沖擊載荷下煤樣能量耗散與破碎分形的長徑比效應

王 磊，袁秋鵬，謝廣祥，顧書豪，焦振華，劉懷謙，陳禮鵬

(1.安徽理工大學 深部煤礦采動響應與災害防控國家重點實驗室，安徽 淮南 232001；2.中國礦業大學(北京) 能源與礦業學院，北京 100083)

煤炭開采工程中存在爆破震動、沖擊地壓和煤與瓦斯突出等多種形式的沖擊動力學問題，覆巖運動或破斷及煤體爆破均會產生沖擊載荷。煤巖體在沖擊載荷作用下其內部微裂紋不斷發育、擴展、貫通和破碎，從細觀損傷發展到宏觀破碎實質是一個能量耗散的過程。礦山壓力顯現或爆破對應的煤巖體能量耗散規律和破碎特征屬于中、高應變率的研究范疇。然而，實際工程中不同工程尺寸往往表現出其能量耗散規律和力學性質差異，存在明顯的長徑比效應。例如，受煤層賦存和地質構造影響的煤層厚度變化不一，以及開采條件限制下采場煤柱寬度設計在3～30 m，其頂板來壓的顯現強度差異顯著。因此，進一步定量分析沖擊載荷下不同長徑比煤樣的能量演化規律和破碎分形特征，對于煤礦動力災害防治和提高煤炭采出率具有重要指導意義。

分離式霍普金森壓桿(Split Hopkinson Pressure Bars，SHPB)實驗技術是研究巖石、混凝土等脆性材料高應變率力學特征的主要實驗方法，以此為基礎的煤巖體沖擊動力學迅速發展。目前，材料強度的長徑比、比例尺等尺寸效應已被學術界和工程界廣泛關注并開展研究，成果顯著。李夕兵等對直徑相同、長徑比不同的石灰巖試件進行了SHPB試驗，得出巖石破碎強度隨試件長徑比的增加而減小的結論；日本、美國、挪威和加拿大學者聯合研究了長徑比相同、直徑不同的混凝土試件，落錘試驗及顯式ABAQUS模擬結果表明，混凝土外觀強度隨著試件尺寸的增大而減小，但與靜載條件下的尺寸效應不同；洪亮等對長徑比相同、直徑不同的巖石進行不同應變率條件下的SHPB試驗，動態強度隨著應變率的增高近似以乘冪關系增大，且試件尺寸越大，動態強度對應變率依賴的靈敏性越顯著。能量耗散是材料破壞的原動力，煤巖在沖擊波作用的過程中將產生不可逆的能量耗散。劉曉輝等對煤巖進行不同應變率的SHPB試驗，并對煤巖沖擊破碎塊度特征進行了分析，得到了耗散能與應變率呈弱冪函數關系或線性分布關系，并發現了煤巖破碎特征與應變率呈線性正相關；武仁杰等對層狀巖石進行不同角度和加載速率的沖擊壓縮試驗，獲得了其破碎耗能特征和塊度分布規律。以上關于沖擊載荷下煤巖材料力學特征、能量耗散與破碎特征的研究取得了豐碩成果，但有關材料動態能量演化及其破碎特征的長徑比效應等方面的研究很少，且觀點尚不統一。

試件破壞是能量驅使的從微變形到破碎的過程，而采用破碎分形維數對巖石類試件破碎形態進行定量描述不僅可以合理地反映試件沖擊破碎程度和碎塊分布特征，還可以從破碎形態分析煤巖體破壞過程中能量耗散規律。為此，學者圍繞煤巖的破碎分形特征和能量演化特征開展研究：謝和平等建立了巖石動態裂紋擴展力學行為與細觀結構關系的分形模型，并將其應用于不同炮孔排布放頂煤爆破效率，豐富了分形理論的應用外延；張蓉蓉等研究了高低溫預處理的深部砂巖的動態破壞特性，分析了溫度對砂巖破壞程度和能量耗散的影響；張文清等通過分析不同應變率沖擊的煤巖試件能量耗散和破碎塊度分維，發現了煤巖破碎耗散能隨應變率呈指數上升但耗能占比基本不變，且分形維數隨應變率和耗散能密度均呈對數增長關系；劉石等研究了沖擊加載速度對巖石塊度分形維數的影響，分析了巖石動態抗壓強度與塊度分形維數的變化規律。以上研究表明，巖石動態破碎分形特征與能量演化之間存在內在聯系，破碎分形是能量耗散的宏觀表現，能量耗散是破碎程度的根本原因。因此，研究試件沖擊過程中的能量耗散規律和破碎分形特征不僅可量化表征破碎程度，還可以從宏觀上解釋試件的破壞機制。

