伺服驅動系統機械諧振分析及抑制方法研究

王晶晶，陸 宇，劉永康，謝長貴

(1.重慶工程職業技術學院 智能制造與交通學院， 重慶 402260；2.重慶理工大學 車輛工程學院， 重慶 400054)

伺服驅動系統是一種包括驅動電機、傳動機構、負載和控制系統的典型復雜機電系統，它可分為機械系統、電氣系統和聯系二者的耦合磁場3部分。機械諧振的產生是由于系統中傳動機構的彈性使得系統本身存在諧振頻率，隨著伺服驅動系統帶寬的增加，當有含諧振頻率的信號等作用到系統時，通常會使系統發生機械諧振[1-4]。機械諧振的存在會導致在對伺服驅動系統進行轉矩、轉速控制時系統發生振蕩，當系統長期在機械諧振狀態下運行時，不僅會影響系統的控制性能和精度，還可能會損壞傳動機構、燒毀驅動電機，甚至引發工業事故[3-5]。因此，對伺服驅動系統機械諧振進行分析和抑制具有重要的實際應用意義，有利于改善工業應用設備的穩定性、安全性和生產效率，同時為研發高性能伺服驅動產品提供理論和實踐探索。

國內外學者對于伺服驅動系統的機械諧振抑制方法進行了大量的研究，使用的方法一般可分為主動抑制方法和被動抑制方法2種[6]。主動抑制方法即通過主動改變控制器參數或控制器結構消除機械諧振，包括基于狀態觀測器的反饋控制、基于模型預測控制(model predictive control，MPC)、基于PI的控制等高級控制算法[3-11]。被動抑制方法主要是使用低通濾波器或陷波濾波器等抑制機械諧振，但低通濾波器會帶來相位滯后、陷波濾波器對系統參數變化較敏感，容易導致系統動態性能變差[12-14]。于晶等[9]提出一種高階滑模與加速度反饋相結合的控制方法，以解決由于伺服驅動系統中傳動機構剛度有限帶來的機械諧振問題。楊明等[10]提出采用MPC算法代替PI調節器對電機電磁轉矩的輸出進行預測，實現了軸系轉矩的任意限幅，在抑制機械諧振的同時，兼顧了伺服驅動系統的動態響應特性。Szabat等[15]提出基于負載轉矩反饋的抑制方法，通過確定最優慣量比計算得到負載轉矩反饋系數，將擾動力矩檢測出來反饋至電流環給定，從而達到抑制機械諧振的效果。龔文全等[16]使用改進型陷波濾波器進行機械諧振抑制，以減小陷波器引入的相位滯后。

為了研究伺服驅動系統的機械諧振的機理，提高系統的控制品質，首先建立雙慣量伺服驅動系統模型，然后從引起機械諧振的原因、機械諧振影響因素2個方面，對雙慣量伺服驅動系統機械諧振進行分析，最后采用MPC方法對雙慣量伺服驅動系統機械諧振進行抑制，并通過仿真和試驗驗證MPC控制器的有效性。

1 伺服驅動系統建模

伺服驅動系統在許多工業領域如數控機床、機器人、電動汽車驅動系統、高端試驗裝備，以及國防工業中應用十分廣泛，其轉矩傳遞通常由多個不同的機械傳動機構完成。如圖1所示為一個典型的伺服驅動系統結構，負載通過聯軸器、齒輪箱、傳動軸等與驅動電機相連。

圖1 伺服驅動系統結構示意圖

為了便于分析，忽略圖1中間傳動機構的影響，同時忽略電機的電磁阻尼和電磁剛度，將電機、中間傳動機構和負載簡化為2個集中的轉動慣量元件，得到雙慣量伺服驅動系統模型，如圖2所示。該模型中電機轉軸通過彈性軸與負載連接，系統輸入為電機端電磁轉矩Te直接作用于電機轉軸，傳遞轉矩Ts與負載轉矩TL共同作用決定負載端輸出轉速。

圖2 雙慣量伺服驅動系統模型示意圖

圖2所示的雙慣量伺服驅動系統的動力學方程可以表示為[6]：

(1)

式中：θe、θL分別為等效電機軸和負載的轉角；Je、JL分別為電機和負載的轉動慣量；C為傳動軸的阻尼系數；K為傳動軸的剛度系數；ωe、ωL分別為電機轉速和負載轉速。

