(xué)生參與課堂，也方便了教師了解學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。Trustie社區(qū)等網(wǎng)絡(luò)社區(qū)，不僅方便了教師發(fā)布和批改編程作業(yè)，更為學(xué)生提供了一個(gè)廣闊的交流空間，不僅僅局限于本班本系學(xué)生進(jìn)行交流，還將交流對(duì)象擴(kuò)大到駐平臺(tái)的幾十所高校學(xué)生。慕課作為新興的網(wǎng)絡(luò)課堂方式，針對(duì)性強(qiáng)，對(duì)時(shí)間要求不高，并且是知識(shí)點(diǎn)全覆蓋，彌補(bǔ)了課時(shí)緊張、課堂無(wú)法全覆蓋課程內(nèi)容的缺點(diǎn)，為學(xué)生課后鞏固或擴(kuò)展知識(shí)點(diǎn)提供了條件。社交App給教師和學(xué)生提供了更為便捷的溝通方式，把溝通延伸到課后，讓學(xué)生可以隨時(shí)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)找教師咨詢，教師也可以針對(duì)學(xué)生不同的問(wèn)題進(jìn)行一對(duì)一答疑，或借助網(wǎng)絡(luò)會(huì)議App進(jìn)行小規(guī)模集體答疑。這四種信息化手段均為解決目前數(shù)值分析課堂的困境提供了一定的幫助，因此綜合考慮這四種方法各自的優(yōu)勢(shì)，我們進(jìn)行了數(shù)值分析信息化閉環(huán)教學(xué)方式的研討和實(shí)踐。

三、數(shù)值分析信息化閉環(huán)教學(xué)方式探索

“數(shù)值分析”課程的重點(diǎn)在于理解和掌握各種常用數(shù)值計(jì)算方法的數(shù)學(xué)原理和算法構(gòu)造設(shè)計(jì)，其難點(diǎn)為：（1）如何在課程內(nèi)容偏枯燥的前提下，將各種數(shù)值計(jì)算方法的收斂性分析、眾多復(fù)雜精巧的計(jì)算方法設(shè)計(jì)和煩瑣的計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程講得生動(dòng)具體，在課堂上牢牢吸引學(xué)生的注意力，并讓學(xué)生深刻理解和掌握復(fù)雜的課程知識(shí)點(diǎn);（2）在課時(shí)受限的情況下，如何將內(nèi)容清晰講述，保證教學(xué)效率。因此，基于上述信息化手段，針對(duì)“數(shù)值分析”課程特點(diǎn)，充分利用學(xué)生和教師的碎片化時(shí)間，建立立體化的教學(xué)方式，將課前—課上—課后串聯(lián)起來(lái)，形成信息化閉環(huán)教學(xué)模式（見(jiàn)圖1）。

（一）課前預(yù)習(xí)布置

眾所周知，數(shù)值分析知識(shí)點(diǎn)繁多且原理不好理解，我們可以通過(guò)信息化手段（如社交App或者Trustie社區(qū)等）在課前將下一堂課的知識(shí)要點(diǎn)布置給學(xué)生預(yù)習(xí)，如插值定理的證明、拉格朗日插值基函數(shù)的定義、機(jī)械求積公式推導(dǎo)過(guò)程等。對(duì)于剛接觸數(shù)值分析的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些數(shù)學(xué)概念并不便于理解和掌握，通過(guò)預(yù)習(xí)方式突出難點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，并在課前收集學(xué)生反饋，以調(diào)整授課計(jì)劃和課堂習(xí)題講解設(shè)置。

（二）課中生動(dòng)教學(xué)

在課堂上，將學(xué)生預(yù)習(xí)中反饋的知識(shí)難點(diǎn)作為講授問(wèn)題引入，針對(duì)性再將難點(diǎn)和重點(diǎn)講解清楚。在收集預(yù)習(xí)反饋時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于各種插值算法的優(yōu)缺點(diǎn)缺少直觀認(rèn)識(shí)，如在比較拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值和埃爾米特插值的優(yōu)缺點(diǎn)時(shí)，學(xué)生只是機(jī)械記住了幾種插值方法的要求不同，并沒(méi)有深刻理解四種插值算法在工程問(wèn)題中的實(shí)際應(yīng)用意義，通過(guò)在課堂上用MATLAB展示這四種算法的插值曲線對(duì)比和余項(xiàng)分析，讓學(xué)生直觀地理解這四種插值方法，建立具體生動(dòng)的圖像記憶。對(duì)于理工科學(xué)生，要注重科學(xué)計(jì)算思想和方法的構(gòu)造，可以在講授過(guò)程中引導(dǎo)他們?cè)鯓痈倪M(jìn)數(shù)值方法，注重收斂性和穩(wěn)定性的討論。同時(shí)，借助“雨課堂”，設(shè)置課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，打破課堂沉默的現(xiàn)象，為學(xué)生提供互動(dòng)形式，強(qiáng)化課堂測(cè)試互動(dòng)，方便教師更加準(zhǔn)確地了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

