神奇的線段垂直平分線

夏明

沈陽新民市盧家屯學校孫艷玲校長的直播課《利用垂直平分線進行邊角轉化》，選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在引領教師專業發展，服務學生自主學習，減輕學生學業負擔。

線段垂直平分線的神奇之處在于它能把角平分線、等腰三角形、軸對稱串在一起，形成一條神奇的知識線. 觀看了孫艷玲校長的直播課《利用垂直平分線進行邊角轉化》，同學們會對線段垂直平分線有更明確的認識.

知識關聯

1. 若已知點P在線段AB的垂直平分線上，則必連接PA，PB，可得PA = PB，構成等腰三角形，得到角平分線，在等腰三角形中，用角平分線的性質解決更深入的問題.

2. 通過PA = PB，可得點P在線段AB的垂直平分線上，再結合其他條件確定點P的位置，繼而解決等腰三角形存在性問題中以已知線段為底的頂點位置的確定.

3. 線段垂直平分線是線段的對稱軸，可以利用勾股定理，結合翻折問題和方程思想解決相關問題.

真題呈現

例1 在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D，E，F分別在AB，AC，BC上，且AD = AE，CD為EF的中垂線，求證：BF = 2AD.

解法1：如圖1，連接DE，DF，作DG⊥BC于G.

∵DC為EF的中垂線，

∴DE = DF，CE = CF，DC⊥EF，∴∠1 = ∠2.

∵∠A = 90°，∴DA⊥AC. ∵DG⊥BC，∴DA = DG.

∵DE = DF，∴Rt△ADE ≌ Rt△GDF（HL），∴AE = GF.

∵AD = AE，∴AD = DG = GF. ∵∠A = 90°，AB = AC，∴∠B = ∠ACB = 45°.

∵∠DGB = 90°，∴∠BDG = 45°， ∴∠BDG = ∠DBG，∴DG = BG，∴DG = BG = GF，

∴DG = ?[12]BF，∴AD = [12]BF，即BF = 2AD.

解法2：如圖2，連接DE，DF，延長BA到G，使GA = DA. 連接GE，則AE垂直平分DG，得到GE = DE = DF，易得∠G = ∠ADE = ∠B = ∠ACB = 45°，且DC平分∠EDF，CD平分∠ACB，可證△DEG≌△BDF，得出DG = BF，進而得到BF = 2AD.

反思：上述兩種方法都從線段垂直平分線入手，構造等腰三角形，并結合“三線合一”得出結論. ?解法2還運用了“截長補短”的數學思想.

例2 已知平面內點A（0，2），B（2，0），（1）求點A，B所在直線的解析式；（2）坐標軸上是否存在一點C，使△ABC為等腰三角形？

解析：（1）易得y = -x + 2.

（2）可分三種情況：①若AB = AC，則以A為圓心、AB長為半徑畫圓，與坐標軸交于點C1，C2，C3，C4；②若AB = BC，則以B為圓心、AB長為半徑畫圓，與坐標軸交于C5，C6，C7，C8；③若AC = BC，線段AB的中垂線經過點O，點O與C9重合. 故有9個點使△ABC為等腰三角形.

反思：第二問中的第三種情況，確定點C的位置就是利用了線段垂直平分線的判定.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：８分鐘

1. A，B兩點表示在一條東西走向公路的同旁的兩所學校，以公路所在直線為x軸建立如圖4所示的平面直角坐標系，且點A的坐標是（2，2），點B的坐標是（7，3）. （1）一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點C，使點C到A，B的距離相等？如果有，請用尺規作圖找出該點，保留作圖痕跡，不求該點坐標. （2）若在公路邊點P處建一游樂場，使游樂場到兩校距離之和最小，試通過作圖在圖4中找出建游樂場的點P的位置，并求出它的坐標.

2. 如圖5，在△ABC中，點D為BC的中點，點E，F分別是AB，AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE + CF > EF. （答案見第27頁）

（作者單位：大連市第七十一中學）