賞析一次函數(shù)圖象 領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想

江俊俊

“數(shù)形結(jié)合思想”就是把直觀的圖形和抽象的數(shù)結(jié)合起來，建立數(shù)和形之間的關(guān)系，以形輔數(shù)，以數(shù)定形，利用數(shù)與形之間的相互關(guān)系來研究問題的思維方法. 該思想為探究一次函數(shù)相關(guān)問題起到了保駕護(hù)航的作用.

一、用“形”探“數(shù)”

例1 （2022·貴州·邵陽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A [32， m]和點(diǎn)B [72， n]是直線[y=kx+b（k<0）]上的兩點(diǎn)，則[m]，[n]的大小關(guān)系是（）.

A. [mn] C. [m≥n] D. [m≤n]

解析：根據(jù)點(diǎn)在直線上的位置來判斷縱坐標(biāo)之間的大小關(guān)系，滲透了用“形”探“數(shù)”的思維方法. 由[k<0]可知直線從左向右看是下降的，根據(jù)點(diǎn)在直線上的位置，由[32>72]，可知點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，因此點(diǎn)A的縱坐標(biāo)小于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，即[m

例2 （2022·四川·德陽）如圖1，已知點(diǎn)A（-2，3），B（2，1），直線[y=kx+k]經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0）. 試探究：直線y = kx + k與線段[AB]有交點(diǎn)時(shí)[k]的變化情況，猜想[k]的取值范圍是.

解析：觀察圖象，若經(jīng)過點(diǎn)P的直線與線段[AB]有交點(diǎn).

當(dāng)直線[y=kx+k]經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0），A（-2，3）時(shí)，

[-2k+k=3]，[∴k=-3]；

當(dāng)直線[y=kx+k]經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0），B（2，1）時(shí)，[2k+k=1]，[∴k=13].

由此猜想：直線y = kx + k與線段[AB]有交點(diǎn)時(shí)，-3 ≤ k ≤ [13]. ?故填-3 ≤ k ≤ [13].

二、以“數(shù)”定“形”

例 3（2022·安徽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)[y=ax+a2]與[y=a2x+a]的圖象可能是（）.

解析：觀察[y=ax+a2]與[y=a2x+a]，發(fā)現(xiàn)當(dāng)[x=1]時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值都是[a2+a]，說明兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，[a2+a]），可排除A項(xiàng)和C項(xiàng)；若[a>0]，則一次函數(shù)[y=ax+a2]與[y=a2x+a]都是增函數(shù)，四個(gè)選項(xiàng)均不成立，故[a>0]這種情形不存在. 當(dāng)[a<0]時(shí)，則一次函數(shù)[y=ax+a2]是減函數(shù)，交[y]軸于正半軸，[y=a2x+a]是增函數(shù)，交[y]軸于負(fù)半軸，且兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，排除B項(xiàng). 故選D.

例4 （2022·浙江·臺(tái)州）吳老師家、公園、學(xué)校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學(xué)校的距離分別為400 m，600 m. 他從家出發(fā)勻速步行8 min到公園后，停留4 min，然后勻速步行6 min到學(xué)校. 設(shè)吳老師離公園的距離為[y]（單位：[m）]，所用時(shí)間為[x]（單位：[min）]，則下列表示[y]與[x]之間函數(shù)關(guān)系的圖象中，正確的是（）.

解析：吳老師從家出發(fā)勻速步行8 min到公園，說明步行速度為400 ÷ 8 = 50 （m/min），則吳老師與公園的距離與時(shí)間的關(guān)系為y = 400 - 50x（0 ≤ x ≤ 8），吳老師從家出發(fā)勻速步行8 min到公園，則[y]由400變?yōu)?；到公園后，停留4 min，說明吳老師與公園之間的距離為0，沒有變化，其圖象是x軸上的一條線段（8 ≤ x ≤ 12）. 從公園步行6 min到學(xué)校，其速度為600 ÷ 6 = 100 （m/min），吳老師離開公園的距離隨著時(shí)間的增加而增加，當(dāng)步行18 min時(shí)，[y]的值為600. 對(duì)照給出的函數(shù)圖象，如選項(xiàng)C所示. 故選C.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★解題時(shí)間：10分鐘

（2022·新疆）A，B兩地相距30 km，甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地，其中甲先出發(fā)1 h. 圖2是甲、乙行駛路程[y甲]（km），[y乙]（km）隨行駛時(shí)間[x（h）]變化的圖象，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為

km/h；（2）分別求出[y甲]，[y乙]與[x]之間的函數(shù)解析式；（3）求出點(diǎn)[C]的坐標(biāo)，并寫出點(diǎn)[C]的實(shí)際意義. （答案見第27頁）

（作者單位：江蘇省南通市崇川初級(jí)中學(xué)）