由式(1)可以得到雙慣量伺服驅動系統結構框圖，如圖3。

圖3 雙慣量伺服驅動系統結構框圖

因此，根據式(1)和圖3，可以寫出雙慣量伺服驅動系統電機轉速和負載轉速到電磁轉矩的傳遞函數為[6]：

(2)

(3)

為了對雙慣量伺服驅動系統機械諧振進行分析，選取系統參數如表1所示。

表1 雙慣量伺服驅動系統參數

2 伺服驅動系統機械諧振分析

2.1 伺服驅動系統的機械諧振產生原因

在雙慣量伺服驅動系統中，中間軸的彈性使其自身存在一定的諧振頻率，諧振頻率的存在會給系統帶來機械諧振[17]。進一步從理論上分析機械諧振產生的原因，首先對式(2)(3)電機轉速、負載轉速到電磁轉矩的傳遞函數進行分析，可知傳遞函數中包括慣性環節和二階振蕩環節，慣性環節代表了系統的剛性連接部分，二階振蕩環節代表了系統的彈性連接部分。令G(1)為慣性環節，G(2)為二階振蕩環節，其表達式為[5]：

(4)

(5)

對式(5)可以進一步表示為：

(6)

式中：ωb和ωa分別為系統的諧振頻率和反諧振頻率；ξb和ξa分別為系統的諧振阻尼系數和反諧振阻尼系數。

低頻段由于s較小，二階振蕩環節約為1，即系統的傳遞函數可以簡化為G(1)，這時可以把系統看成剛性連接；而中高頻段系統的狀態由二階振蕩環節的分子和分母共同決定，s平面存在共軛零極點，共軛零極點的存在是導致系統產生機械諧振的根本原因。當考慮電機端轉速反饋時的傳遞函數時，假設式(5)中的分子、分母分別為零，可以解得雙慣量伺服驅動系統的共軛零點(即反諧振點)、共軛極點(即諧振點)，其表達式為[2]：

(7)

(8)

然后由式(1)可以得到所建立的雙慣量伺服驅動系統中輸入量電磁轉矩到輸出量電機轉速的波特圖，如圖4所示。從圖4中幅值圖可以看出，系統存在一對諧振點和反諧振點，即系統中傳動軸會給系統帶來共軛零極點，使得系統產生機械諧振。同時由圖4中相位圖也可以看出，在諧振幅值附近，系統開環增益上升到0 dB以上，此時與系統相位穿越頻率重疊，根據經典控制理論的穩定性判斷，系統不穩定，會產生諧振現象。

圖4 電機端轉速反饋時波特圖

2.2 伺服驅動系統的機械諧振影響因素分析

由2.1節分析可知，系統機械諧振頻率與電機、負載的轉動慣量和傳動軸的剛度系數有關，同時考慮傳動軸阻尼系數可能對諧振的影響，本節選取慣量比、傳動軸剛度系數和傳動軸阻尼系數3個指標，分析雙慣量伺服驅動系統的機械諧振，其中慣量比RI的定義為負載慣量比上電機慣量[18]，即：

(9)

傳動軸的扭轉阻尼主要為材料阻尼，根據李潤方等的研究，傳動軸的阻尼系數可以表示為[19]：

(10)

式中：ξs為阻尼比，一般為0.005～0.075。

2.2.1不同慣量比對機械諧振影響分析

假設雙慣量伺服驅動系統的慣量比取值如表2所示，系統其余參數不變，可以得到如圖5所示的不同慣量比下負載端轉速到電磁轉矩的波特圖。從圖5中分析可知，慣量比的改變會影響系統的諧振頻率，隨著慣量比的增大，系統諧振頻率會相應減小。

表2 雙慣量伺服驅動系統慣量比

圖5 不同慣量比下電機端轉速反饋時的波特圖

2.2.2不同傳動軸剛度系數對機械諧振影響分析

雙慣量伺服驅動系統中，傳動軸剛度系數是分析系統機械諧振不可或缺的一個重要因素。這里假設雙慣量伺服驅動系統按表3所示的值對傳動軸剛度系數進行取值，且不改變系統其余參數，可以得到如圖6所示的、不同傳動軸剛度系數下負載端轉速到電磁轉矩的波特圖。由圖6可知，傳動軸剛度系數的變化會使得系統的諧振頻率發生改變，系統諧振頻率隨著傳動軸剛度系數的增加而增加。