筆者利用SHPB試驗系統對不同長徑比煤樣進行沖擊壓縮試驗，分析煤樣加載過程中的應力均勻性，深入剖析不同長徑比煤樣能量演化特征和破碎分形特性，得到煤樣分形維數與能量耗散特征規律。

1 沖擊壓縮試驗

1.1 試樣制備

試驗選用大塊無夾矸無明顯裂隙的原煤為母材，垂直煤塊層理進行鉆心、切割和打磨拋光，由于薄煤樣加工困難，根據國際巖石力學學會(ISRM)推薦標準加工成直徑50 mm，長徑比()分別為0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0的8組試樣，每組3個平行試樣，確保兩端面的不平整度<0.05 mm、兩端面不平行度<0.02 mm，如圖 1所示。使用U510非金屬超聲波檢測儀準確測定試樣波速，確保探頭正對，通過耦合劑與試件緊密接觸，同時剔除有明顯損傷和波速偏離超過10%的試樣，如圖2所示。試樣制成后，測算其體積、密度等。試樣用D表示，每組試樣依次編號，如D-0.5-2，表示長徑比為0.5的第2個試件。

圖1 原煤試樣Fig.1 Raw coal samples

圖2 超聲波檢測煤樣Fig.2 Ultrasonic detection of coal samples

1.2 加載方案

采用SHPB試驗系統進行動態壓縮試驗，如圖3所示。SHPB試驗系統采用長度為300 mm圓柱形子彈，厚度3 mm、邊長10 mm方形橡膠片整形器，入射桿和透射桿長直徑均為50 mm，材質為40Cr合金鋼，密度為7 800 kg/m，縱波波速為5 190 m/s。試驗前確保入射桿與透射桿水平且同心對正，確保基本無反射波產生。為討論煤樣試件長徑比對耗能和破碎分形的影響，煤體承受沖擊載荷應變率為10～300 s，結合煤樣低強度的特點，采用相同沖擊氣壓0.35 MPa。使用FASTCAM SA-Z型超高速攝像機進行圖像采集，快門速度為100 000 fps，分辨率為256×216。

<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．

圖3 SHPB試驗系統Fig.3 SHPB test system

1.3 試驗結果

圖4為以橡膠片為波形整形器的煤樣SHPB試驗波形，應力波整體平滑，未出現明顯的彌散效應。

圖4 煤樣SHPB試驗典型的波形Fig.4 Classical waves of SHPB test of coal

當SHPB試驗系統測試動力學參數時，首先，根據應變電測法原理，將示波器的電壓信號轉化為應變；其次，基于SHPB實驗理論，根據式(1)計算試樣應力()和應變()，得到應力-時程曲線和應變-時程曲線；最后，求解出試樣的動態強度。

(1)

式中，()，()分別為時刻的反射波、透射波在獨立傳播時所對應的桿中應變；，，分別為彈性壓桿的橫截面積(m)、彈性模量(MPa)、縱波波速(m/s);，分別為試樣橫截面積(m)和原始長度(m)。

