專題復習　圖形的認識——四邊形

王云峰

四邊形是“圖形與幾何”的重要內容之一，它包含平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形。下面舉例說明四邊形中一些常見混淆點并加以剖析，供同學們參考。

易錯點一 特殊四邊形判定方法混淆

例1 下列命題是真命題的是（ ）。

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【錯解】D。

【剖析】選項A中，由“對角線相等”不能得到四邊形是平行四邊形，選項A不正確;選項B中，由“對角線互相平分”可知四邊形是平行四邊形，進而由“對角線相等”可知該四邊形是矩形，選項B正確;選項C中，由“對角線互相垂直”不能得到四邊形是平行四邊形，因而不能得到該四邊形是菱形，選項C不正確;選項D中，由“對角線互相平分”可知該四邊形是平行四邊形，進而由“對角線互相垂直”可知該四邊形是菱形，選項D不正確。故選B。

【點評】特殊四邊形的判定主要從邊、角、對角線三個角度來判斷，這些判定方法極易混淆，一般可采用“過關法”來求解，即四邊形過了“平行四邊形”這一關，才有可能成為矩形、菱形或正方形，平行四邊形同時過“矩形”“菱形”兩關才能成為正方形。需要注意的是，四邊形具備的條件較多，但不一定就能成為特殊四邊形。

易錯點二 多結論判斷題判斷有誤

例2 如圖1，在?ABCD中，E是BD的中點，則下列四個結論：①AM=CN;②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM;③若MD=2AM，則S△MNC=S△BNE;④若AB=MN，則△MFN與△DFC全等。其中正確結論的個數為（ ）。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【錯解】不能正確判斷結論而導致錯選。

【剖析】結論①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD。

∵E是BD的中點，∴BE=DE。

又∵∠MED=∠BEN，

∴△MDE≌△NBE（ASA），

∴DM=BN，∴AD-DM=BC-BN，即AM=CN。故①正確。

結論②，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°，∴?ABCD是矩形，AB=DC，

∴∠ADC=∠A=90°。

又∵AM=DM，

∴△BAM≌△CDM（SAS），

∴BM=CM。故②正確。

結論③，如圖2，過點M作MG⊥BC于點G，過點E作EH⊥BC于點H，則MG∥EH，

∴△NEH∽△NMG，∴EH/MG=EN/MN。

∵△MDE≌△NBE，∴EM=EN，

∴EH/MG=EN/MN=1/2，∴MG=2EH。

∵MD=2AM，MD=BN，AM=CN，

∴BN=2CN，

∴S△MNC=1/2CN·MG=1/2×1/2BN·2EH

=1/2BN·EH=S△BNE。故③正確。

結論④，當MN∥CD時，∵AD∥BC，

∴四邊形MNCD是平行四邊形，

∴MN=CD，MF=CF，NF=DF，

∴△MFN≌△DFC（SSS）。

當MN與CD不平行時，如圖3，過點M作MP⊥BC于點P，過點D作DQ⊥BC，交BC的延長線于點Q，則MP∥DQ。

又∵AD∥BC，∴四邊形DMPQ是平行四邊形，∴MP=DQ。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD。

∵AB=MN，∴MN=DC，

∴Rt△MNP≌Rt△DCQ（HL），

∴∠MNP=∠DCQ，∴∠MNC=∠DCN。

又∵MN=DC，NC=NC，

∴△MNC≌△DCN（SAS），

∴∠NMC=∠CDN。

又∵∠MFN=∠DFC，MN=DC，

∴△MNF≌△DCF（AAS）。

綜合知，④正確。

故選D。

【點評】多結論判斷題所涉及的知識點較多，綜合性強，同學們解答時要對每個結論逐一判斷，如果其中某個結論判斷有誤，就會導致答案出錯。

（作者單位：江蘇省鹽城市葛武初級中學）