表3 雙慣量伺服驅動系統傳動軸剛度系數

圖6 不同傳動軸剛度系數下電機端轉速反饋時的波特圖

2.2.3不同傳動軸阻尼系數對機械諧振影響分析

第四，數據庫的事務管理與運行管理功能。該功能特指在建立、運用與維護數據庫的同時對數據庫管理系統進行統一管理和控制，以此確保數據的安全性、完整性與多用戶并發使用性以及發生故障后的系統恢復性。

最后，分析傳動軸阻尼系數對系統機械諧振的影響。假設傳動軸阻尼系數分別取3個不同的值，如表4所示，同時系統其余參數不變，可以得到如圖7所示的、不同傳動軸阻尼系數下負載端轉速反饋時的波特圖。對圖7進行分析可知，傳動軸阻尼系數的變化對系統諧振頻率影響不大，但隨著阻尼系數的增加，諧振頻率的諧振峰值會明顯下降。一般來說，彈性傳動軸阻尼系數較小，因此，目前大多數對機械諧振抑制方法進行研究時都忽略了傳動軸的阻尼。

表4 雙慣量伺服驅動系統傳動軸阻尼系數

圖7 不同傳動軸阻尼系數下電機端轉速反饋時的波特圖

3 基于MPC伺服驅動系統機械諧振抑制方法

MPC方法基本原理是根據系統的預測模型、當前時刻的狀態和未來的控制量預測系統未來一段時域的輸出，通過滾動求解滿足目標函數和各種約束的優化問題，得到系統實際控制輸入量，從而實現控制目的[20]。為了對雙慣量伺服驅動系統機械諧振進行抑制，基于MPC方法獲得系統控制輸入量Te，控制的目標是有效地抑制系統的機械諧振，同時使系統具有良好的動態性能，即系統輸出轉速能很好地跟蹤其參考值。圖8為伺服驅動系統MPC控制框圖，伺服驅動系統處于速度控制模式。

圖8 伺服驅動系統MPC控制框圖

3.1 預測模型建立

由式(1)可以得到雙慣量伺服驅動系統的連續系統狀態空間方程[10]：

(11)

使用前向歐拉法對式(11)進行離散化處理，得到離散系統的狀態空間方程如下:

(12)

式中：k為當前采樣時刻，k+1為下一個采樣時刻。

3.2 目標函數設計

(13)

設定預測時域為Np，控制時域為Nc，Nc

Y(k)=Φη(k)+ΨΔU+ΓΔD

(14)

式中，

考慮系統控制目標為在不超過最大允許電磁轉矩的前提下實現轉速的精確跟蹤，設計優化目標函數為：

(15)

式中：Yref(k+i|k)為系統輸出變量的參考值，(k+i|k)表示以k時刻的系統輸出量來預測k+i時刻的值，其中i=1，2，…，Np；ΔU(k+i)為k+i時刻系統控制輸入增量，即電磁轉矩增量，其中i=0，1，…，Nc-1；Q和R為權重矩陣。

3.3 約束條件設計

系統需要對控制輸入的電磁轉矩、電磁轉矩增量及系統輸出施加約束條件，控制輸入及其增量約束條件為：

(16)

式中：umin和umax分別為電磁轉矩的最小值和最大值；Δumin和Δumax分別為電磁轉矩增量的最小值和最大值。

系統輸出約束條件為：

γmin≤γ(k+i)≤γmax

(17)

式中：γmin和γmax分別為系統輸出的最小值和最大值。

3.4 優化求解

系統優化求解問題即在預測時域里，式(15)在滿足式(16)(17)的約束條件下達到最小。即在每個控制周期里需要解決以下問題：

(18)

式中：Umin和Umax分別為控制量的最小值集合和最大值集合；ΔUmin和ΔUmax分別為控制增量的最小值集合和最大值集合；S=K?Im；Ut=1Nc?u(k-1)，1Nc為Nc行的列向量，u(k-1)為k-1時刻的實際控制量，?為克羅內克積；

通過求解二次規劃問題，可以得到控制時域內的系統控制輸入增量為：

(19)

將控制輸入增量的第一項Δu(k)取出，即可得到當前時刻系統控制輸入為：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(20)

3.5 仿真及結果分析

為了驗證MPC方法對雙慣量伺服驅動系統的機械諧振抑制的有效性，并與基于PID方法的控制效果進行比較，在Matlab/Simulink中建立了系統仿真模型，如圖9所示。伺服驅動系統主要參數如表1所示。