圖5,6分別為不同長徑比煤樣典型應力-應變曲線以及經典煤樣動態應力-應變曲線階段劃分。

圖5 不同長徑比煤樣應力-應變曲線Fig.5 Stress-strain curves of coal with the different l/d

不同長徑比煤樣應力-應變曲線形態相似，均呈“開口型”，參考巖石靜力學對應力-應變曲線的劃分,將動態應力-應變曲線分為彈性階段(段)、塑性階段(段)和破壞階段(段)3個階段，如圖 6所示，但其曲線特征存在明顯差異。考慮到大直徑SHPB試驗受慣性效應影響，僅對應力平衡系數不為0的應力平衡狀態試件(即長徑比0.3～0.6，見1.4節)進行分析。圖 5中不同長徑比曲線特征主要為：隨長徑比增加，曲線塑性階段增大。隨試件長徑比增加，應變率逐漸降低，其對應的動態應力峰值也逐漸降低，曲線峰后段逐漸減短,說明隨著長徑比增加，試件抗沖擊能力降低，表明了長徑比小的試樣彈性變形更充分，抵抗沖擊變形的能力更強。

圖6 動態應力-應變曲線階段劃分Fig.6 Stage division of dynamic stress-strain curve

1.4 煤樣動態應力平衡狀態分析

李夕兵等將試樣兩端應力差與其平均值之比定義為應力平衡因子，表征試件應力平衡的程度，其公式為

(2)

式中，，分別為試件入射桿端和透射桿端應力；為入射電壓與反射電壓之和，=+，V；為透射電壓，V。

理論上，試件兩端的應力不相等，但一般認為試件兩端應力差小于試件內部平均應力的5%就達到了平衡狀態。應力平衡因子將試件應力平衡的過程具象化，可以在直觀上展現和比較不同長徑比試件內部應力均勻性，但是對于不同長度試樣其平衡程度相近的應力平衡判定條件模糊且無法進行量化比較分析。為進一步對SHPB試驗中試樣平衡程度的量化分析和判斷試驗破壞前是否滿足應力均勻化條件，筆者對透射應力峰值前的應力平衡因子進行統計與分析，定義了判斷SHPB試驗中試樣內部應力均勻化和試樣兩端應力平衡程度的新指標——應力平衡系數，可表征不同長徑比試件動態壓縮破壞前兩端應力平衡程度，其計算公式為

(3)

式中，為樣本中應力平衡因子滿足平衡條件-0.05≤≤0.05的數量；為透射應力峰值前應力平衡因子的樣本容量。

不同加載波形或不同材料試樣對應的應力波上升沿時長，在煤的SHPB試驗中，動態沖擊上升沿歷時160～190 μs。考慮到應力平衡系數是為了判斷試樣破壞前是否達到應力平衡，在選擇樣本對象時以透射應力峰值為目標；同時，為了減小試件沖擊加載初始階段應力不均勻的影響，選擇透射波峰前部分的1/4～1/3(約50 μs)為樣本容量，確定在透射應力峰值前50 μs的應力平衡因子作為樣本。圖7為不同長徑比煤樣沖擊作用的應力平衡系數考察區間示意。

圖7 不同長徑比試樣的應力平衡程度Fig.7 Stress balance degree of specimens with different l/d

對不同長徑比煤樣沖擊加載下的取平均值，見表1。結合應力平衡因子變化趨勢與應力平衡系數分析可得，煤樣長徑比為0.3，0.4，0.5和0.6，應力平衡系數較高，試件內部應力易于達成平衡，當長徑比為0.7，0.8，0.9和1.0時，應力平衡系數為0，試件內部應力難以在峰值應力前達到平衡，不能滿足應力平衡要求。因此，煤樣存在應力平衡要求的臨界長徑比，高于此臨界值的煤樣無法在SHPB試驗里達到應力平衡。由于部分試樣未能達到應力平衡，后文主要分析試件沖擊的能量耗散規律和破碎分形特征。

表1 不同長徑比煤樣應力平衡系數

2 能量耗散的長徑比效應

2.1 能量計算

SHPB試驗系統加載過程中，能量通過撞擊以應力波的形式傳至壓桿中，入射波、反射波和透射波所攜帶的能量分別為入射能、反射能和透射能，試件所吸收的部分能量稱為試件吸收能。

(4)

