合理設計探究問題，用數學的方式育人

余葉軍 楊廣清

大部分教師往往采用有序評講的方式進行習題課的教學，這種方式缺少知識的重新架構、宏觀的視角、整體的思維，與當下大單元教學的觀念背道而馳。要想切實地解決這些問題，習題課教學就要在知識的整體結構、核心內容和重要思想上做文章，讓學生既見樹木也見森林；要以知識為載體，思想方法為核心，提高解決問題的能力為切入點，最大限度地讓學生在課堂學習中承擔主人翁角色，有效體現思維的生長性、深刻性、靈活性、創造性，從而落實立德樹人的根本任務，彰顯數學學科育人的價值。

一、教學背景

本節課是一節“鄉村共同體”聯合示范課，教學對象為一所學校的七年級學生。本節示范課教學目標是學生通過對數軸的再認識，感受數形結合的思想，建立方程的模型，提升數學思考能力，為后續平面直角坐標系的學習作鋪墊。由此明確了本節課的教學理念是在活動中生成，在生成中成長。本節課的教學主線是讓學生說一說、畫一畫、算一算，進而發現問題、提出問題、分析問題、解決問題、歸納總結方法，最后進行相關知識的應用。

二、教學過程

師：同學們，我們已經學習了數軸的相關知識，請你說說你心中的數軸是什么樣子的。

生1：一條有正方向的直線。

生2：還有原點和單位長度。

師：請你畫一條數軸，說說數軸可以幫助我們解決什么問題。

生3：正數、0、負數可以在數軸上有序排列。

生4：可以利用數軸比較數的大小。

設計意圖：學生通過想一想數軸的樣子，在腦海中直觀感受數軸的形象；再通過畫一畫讓這種感受成為現實，也提高了作圖的能力；最后，通過說一說，進一步體現理性思維。

活動探究1? 讀圖（圖1）獲取信息：

師：我們能從圖1中得到哪些信息？

生5：我能得出A、B、C、D四個點表示的數分別是-3、-1、2、3。

生6：這四個數的大小關系從圖中能直接看出。

生7：能求出每個數的絕對值。

師：絕對值的定義是什么？

生8：絕對值表示數軸上的點到原點的距離。

師：那么數軸上點A到點B的距離是多少？

生9：點A到點B的距離是2。

師：你是怎么得出的？

生9：我是從圖中直接看出來的。

師：非常棒！借助數軸，直接看出，幾何直觀，一目了然。請同學們看圖2，此時數軸上點A和點B的距離是多少？還能直接看出來嗎？

學生一臉茫然，隨后陷入沉思，小組交流，教師巡視。

師：有想法了嗎？

生10：AB=b-a。

師：把你的想法和同學們分享一下。

生10：我是借助于圖1，多舉幾個特殊的例子，然后由特殊到一般，歸納出一般性的結論。

師：我發現了有部分同學的結果是a-b，正確嗎？

生11：正確，因為a-b是負數了，距離不能為負數。

師：距離可以用之前學的什么知識來表達？

生12：絕對值。我們可以求a-b的絕對值。

師：那么，我們可不可以把結論的形式統一呢？

生13：AB=[a-b]或[b-a]。

設計意圖：看圖說話是學生將圖形語言轉化為符號語言的重要途徑。這一環節設計了一個開放性的獲取圖形信息的問題，既是對學生數軸知識的再一次喚醒，又是對學生思維能力的再一次提升。教師讓學生用代數式表示線段長，展現不一樣的思考方式，最后通過一個一致性的表達去統一思想，體現了數學結論之美。在滲透數形結合思想的同時，也為后續解決問題提供了生長點。

活動探究2 觀察圖3，回答下列問題：

（1）[4-1]表示哪兩個點之間的距離？[4-（-1）]呢？

（2）你會用式子表示A、C兩點之間的距離嗎？

（3）數軸上點A表示的數是-3，另有一點P表示的數是x，你會用式子表示A、P兩點之間的距離嗎？

（4）你能說說[x+1]表示的含義嗎？

（5）若x表示一個有理數，你能說說[x-1]+[x+3]表示的含義嗎？觀察數軸，你還有什么想法？

師：同學們對哪一個問題疑惑最大？

生14：我們小組對問題（5）疑惑最大。

師：其他小組是否也有同樣的疑惑？舉手示意。

師：問題（5）與問題（4）有聯系嗎？我們的經驗在哪里？可以怎樣變形呢？

生15：式子[x-1]+[x+3]可以變化為[x-1]+[x-（-3）]。

師：很好，離成功不遠了，這樣我們就可以用數學的語言來表達這個式子的含義了。

生16：從數軸上看，我們可以理解為x到1和x到-3之間的距離和。

師：表達得非常準確。我們再用變化的眼光去直觀感受一下，在x變化的過程中，x到1和x到-3之間的距離和怎么變化呢？

生17：利用數軸，我發現x在1和-3之間時距離和最小，最小值為4。所以[x-1]+[x+3]最小值為4，沒有最大值。

師：問題（5）從數的角度很難解決，因為涉及七（下）的一元一次不等式和分類討論的數學思想，難度較大。因此，我們可以根據式子的特征聯想到數軸，通過幾何直觀，利用數形結合來解決。