圖9 伺服驅動系統仿真模型示意圖

MPC控制器主要參數設為：預測時域Np=10，控制時域Nc=3，權重取值Q=0.5、R=1，系統控制輸入的電磁轉矩范圍|Te|≤5 N·m，系統輸出的轉速范圍|γ|≤18 000/π r/min；PID控制器參數設為：比例系數0.1，積分系數0.6，微分系數0.000 1。

當給定參考轉速0～500～1 000 r/min，且在1.4 s加入0.5 N·m的負載扭矩時，圖10為電機端轉速變化的仿真結果，由圖10可知，MPC方法下，轉速的響應時間和超調量均優于PID方法，其中MPC控制下的超調量約為0.5%、PID控制下的超調量約為2%。對系統加入負載扭矩干擾后，MPC方法下轉速能夠快速調節至參考轉速，這說明其抗干擾能力好。圖11、12為傳遞轉矩Ts的變化曲線，由圖可知，在電機啟動、加速及負載轉矩突變時，中間傳遞轉矩都產生了較大的振蕩，使用PID方法時，傳遞轉矩的振蕩總體上大于MPC方法時。仿真結果說明，使用MPC方法抑制機械諧振有效且達到了預期控制效果。

圖10 MPC和PID方法下轉速階躍響應時電機端轉速曲線

圖11 MPC和PID方法下轉速階躍響應時傳遞轉矩Ts變化曲線

圖12 MPC和PID方法下轉速階躍響應時傳遞轉矩Ts變化曲線(局部放大圖)

4 試驗與結果分析

為了進一步驗證MPC方法抑制伺服驅動系統機械諧振的有效性，利用如圖13所示的試驗臺進行了基本的試驗。試驗臺架選取永磁同步電機作為伺服驅動系統的執行機構，完整的臺架系統包括驅動電機、電機驅動器、聯軸器、轉矩轉速傳感器、磁粉制動器、直流電源、上位機及控制軟件等。其中驅動電機的額定功率為750 W，額定轉矩為2.4 N·m，轉動慣量為2.4×10-4kg·m2；聯軸器的剛度為1 600 N·m/rad。

圖13 伺服驅動系統試驗臺

當給定參考轉速為0～100～200 r/min，負載扭矩為0時，圖14為轉速階躍響應時電機端轉速試驗結果。

圖14 MPC和PID方法下電機端轉速曲線(0～100～200r/min)

由圖14可知，與PID方法下的轉速試驗結果相比，MPC方法下的轉速超調量更小；且PID方法下轉速會產生較大的振蕩，在100 r/min穩態階段的振蕩范圍為87～111 r/min，利用MPC方法能有效的減小系統的振蕩，在100 r/min穩態階段的振蕩范圍為98～102 r/min，這和仿真試驗結果的結論基本一致，說明MPC方法抑制機械諧振的有效性。圖15為給定參考轉速為0～500～1 000 r/min，負載扭矩為0時電機端轉速試驗結果，從圖15可以看出，MPC方法下的響應時間優于PID方法，電機啟動階段PID方法的轉速振蕩較大，說明PID方法動態性能較差。

圖15 MPC和PID方法下電機端轉速曲線(0～500～1 000 r/min)

為了驗證MPC方法下系統的抗干擾能力，并與PID控制方法進行對比，給定參考轉速200 r/min，當電機轉速進入穩態工況后，使用磁粉制動器突加0.5 N·m的負載扭矩，如圖16所示為突加負載時電機端轉速試驗結果。由圖16可知，突加負載后，PID方法下電機轉速振蕩較大，而MPC方法下電機轉速波動較小，抗干擾能力優于PID方法，這與仿真試驗得到的結論一致。

圖16 MPC和PID方法下突加負載時電機端轉速曲線

5 結論

1) 簡化典型伺服驅動系統結構，建立了包含電機和負載的雙慣量伺服驅動系統模型；從機械諧振產生原因和機械諧振影響因素2個方面，對雙慣量伺服驅動系統的機械諧振進行分析，由分析結果可知，相比于系統傳動軸阻尼系數，慣量比和傳動軸剛度系數對雙慣量伺服驅動系統機械諧振影響更為顯著。

2) 基于雙慣量伺服驅動系統模型設計了模型預測控制器，并與PID方法的控制性能進行了對比；仿真和試驗結果表明，MPC方法能有效抑制系統機械諧振的影響，其控制效果優于PID方法。