其中，，，分別為入射應變、反射應變和透射應變。試件吸收能為

=-(+)

(5)

主要由3部分組成：破碎耗能、破碎動能、其他形式耗散能(通常可忽略)，根據文獻[19]可知破碎動能僅占總吸收能5%左右，可簡化為

=

(6)

破碎能量耗散與體積密切相關，單位體積耗散能更能反映試件破碎吸能情況。為此，引入破碎耗能占比和破碎耗能密度：

(7)

(8)

式中，為試件體積，m。

根據式(4)～(8)將超動態應變儀的電信號轉換為試樣的應力、應變和能量參數，不同長徑比試樣動態強度和能量參數見表2。

表2 不同長徑比試樣動態強度和能量參數

續表

2.2 破碎耗能與耗能占比

圖8為不同長徑比煤樣動態壓縮下入射能和破碎耗能的分布情況，相同沖擊氣壓下，不同長徑比試樣入射能大致相等，在75.05～85.55 J，最大相差13.9%，極差為10.5 J，這是由于發射器氣壓變化以及子彈和炮筒摩擦的影響。破碎耗能變化可分為長徑比0.3～0.5和長徑比0.6～1.0兩個階段，其破碎耗能與長徑比均呈正相關，值域分別為30.93～35.19和23.43～27.94 J，但其在長徑比0.5～0.6由35.19 J降至23.43 J，下降了33.42%。

圖8 不同長徑比煤樣動態壓縮能量分布規律Fig.8 Dynamic compression energy distributionof coal with the different l/d

圖9 不同長徑比煤樣耗能占比和應力平衡系數變化Fig.9 Variation of energy consumption ratio and stressbalance coefficient of coal with the different l/d

不同長徑比煤樣動態壓縮耗能占比及平均應力平衡系數的變化規律如圖9所示。耗能占比隨長徑比變化規律與破碎耗能類似，可分為長徑比0.3～0.5和長徑比0.6～1.0兩個階段，值域分別為0.37～0.42和0.28～0.32，各階段內耗散占比與長徑比呈線性增加，但長徑比0.6～1.0耗能占比的增長率比長徑比0.3～0.5低。長徑比的增大在一定范圍內有利于增強試件吸收能量的能力。但長徑比0.5～0.6時(即2個階段間)，耗能占比由0.42下降至0.28，下降了33.33%，并且其整體上呈現出臺階式下降。

圖10 不同尺寸砂巖的破碎耗能與入射能關系[38]Fig.10 Relationship between crushing energy consumptionand incident energy of sandstone of different sizes[38]

圖10為不同尺寸砂巖的破碎耗能和入射能的關系，試驗表明SHPB沖擊試驗中巖石破碎耗能隨入射能的增加而線性增加，即破碎耗能占入射能比例一定，與應變率和試樣的尺寸無關。文獻[11,20,29]中也有類似試驗結論，與本文試驗條件區別在于試件長徑比不同，在沖擊速度不變條件下，試件長徑比是影響應變率的根本因素。而試件長徑比與應力平衡密切相關，橫向慣性引起的彌散效應和試件的端面摩擦效應共同影響了試件的應力平衡程度。因此，結合應力平衡因子變化趨勢與應力平衡系數分析不同長徑比試件能量耗散規律。

耗能特征長徑比效應主要表現在：① 破碎耗能與耗能占比隨長徑比增加分為2個階段，各階段均線性增加；② 其指標在2個階段中間出現臺階式下降。其原因：首先，煤體中含有豐富的晶界、孔洞、微裂隙等天然缺陷，隨著試件尺寸增加，試件內部存在的缺陷亦隨之增多，導致試件在沖擊過程中形成更多裂隙和碎塊，增加了裂隙和碎塊之間的摩擦耗能，從而提高了耗能占比，并且長徑比大的試件端部摩擦效應更加顯著，這是破碎耗能和耗能占比在各階段內線性增加的主要原因；其次，如圖11所示，長徑比1.0試件裂紋發育比長徑比0.3更快速和劇烈，試樣長度不同引起了應力平衡的差異，圖7表明超過臨界長徑比的試件不僅難以達到應力平衡且峰值應力明顯降低，結合圖5可以發現試件應力達到峰值前其變形量降低，導致吸收的沖擊能量陡然降低，在忽略動能影響的前提下，則造成破碎耗能和耗能占比的臺階式下降。

