“環(huán)環(huán)”相扣，其樂無窮

葛浩亮

【樂學(xué)求思】同學(xué)們，你還記得三角形中位線定理是如何證明的嗎？一個平行四邊形的兩條對角線相交于一點(diǎn)，分別取對角線一半的中點(diǎn)，再依次連接成一個四邊形，那么這個四邊形的周長與原四邊形的周長有什么特殊的關(guān)系呢？按此規(guī)律繼續(xù)構(gòu)造下去，所得到的所有四邊形的周長之和又會是多少呢？

例 如圖1，在?ABCD中，對角線交點(diǎn)為O，A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點(diǎn)……以此類推，若?ABCD的周長為1，請用算式表示各四邊形的周長之和l。

解：∵A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，

∴A1B1=[12]AB，B1C1=[12]BC，C1D1=[12]CD，A1D1=[12]AD，

∴四邊形A1B1C1D1的周長=[12]×1=[12]，同理可得，四邊形A2B2C2D2的周長=[12]×[12]=[14]，四邊形A3B3C3D3的周長=[12]×[14]=[18]……

∴四邊形的周長之和l=1+[12]+[14]+[18]+…

【助學(xué)變思】同學(xué)們，你知道這個l的值是多少嗎？要解決這個問題，我們先要求出 [12]+[14]+[18]…的值。如圖2，根據(jù)圖形反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少。

由圖2可知，[12]+[14]+[18]+…無限接近于1，

所以l=1+[12]+[14]+[18]+…無限接近于2。

【展學(xué)反思】其實，對于任意的一個四邊形，兩條對角線相交于一點(diǎn)，取這個點(diǎn)到四個頂點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，再依次連接成一個四邊形，按此規(guī)律繼續(xù)構(gòu)造下去，所得到的所有四邊形的周長之和會無限接近原四邊形周長的2倍。同學(xué)們動手畫圖試試吧！

（作者單位：江蘇省常州市金壇段玉裁初級中學(xué)）