跨越300年的數學傳奇：費馬大定理

劉新亮 林開亮

近日熱播的電視連續劇《天才基本法》極大地激發了青少年觀眾學習數學的熱情，劇情中特別提到著名的費馬大定理。費馬大定理是數學史上光輝燦爛的一頁，讓我們一起來詳細了解一下這個定理吧！

“業余數學家之王”：費馬

一般認為，現代數論的創始人是費馬（1601—1665年）。他是法國數學家，但其主業是律師，數學是他的業余愛好。由于他在數學的許多分支如數論、微積分、解析幾何、概率都有根本性貢獻，被后人冠冕為“業余數學家之王”。

事實上，在17世紀初，數學這一學科剛剛從歐洲長達千年的中世紀黑暗時代中蘇醒過來，并不受重視。當時，整個歐洲國家只有牛津大學設有專門的數學教授職位（始于1619年），所以17世紀的數學家大多數是業余的。而費馬，正是其中最出類拔萃的一個。

費馬大定理的誕生

費馬數論研究工作的源泉，來自古希臘數學家丟番圖（大約生活在200—284年）的一部著作——《算術》。這部書共有13卷，但只有6卷留存于世。

1621年，法國數學家貝切特（1581—1638年）將《算術》譯成了拉丁文。除此之外，貝切特還編輯了一本數學趣味謎題集，收入許多著名的謎題，其中之一是砝碼問題：“最少需要多少個砝碼，可以在天平上稱出1克到40克之間任何整數克的重量？”

丟番圖的《算術》其實是一本問題集。其中有100多個問題，丟番圖對每個問題都給出了詳盡的解答。但費馬感興趣的是跳出原題、觸類旁通，去思考和解決一些相關的、更加微妙的問題。

勾股定理示意圖

正如費馬所說，在這個“想前人之未曾想”的過程中，他“發現了許多極優美的定理”。著名的費馬大定理，就是這樣誕生的。

費馬大定理到底講了什么？

在《算術》第2卷中，丟番圖討論了勾股數，也就是方程x2+y2=z2的正整數解。例如：（x，y，z）=（3，4，5）就是最簡單的一組勾股數，即我們常說的“勾三股四弦五”。

費馬讀到丟番圖的這一段討論時，突發奇想，如果將該方程中的指數2替換成3會如何呢？費馬發現，此時的方程x3+y3=z3不再有正整數解。更進一步，他將方程中的指數3替換成任意一個更大的整數n，得到方程xn+yn=zn。

費馬得出以下一般結論：當n大于2時，方程xn+yn=zn沒有正整數解。

他在《算術》這一段的空白處寫道：“對此命題，我有一絕妙證明，可惜此處空白太小，無法寫下。”這一行簡短的評注，引起了后世許多數學家的強烈興趣。但誰也不知道費馬所寫的“絕妙證明”究竟是怎樣的。費馬本人在1640年給出了n=4時的證明，而n=3時的證明是瑞士數學家歐拉（1707—1783年）在100多年后（1758—1770年間）才給出的。

為什么350年后才有定論？

那么，當n等于其他正整數時呢？此后，歷史上著名的數學家幾乎都參與了對這一命題的證明，但在長達350多年的時間里始終懸而未決。

直到1995年，費馬的上述論斷才被英國數學家懷爾斯（1953—）證明。但懷爾斯精彩絕倫的證明，絕非費馬當時所能理解的那類證明。因為懷爾斯用到了近代數論最前沿的思想、語言和技術，經過8年、用130頁的篇幅才證明了費馬大定理。

證明費馬大定理，是懷爾斯兒時的夢想。如他所說：“對每個人而言，實現童年的夢想，富有奇妙的魔力。只有極少數人能夠美夢成真，而我就是其中一個幸運兒。”

也許有人會問，這么多數學家花費大量時間證明一個命題，意義是什么呢？其實他們證明費馬大定理的過程，是不斷開拓數學新領域的過程。例如，歐拉證明費馬大定理n=3時，發明了虛數，擴展了數域，之后虛數在信息學等多個領域發揮重要作用。

費馬在空白處寫下那段話時，未必知道自己的研究有什么用，但是后世的研究者已經將其發揮出更大的效用。因此，時至今日，費馬大定理穿越將近400年的時間，依然有其獨特的魅力！