圖11 不同長徑比煤樣破壞過程Fig.11 Failure process of coal samples with different ratio of length-diameter

3 破碎分布特征與能量演化

煤樣破碎的過程蘊含了功能轉化關系，其能量的演化特征與破碎效果存在本質聯系。宏觀破碎是由微小破裂組成的，而微小破裂又是由更小的缺陷、裂隙演化匯集形成，這種自相似性行為必然導致破碎后碎塊塊度也具有自相似的特征，且其塊度分布的分形特征與巖石細觀結構、加載方式以及試樣形狀尺寸等密切相關。破碎分形維數能定量反映破碎程度，試件越破碎，分形維數越大，碎塊粒徑越小。煤樣在沖擊載荷作用下產生的碎塊分布方程為

()=()3-

(9)

式中,，()分別為碎塊的總質量和孔徑下累計質量，g；，分別為碎塊的粒徑和最大粒徑，m；為碎塊分形維數。

將式(9)兩邊取對數，并在lg(()/)- lg(/)的雙對數坐標系中，擬合直線的斜率即(3-)，從而得到巖石破碎塊度分布的分形維數：

=3-

(10)

同時，采用描述破碎程度常規方法碎塊平均粒徑與破碎分形維數形成對比。碎塊平均粒徑為

(11)

式中，為不同等級標準篩中碎塊的平均尺寸，mm；為對應的碎塊質量分數。

3.1 破碎形態

對試樣碎塊進行篩分，將其分為<0.125，0.125～0.250，0.25～0.50，0.5～1.0，1～2，2～3，3～6，>6 mm共8組粒徑并進行稱量，圖12給出了部分不同長徑比煤動態破壞形態和碎塊篩分結果。隨著長徑比增加，依次呈現粉碎破壞、塊狀碎裂、塊狀劈裂等形態；且煤的破碎程度逐漸降低，破碎塊度的尺寸逐漸增大，細小顆粒占比逐漸降低。

圖12 部分不同長徑比煤動態破壞形態Fig.12 Dynamic failure morphology of part coal with different l/d

3.2 破碎塊度分布特征

根據式(9)～(11)計算出碎塊平均粒徑和分形維數，見表 3。

表3 不同長徑比試件碎塊粒徑分布和分形維數特征

續表

圖13為每組試樣碎塊平均粒徑與長徑比的關系，碎塊平均粒徑隨長徑比的增加而增加，碎塊平均粒徑與長徑比呈線性增加關系，相關性系數為0.840。說明隨著煤樣試件長徑比增加，碎塊的平均尺寸增加，試樣的破碎程度降低。平均粒徑定量描述了碎塊整體的破碎程度，但忽略了破碎塊度分布的整體特征。因此，為了刻畫試件破碎塊度的分布特征，結合分形理論對試件塊度進行分形研究。圖14為不同長徑比塊度分形的碎塊質量分布對數曲線，根據試樣破碎塊度分布規律，可知煤樣試件破碎后塊度分布相關性系數均在0.97以上，具有良好的自相似性。

圖13 碎塊平均粒徑與長徑比的關系Fig.13 Relationship of average particle size of fragments and l/d

圖14 不同長徑比試件破碎分布lg(M(x)/MT)-lg(x/xm)曲線Fig.14 lg(M(x)/MT)-lg(x/xm) curves of crushingdistribution of specimens with different l/d

分形維數不僅可以表征材料的破碎程度，而且能夠綜合反映材料結構、加載方式、尺寸形狀等。圖15為每組試件碎塊的平均分形維數與長徑比的變化規律，平均分形維數與長徑比呈線性減少關系，相關性系數達0.932，隨長徑比增加，試件的分形維數逐漸降低，試件破碎程度降低，同時印證了碎塊平均粒徑隨長徑比增加而增大，破碎程度降低。

