素養導向下小學尺規作圖教學的育人價值探析

芮金芳

【摘 要】尺規作圖是研究幾何問題的一種重要方法。尺規作圖作為《義務教育數學課程標準（2022年版）》“圖形與幾何”領域中新增的內容，在小學階段數學學習中具有重要的育人價值。研究者結合教學實踐，從三個維度闡述尺規作圖的育人價值，即借尺規作圖實現操作與想象的嫁接，借尺規作圖實現猜想與推理的融合，借尺規作圖實現思想與文化的浸潤。

【關鍵詞】尺規作圖；想象推理；文化浸潤；育人價值

尺規作圖是研究幾何問題的一種重要方法，它有著悠久的歷史，曾對數學學科的發展產生了十分重要的影響。尺規作圖不是簡單地應用直尺和圓規來畫幾何圖形，而是一種只使用無刻度的直尺和圓規，并且只準使用有限次來解決不同的平面幾何作圖問題的直觀操作方法，又稱為初等幾何作圖或歐幾里得作圖。

尺規作圖作為《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中的一個全新內容，對教師的教和學生的學來說具有一定的挑戰性。部分教師在尺規作圖教學上存在一些認知上的誤區，比如，對尺規作圖的教學目標把握不精準，對尺規作圖的教學價值認識不夠，對尺規作圖教學的展開方式模糊不清。他們往往急于讓學生掌握作圖的方法，忽略對知識承載的育人價值的領悟和數學思想方法的滲透。因此，明晰新課標中對尺規作圖教學的新要求，凸顯課程內容豐富的育人價值，對提升學生的數學學科核心素養具有重要意義。

一、借尺規作圖實現操作與想象的嫁接

新課標在“圖形與幾何”領域明確提出從第二學段（3～4年級）開始將尺規作圖內容引進課程學習范疇，具體分布情況見表1。

尺規作圖是典型的“做中學”“創中學”學習樣態。作圖過程中的兩大作圖工具功能各不相同，直尺的主要功能是連接兩點之間的線段，或經過兩點畫直線和射線；圓規的主要功能是畫圓或畫弧，也可以截取等長的線段。這種由學生實際動手操作的學習過程，將原本數學上抽象、乏味的符號知識轉換成直觀的、能夠讓學生具身參與的操作知識，幫助學生更好地理解數學，利用幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象，培養學生的空間觀念、幾何直觀及動手操作能力。如在教學用尺規作圖畫一個三角形時，教師可以提供一組線段（如圖1），提出核心問題：“你能不能借助尺規工具，用給定的三條線段畫一個三角形？”

學生利用尺規工具在多次試畫過程中會發現，當確定任意一條線段為三角形底邊時，就確定了三角形的兩個頂點，但在畫三角形另外兩條邊時，會出現無法相交的情況（如圖2），于是，學生會將思考聚焦到“如何確定三角形的第三個頂點”這一關鍵問題上來。

學生再次動手實驗，從不同角度嘗試探究，試圖找到確定三角形第三個頂點的作圖方法。教師及時展示兩種典型方法：一是多次調整兩條邊的位置，找到它們相交的點，也就是三角形的第三個頂點（如圖3）；二是先用圓規量出線段a的長度，以底邊線段c的一個端點為頂點畫一條弧，用同樣的方法量出線段b的長度，以底邊線段c的另一個端點為頂點再畫一條弧，兩條弧相交于一點，再用直尺把這個交點和線段c的兩個端點分別相連，就畫成了一個三角形（如圖4）［2］。

在兩種不同作圖方法的比較辨析中，學生逐步發現，如果把第一種作圖方法中不斷調整兩條邊位置所形成的零散的點連起來，恰好就是第二種作圖方法中兩條弧形成的軌跡（如圖5）。學生在不斷嘗試、思考、調整、想象、交流中，總結出兩種作圖方法之間的共同點，由此確定三角形第三個頂點的位置。學生完整經歷“不斷嘗試—實驗操作—多次調整—大膽想象—建構方法”的學習過程，逐步體會構造三角形的關鍵步驟，即通過兩弧交點來確定三角形的第三個頂點。在有形的實驗操作和無形的思考想象中，學生豐富了對三角形基本特征的認識。同時，在深度思考解決幾何問題的過程中，學生感悟到尺規作圖的獨特價值和意義，發展了直觀洞察力和空間想象力。

二、借尺規作圖實現猜想與推理的融合

數學是一門培養思維能力的學科。史寧中教授指出，會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（“三會”）是發展學生核心素養，體現數學課程育人價值的最終目標。其中會用數學的思維思考現實世界的實質就是推理。推理意識是小學階段發展學生核心素養的關鍵詞之一，對發展學生數學核心素養具有重要作用。

