相互作用的Brinkman方程組與Darcy方程組解在反應邊界條件下的連續依賴性

石金誠, 夏建業

(1. 廣州華商學院 數據科學學院, 廣州511300； 2. 廣東金融學院 數學與統計學院, 廣州 510521)

0 引 言

非線性偏微分方程系統解的收斂性或連續依賴性問題通常稱為結構穩定性. 在建模或測量過程中不可避免的存在誤差, 結構穩定性的研究可為后續數值模擬提供理論基礎. Ames等[1]系統地介紹了方程結構穩定性的本質; 文獻[2-12]研究了區域中單一流體的結構穩定性, 但在實際應用中, 同一區域可能存在相互作用的多種流體, 因此有必要將結構穩定性的研究推廣到同一區域中多個流體方程組的情形； Payne等[13]研究了多孔介質中相互作用兩個流體方程組的結構穩定性, 建立了Brinkman方程組與Darcy方程組的解對界面邊界系數的連續依賴性; Liu等[14-15]在此基礎上得到了一些新結果. 受上述研究工作的啟發, 本文繼續討論該類方程組的結構穩定性.

令平面z=x3=0的適當部分L表示在3中的有界區域Ω1和有界區域Ω2的公共界面,Ω1和Ω2邊界的其余部分分別用Γ1和Γ2表示, 因此?Ω1=Γ1∪L, ?Ω2=Γ2∪L.

考慮下列初邊值問題[16], 在Ω1×[0,τ]中討論Brinkman流體方程組:

(1)

其中:ui,p,T分別表示速度、 壓強和溫度;Q(x),gi(x)和hi(x)為重力函數;λ為Forchheimer系數且λ>0; 假設gi,hi滿足|h|,|g|≤M,|h|,|g|≤M,M是大于零的常數; Δ為Laplace算子;k為熱擴散系數且k>0;Ω1是3中的一個有界單連通的強星形區域;τ是一個給定的常數且0≤τ<∞.在Ω2×[0,τ]中討論Darcy流體方程組:

(2)

其中vi,q,S分別表示速度、 壓強和溫度,QS(x)為重力函數,kS為熱擴散系數且kS>0,Ω2是3中一個有界單連通的強星形區域.邊界條件為

(3)

(4)

其中fi(x),T0(x)均為已知函數.最后, 假設在界面上L×{t>0}滿足條件:

(5)

其中β=1,2.

本文主要討論方程組(1)～(5)的解對邊界系數α的連續依賴性.與文獻[14-15]的不同之處是此時溫度滿足反應邊界條件, 在該邊界條件下無法得到溫度的最大值估計, 而原來的結果是建立在溫度最大值估計的基礎上.本文利用溫度的四階范數估計并巧妙結合Sobolev不等式得到所需的估計. 同時由于Darcy方程組不含Δvi項, 從而加大了處理速度梯度估計的難度.

1 先驗界

引理1對于定義在強星形有界區域Ω上的可微函數H, 有如下邊界估計：

(6)

其中m0,d0為大于零的常數,ε1為大于零的任意常數.

證明： 對于定義在強星形有界區域Ω上的可微函數H, 利用散度定理可得

(7)

(8)

由Schwarz不等式可得式(6).

引理2對于溫度T和S, 有如下估計：

(9)

其中

k1為大于零的常數.

證明： 將方程組(1)中第三個不等式兩邊乘以2T, 并在Ω1×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

(10)

對于式(10)左邊第一項, 由散度定理及式(3)和式(4), 可得

(11)

對于式(10)左邊第二項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

對于式(10)右邊第一項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

對于式(13), 由式(6)可得

同理, 將方程組(2)中第三個等式兩邊乘以2S, 并在Ω2×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

令

則

對式(18)從0到t積分, 可得

(19)

聯合式(18)和式(19)可得式(9).

引理3對于溫度T和S, 有如下四階范數估計：

(20)

其中

k2為大于零的常數.

證明： 將方程組(1)中第三個等式兩邊乘以4T3, 并在Ω1×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

(21)

仿照引理2證明中式(10)～(15)的推導過程, 可得

同理, 對于S有如下估計:

(24)

其中

求解不等式(24), 可得

(25)

聯合式(24)和式(25)可得式(20).

引理4對于任意連續可微的函數ψi, 有如下估計：

(26)

(27)

證明： 顯然有

(28)

對于有界區域Ω, 有如下不等式成立:

(29)

其中:k0為大于零的常數, 且與Ω邊界的Gauss曲率有關[17];ε3是大于零的任意常數.聯合式(28)～(30), 可得

(31)

引理5對于速度vi, 有如下估計：

(32)

其中k4為大于零的常數.

證明： 將方程組(2)中第一個等式兩邊先對xj求偏導, 再乘以vi,j-vj,i, 最后在Ω2上積分, 可得

在推導式(33)時, 用到下列等式:

由于

所以式(33)可變為

(34)

在式(26)中當ψi=vi,Ω=Ω2時, 可得

(35)

引理6對于速度ui和vi, 有如下估計：

(36)

證明： 將方程組(1)的第一個等式兩邊乘以2ui, 并在Ω1上積分, 可得

(37)

對于式(37)右邊第一項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

對于式(37)右邊第二項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

聯合式(37)～(39), 可得

將方程組(2)中第一個等式兩邊乘以2vi, 并在Ω2上積分, 可得

(41)

聯合式(40)和式(41), 由H?lder不等式和算術幾何平均不等式, 可得

求解式(42), 并由式(9)和式(20), 可得

(43)

其中

將式(43)代入式(42), 并對其從0到t積分可得式(36).

2 連續依賴性

(44)

(45)

邊界條件為

(46)

初始條件為

(47)

在界面L上滿足條件:

(48)

(49)

(50)

其中γ,k13為大于零的常數.

證明： 將方程組(44)中第一個等式兩邊乘以2ωi, 并在Ω1上積分, 可得

(51)

對于式(51)右邊第一項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

對于式(51)右邊第二項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

聯合式(51)～(53), 可得

將方程組(45)中第一個等式代入式(54), 可得

利用文獻[18]中式(B.17), 可得

(56)

其中N為大于零的常數.聯合式(20),(27),(55),(56), 可得

將方程組(44)中第三個等式兩邊乘以2θ, 并在Ω1上積分, 可得

對于式(58)右邊第一項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

(59)

(60)

(61)

對于式(58)右邊第二項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

(62)

對于式(58)右邊第三項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

聯合式(58),(61)～(63), 可得

同理可得

聯合式(20)和式(66), 由Schwarz不等式, 可得

(68)

利用文獻[18]中式(B.17), 可得

(69)

(70)

其中

聯合式(57)和式(71), 可得

其中γ為大于零的常數, 且

求解式(72), 并由式(36)可得式(49).將式(49)代入式(72)可得式(50).