圖15 平均分形維數與長徑比的關系Fig.15 Relationship of average fractal dimension and l/d

3.3 碎塊分維與耗能密度

為消除試件體積對能量耗散的影響，對不同長徑比煤動態壓縮耗能密度變化規律進行研究。圖 16為不同長徑比煤動態壓縮耗能密度變化關系，試樣破碎耗能密度與長徑比呈反比例關系，擬合關系為

(12)

圖16 不同長徑比煤動態壓縮耗能密度變化Fig.16 Variation of dynamic compression energyconsumption density of coal with the different l/d

試驗結果表明，試件長徑比從0.3增加到1.0時，破碎耗能密度由1.08 J/cm減小到0.22 J/cm，降低了79.6%，試件動態穩定性減弱。由3.2節分析可知，不同長徑比試樣的裂紋發育與碎塊破裂程度不同導致試件破碎耗能和摩擦耗能等能量分布改變。

煤巖體破碎是其內部缺陷不斷萌生發育、擴展、貫通的結果，本質上是能量耗散的過程，因此，試件碎塊的分布特征與其能量耗散存在內在的、必然的聯系。洪亮的研究表明，巖石破碎吸能隨入射能的增加而線性增長，耗能占比與材料屬性和細觀結構有關。對于破碎分布特征，試件單位體積對應的破碎耗能與其破碎程度更加緊密相關，因此，對碎塊的分形特征和對應的耗能密度演化規律進行研究。圖17為不同長徑比試件分形維數-耗能密度變化曲線。煤巖體破碎是其內部缺陷不斷萌生發育、擴展、貫通的結果，本質上是能量耗散的過程，因此，試件碎塊的分布特征與其能量耗散存在內在的、必然的聯系。

圖17 分形維數D與耗能密度ed的關系Fig.17 Relationship between fractal dimension D and energyconsumption density ed

整體上，隨著耗能密度升高，分形維數逐漸增加，耗能密度由0.25 J/cm升高到1.07 J/cm時，分形維數由1.62增加到1.83，提高了12.96%。根據分形維數隨耗能密度的變化特征，利用曲線擬合方法得到了二者之間的函數關系：

(13)

巖石破壞形成大量各種尺度的內部裂隙，其萌生、發育、擴展和貫通的過程也是巖石結構中的初始細觀損傷發展到宏觀斷裂的結果，巖石吸收能量越多，裂紋擴展越充分，產生碎塊越多，破碎程度越高，導致分形維數也越大。與呈正相關且為冪律函數關系，說明增大耗能密度可以提高試樣的破碎程度，但在較高耗能密度時，增大試樣耗能密度其破碎程度增加趨勢逐漸減緩，即隨耗能密度增加，通過提高耗能密度增大破碎程度的效率逐漸降低。

4 結 論

(1)不同長徑比煤樣應力-應變曲線形態基本一致，均呈“開口型”，且均包含彈性階段、塑性階段和破壞階段3個階段；隨長徑比增加，曲線塑性階段增大。定義了判定不同長徑比試件應力平衡狀態的應力平衡系數，并據此確定了煤樣滿足應力平衡要求的臨界長徑比為0.6。

(2)確定了破碎耗能、耗能占比和耗能密度與長徑比的關系，總結了煤樣動態壓縮破碎耗能與耗能占比的長徑比效應，得出隨長徑比增加分2個階段，且其分界點接近臨界長徑比，各階段內呈線性增加關系，在兩階段中間呈現出臺階式下降，并從試件尺度和動態應力平衡及破壞過程的角度解釋了能量耗散的長徑比效應。

(3)采用碎塊平均粒徑和破碎塊度分形維數描述不同長徑比煤樣沖擊破碎特征，互相印證了隨長徑比增大，破碎程度逐漸降低；確定了不同長徑比煤樣的分形維數與耗能密度呈冪率函數關系，并指出隨耗能密度增加，試件破碎程度的提高效率逐漸降低。