在實際教學中，很多教師會把尺規作圖的教學目標定位在學生是否理解、掌握作圖的方法上，往往忽視作圖中幾何推理的重要價值，致使學生出現知其作法，而不明其理的情況。在教學過程中，教師應引導學生思考如何用尺規工具作圖。首先，要明確作圖對象是什么，作圖的關鍵點在哪里，能初步想象出通過尺規工具畫的草圖；然后，要厘清尺規作圖的具體步驟和操作方法；最后，將作圖的過程有條理地表達出來，同時思考這樣的作圖方法是否正確，得出的結論是否合理，抽象概括出的一般化規律是否適用解決一類相關的數學問題。這樣的作圖學習是一個觀察、想象、操作、推理、驗證、反思的全過程，符合學生的認知規律，有助于培養學生的推理意識、創新意識和探索性思維。

如在教學用尺規作圖探索三角形三邊關系時，教師可以突破以往提供小棒等材料，讓學生動手操作圍一圍、量一量、算一算方法的限制，引入尺規工具作為實驗探索工具，提供一組結構化的實驗材料，根據三角形的圖形特征引導學生先提出實驗猜想，再借助尺規工具進行實驗驗證。

問題 下面哪三條線段能圍成一個三角形？用尺規工具畫一畫（如圖6）。

教師呈現四組典型的實驗資源（如圖7），基于“能圍成”和“不能圍成”兩個維度，讓學生思考“究竟怎樣的三條線段才能圍成一個三角形”。學生作圖并交流。

學生依據實驗資源，在完整的作圖實驗過程中，從初步感知“兩條線段的長度和小于或等于第三條線段時，不能圍成三角形”到發現“延長兩條短邊，使它們的弧能產生交點，就能圍成三角形”，充分經歷了想象、作圖、思考、驗證、說理的學習過程。通過“眼見為實”的具象實驗操作，到無限延長的直觀想象，再到有根有據的推理思考，學生對三角形三邊關系的認識更加全面、清晰、深刻。在尺規作圖的圖像語言、符號語言、數學語言的三重轉換下，學生根據幾何直觀、幾何解釋深入理解了幾何推理的過程。這種先直觀、后推理的方式，讓學生以作圖作為認知載體，從“法”與“理”兩個維度展開思辨，真正達到通過數學學會思考的目的，培養學生的數學理性思維和推理意識，使學生形成數學思考與遷移的能力。

三、借尺規作圖實現思想與文化的浸潤

新課標指出，數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。尺規作圖由于其鮮明的歷史背景，決定了背后蘊藏著豐富的文化要素。重申尺規作圖的文化價值，顯得尤為重要。

1.邏輯探源：從數學高觀點視角分析

尺規作圖與圖形運動有著密切的關聯。從邏輯上看，尺規作圖作為圖形變換的一種手段是成立的。以“作一條與給定線段長度相等的線段”為例，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中要求學生學習時先用刻度尺測量給定線段的長度，再根據長度用刻度尺畫出等長的線段。很顯然，這樣的作圖方法嚴格意義上是“兩條線段的長度近似相等”，與數學的嚴謹性和準確性不吻合。新課標中提出用尺規畫一條線段（A′B′），使它的長度和已知線段（AB）相等。具體作圖過程可以歸納如下。

第一步：畫點A′，用無刻度尺畫一條以A′為端點的射線。

第二步：把圓規張開，使得兩腳之間量出的長度等于線段AB。

第三步：以射線的端點A′為圓心，以已截取的線段AB長為半徑畫弧，交射線于一點，標出點B′。這樣，與線段AB等長的線段A′B′就完成了（如圖8）。

這個作圖過程體現了線段的兩種“運動”，其中，第二步用圓規在射線上截取與線段AB等長的線段，可以看作是平移；第三步用圓規在射線上畫弧的過程，其實質是旋轉變換。這些作圖方法為學生進入初中后，深入學習幾何圖形的性質、定理及運用提供了重要的思想基礎。這也體現了新課標中課程內容的一致性和結構性。

2.文化探源：從數學審美視角分析

數學的發現和發明既是審美的過程，也是塑造美的過程。在小學階段新增尺規作圖內容，不僅體現課程內容的整體性、結構性和連貫性，凸顯其內在精美的數學思維，即思維的變通性、直覺性和概括性，還能引領學生感受尺規作圖中數學思想方法的統一美、作圖形式的結構美、嚴密推理的嚴謹美、作圖痕跡的簡潔美、細致操作的精準美、圖形轉換的和諧美、多樣表達的創造美，彰顯數學獨有的文化魅力，培育學生的數學品格。

小學階段引入尺規作圖對培養學生的幾何直觀、空間想象、推理意識具有重要的價值。因此，教師在教學中不僅要讓學生學會尺規作圖的方法，實現從直觀認識到抽象推理的蛻變，形成初步的推理思辨能力，而且要讓學生感受數學方法的精妙，體會數形結合思想的深遠，在浩瀚的數學歷史長河中，感受數學先輩的精神智慧，了解數學發展的實踐創造，形成良好的數學審美直覺，落實數學學科核心素養，真正發揮小學數學尺規作圖教學的育人功能。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀小學數學［M］.北京：教育科學出版社，2022.

（責任編輯：羅小熒）