（三）課后師生交流

“數(shù)值分析”是一門(mén)實(shí)踐要求高的課程，介紹的算法很難在課堂上用書(shū)面習(xí)題的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行書(shū)面測(cè)驗(yàn)，無(wú)法掌握學(xué)生對(duì)數(shù)值分析算法的具體掌握程度。

1.通過(guò)Trustie社區(qū)布置和批改編程實(shí)踐類(lèi)作業(yè)，如樣條插值算法的實(shí)現(xiàn)、非線性方程求根和數(shù)值積分等算法的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)，不僅可以幫助教師明了學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，也可以讓學(xué)生跨班級(jí)進(jìn)行同課程實(shí)踐編程題目的討論學(xué)習(xí)，為學(xué)生提供更好的學(xué)習(xí)環(huán)境。

2.借助社交App，答疑不再拘泥于課堂，可以建立網(wǎng)絡(luò)答疑課堂。用騰訊會(huì)議等App進(jìn)行集體答疑，或者用微信等社交App建立網(wǎng)絡(luò)答疑課堂，能更加快速便捷地與學(xué)生溝通，不僅方便發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)的薄弱點(diǎn)，也可以合理利用學(xué)生的零碎時(shí)間，一對(duì)一答疑。

3.通過(guò)“雨課堂”互動(dòng)形式，針對(duì)計(jì)算方法中的難點(diǎn)和重點(diǎn)設(shè)置課堂測(cè)試互動(dòng)，了解學(xué)生對(duì)于算法設(shè)計(jì)思路和各算法之間區(qū)別的掌握程度，方便教師實(shí)時(shí)根據(jù)課堂反饋調(diào)整知識(shí)點(diǎn)的講授。教師通過(guò)“雨課堂”和Trustie等信息化手段，掌握學(xué)生課后的作業(yè)完成情況，并參考課中的隨堂測(cè)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，有的放矢，對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性地答疑指導(dǎo)，改善教學(xué)計(jì)劃。

4.慕課內(nèi)容利用。“數(shù)值分析”課程的重要知識(shí)點(diǎn)多且復(fù)雜，比如插值中的三彎矩算法和三轉(zhuǎn)角方程的算法的公式推導(dǎo)過(guò)程、線性方程組求解中的迭代法收斂性分析等，這類(lèi)知識(shí)點(diǎn)往往在實(shí)際中應(yīng)用得非常廣泛且具有代表性，學(xué)生對(duì)這類(lèi)知識(shí)點(diǎn)掌握吃透對(duì)其后續(xù)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)有很大的幫助，也可以幫助學(xué)生建立良好的算法設(shè)計(jì)思想。由于“數(shù)值分析”課時(shí)有限，很多知識(shí)點(diǎn)無(wú)法在課堂上展開(kāi)詳細(xì)講解，因此可以借助慕課這類(lèi)線上資源，讓學(xué)生在課余時(shí)間擴(kuò)展學(xué)習(xí)，將這類(lèi)復(fù)雜且無(wú)法在課堂上詳細(xì)講解的知識(shí)點(diǎn)牢牢掌握。

通過(guò)上述三個(gè)方面建立課前通過(guò)社交App提前布置預(yù)習(xí)，課中講解重點(diǎn)和難點(diǎn)并通過(guò)“雨課堂”互動(dòng)強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)認(rèn)知，課后進(jìn)行Trustie社區(qū)完成編程實(shí)踐作業(yè)和MOOC自學(xué)，期間不間斷穿插網(wǎng)絡(luò)答疑，最后以隨堂測(cè)驗(yàn)和綜合實(shí)驗(yàn)的方式驗(yàn)證學(xué)生對(duì)于每次課程的掌握程度，進(jìn)而指導(dǎo)下一步教學(xué)計(jì)劃實(shí)施的以學(xué)生為中心的立體教學(xué)方式。完美利用信息化手段促進(jìn)課上課下師生互動(dòng)，幫助教師了解學(xué)生關(guān)于課程知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，以及掌握學(xué)生對(duì)于課程的想法，從而可以因材施教制定教學(xué)計(jì)劃，并按照學(xué)生的掌握程度隨時(shí)調(diào)整授課計(jì)劃和優(yōu)化授課內(nèi)容，確保將信息化立體閉環(huán)教學(xué)方式和以學(xué)生為主的教學(xué)理念落實(shí)。

結(jié)語(yǔ)

為了更好地響應(yīng)我國(guó)目前進(jìn)行的教育教學(xué)改革，身為教師一定要重視對(duì)“數(shù)值分析”課程教學(xué)改革的探索。在如今這個(gè)科技化、信息化的時(shí)代，充分了解和掌握各種信息化教學(xué)手段，結(jié)合“數(shù)值分析方法”課程的特點(diǎn)，逐步進(jìn)行實(shí)踐探索，建立和完善信息化教學(xué)方式，以期進(jìn)一步提高教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)

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[2]孔勝利.工科研究生數(shù)值分析課程教學(xué)改革[J].高教學(xué)刊，2017（22）：145-147.

Key words： numerical analysis; informatization teaching; exploration on application