設計意圖：活動探究2以問題串的形式給學生搭建思維的“腳手架”，讓不同層次的學生都能體會到成功的喜悅，實現自我價值。教師以問題串的形式，讓探究走向縱深，體現了深度教學，促進學生深度學習，培養學生高階思維，讓學生在已有數學活動經驗的基礎上，積極思考，主動利用類比去探究、去構建，激發數學思維活力。

活動探究3 觀察圖4，獲取信息：

師：AC+BC等于多少？

生18：AC+BC=8。

師：若點P在線段AB上，則PA+PB等于多少？

生19：PA+PB等于8。

師：若點P在數軸上，且PA+PB=10，你能求出點P表示的數嗎？

生20：PA+PB=10時，點P有兩個位置。若點P在點A的左側，則點P表示的數是-4；若點P在點B的右側，則點P表示的數是6。

生21：借助前面的學習經驗，我可以設點P在數軸上表示的數是x，因為PA+PB=10，可以得出[x-（-3）]+[x-5]=10，然后分類討論求解。

師：兩位同學經過思考都形成了自己的解題方法，成功利用本節課的知識解決了問題。同學們能否根據圖4，在剛才的基礎上再提出一個問題呢？

生22：若點P在數軸上，求PA+PB的最小值。

生23：若點P在數軸上表示的數是x，當PA+PB有最小值時，這個x的位置確定嗎？

生24：若點P在數軸上，PA+PB+PC有沒有最值？

師：同學們的問題都非常具有創新性和挑戰性。請同學們利用課后時間相互交流，解決問題。

設計意圖：通過活動探究3的學習，學生感受到由特殊到一般、數形結合、分類討論的思想，進一步體會知識間的聯系，建立方程的模型。教師讓學生利用自己的學習經驗提出問題，培養了學生的質疑精神，讓學生自己分析問題，解決問題，帶著問題走向課后，實現由課堂走向課后的教學評價體系，讓評價體系更加完整。

三、教學反思

1.合理設計探究問題，促進學生整體領悟

“雙減”背景下，如何讓學生在課堂學習中獲得更多，在課后自我發展，構建生長型習題課就尤為重要。生長型習題課需要學生對所學的知識有著很好的整體領悟能力，而合理設計探究問題是促進學生整體領悟的一個有效路徑。如活動探究1，教師通過一系列的問題串，不斷地讓學生去回憶數軸的定義、用途，為后續深度探究奠定了堅實的知識基礎。學生通過自己的合理探究，得出了數軸上任意兩點之間的距離表達式，歸納出后續應用的結論。在有序的思考中，學生經歷問題解決的完整思維生長過程，從而達到數學思維經驗化、能力化、成長化。

2.合理設計探究問題，促進學生深度思考

促進學生深度思考要以學生的實際能力為出發點，設計能引領學生思考、有梯度、有價值的問題，讓問題成為思維提升的有效著力點。如活動探究2，以問題串的形式呈現，問題設計層層遞進，探究難度逐步增加，思維要求逐步提升，能力要求逐步提高，一系列的問題全方位地鍛煉了學生的數學思維。探究問題時，不僅要求學生會用數學的眼光去觀察，會用數學的思維去思考，更要會用數學的語言去表達。比如“你能說說[x+1]表示的含義嗎？”這就需要學生有聯系地去學，整體地去想，在活動中去深度探究，在深度學習中體會數學內部是相互聯系的。

3.合理設計探究問題，促進學生質疑評價

學生的質疑是課堂教學寶貴的財富。對于同一個問題，不同的學生往往會用不同的方法去思考，這就需要教師合理設計探究問題，引導學生去提煉、概括，尋找普適性的方法，然后舉一反三，產生遷移。在遷移過程中，教師引導學生對這種方法進行再加工，從中提煉出可以適用于一般的、具有廣泛應用性的數學思想方法。如活動探究3，在前兩個活動探究的基礎上，教師引導學生自主提出問題——“若點P在數軸上，求PA+PB的最小值。”“若點P在數軸上表示的數是x，當PA+PB有最小值時，這個x的位置確定嗎？”這樣的質疑不是一開始就具備的，而是在本節課一個個活動層層探究后產生的，充分說明本節課前面兩個活動探究的學習是有價值的，體現了合理設計探究問題的必要性。學生能夠有效地從數量特征聯想到幾何特征，從而把數的問題轉化為形的問題，創造性地利用形來解決數的問題。在此過程中，學生感受到了成功的喜悅，培養了創新才能，激發創新意識，也進一步體現了數學育人的方式。

（作者單位：1.江蘇省儀征市實驗中學；2.江蘇省儀征市教師發展中心）