試題洞明皆學問 “生”動溯源即文章

林鳳梅 蔡海濤

［摘? 要］ 研究近年的高考數(shù)學試題，發(fā)現(xiàn)比較大小的問題頻頻出現(xiàn).文章以一道2021年高考試題為例，引導學生思維“動”起來，嘗試多種思路分析，挖掘解法的背景，總結(jié)歸納一般求解策略，突破解決該問題的難點.

［關(guān)鍵詞］ 高考試題；比較大小；探本溯源

高考試題是命題專家團隊的智慧結(jié)晶，具有規(guī)范性、權(quán)威性和科學性，認真研究高考試題的重要性不言而喻. 每一道高考試題往往都是一個精彩的世界，它除了考查學生的知識、能力、思想、素養(yǎng)，具有較強的選拔功能外，還對中學教學起到了積極的導向和促進作用.通過研究近年的高考數(shù)學試題，細細地品味，不知不覺會感嘆高考試題演變的趨勢，會流連于試題所蘊含的深刻背景，會癡迷在各種精妙的解法里，真是越品越有味，題題都精彩.

筆者研究近年高考試題，發(fā)現(xiàn)比較大小的問題頻頻出現(xiàn)，無疑是高考命題的一個熱點考向，如2021年高考全國乙卷理科第12題、2021年高考全國乙卷文科第12題、2021年新高考Ⅰ卷第7題、2020年高考全國Ⅰ卷理科第12題、2020年高考全國Ⅱ卷理科第11題、2020年高考全國Ⅱ卷文科第12題、2020年高考全國Ⅲ卷理科第12題、2020年高考全國Ⅲ卷文科第10題、2019年高考全國Ⅰ卷理（文）科第3題、2019年高考全國Ⅱ卷理科第6題、2019年高考全國Ⅲ卷理科第11題、2019年高考全國Ⅲ卷文科第12題等.這類試題主要考查冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性和創(chuàng)新性.這類試題往往需要構(gòu)造一個與待證不等式相關(guān)的函數(shù)，進而利用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性、最值來解決，學生解決該問題的難點主要在于如何構(gòu)造函數(shù).本文從一道2021年的高考題談起，研究這類問題的破解之道.

[?]試題呈現(xiàn)

（2021年高考全國乙卷理科第12題）設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1.則（? ）

A. a

C. b

分析：本題考查大小比較問題，這類問題利用近似估值計算往往無法解決，難度較大，難點是將各個式子的共同量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小. 通過對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的研究不難對a，b的大小做出判定，由a=2ln1.01=ln1.012=ln（1+0.01）2=ln（1+2×0.01+0.012）>ln1.02=b，得b

[?]解法分析

解法1：令f（x）=ln

-x+1，則在x∈（1，+∞）內(nèi)，f′（x）=-<0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以f（）

令g（x）=2ln

-x+1，則在x∈（1，3）內(nèi)，g′（x）=>0，所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)單調(diào)遞增，所以g（）>g（1）=0. 所以a>c.

綜上，a>c>b.

評析：解法1先令=x，再把a，b用x表示出來，從而構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln

-x+1與g（x）=2ln

-x+1，利用函數(shù)導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f（1）=0，g（1）=0得c與a，b的大小關(guān)系. 這種構(gòu)造函數(shù)的方法，即先取一個量為x，其他量用x表示出來，從而實現(xiàn)函數(shù)構(gòu)造.

解法2：令f（x）=2ln（1+x）-+1，則f（0）=0，f′（x）=-=.

因為1+4x-（1+x）2=2x-x2=x（2-x），所以當01+x，f′（x）>0，所以f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（0.01）>f（0）=0，即2ln1.01>-1，即a>c.

令g（x）=ln（1+2x）-+1，則g（0）=0，g′（x）=-=.

由于1+4x-（1+2x）2=-4x2，當x>0時，1+4x-（1+2x）2<0，即g′（x）<0，所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以g（0.01）b.

綜上，b

評析：解法2將0.01換成x，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2ln（1+x）-+1，g（x）=ln（1+2x）-+1，利用函數(shù)導數(shù)分析其單調(diào)性，結(jié)合f（0）=0，g（0）=0即可得出c與a，b的大小關(guān)系. 解法2與解法1的思路類似，區(qū)別之處是解法2先對式子進行了變形，使構(gòu)造的函數(shù)比較簡潔.

解法3：令f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=-1，顯然f（0）=g（0）=h（0）=0，a=f（0.01），b=g（0.01），c=h（0.01），f′（x）=，g′（x）=，h′（x）=. 當x∈（0，0.01）時，f（x），g（x），h（x）單調(diào)遞增，易知1+2x>>1+x. 又f（0）=g（0）=h（0）=0，從函數(shù)圖像可知，在區(qū)間［0，0.01］內(nèi)，因為起點的函數(shù)值相同，增長速度大的終點的函數(shù)值更大，所以由f（x），g（x），h（x）的增長速度可知g（0.01）

評析：解法3類似于解法2的思路，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=-1，比較三個函數(shù)導數(shù)值的大小得到f（x），g（x），h（x）的增長速度大小，可得c與a，b的大小關(guān)系.

[?]背景溯源

本題的常規(guī)解法如上述三種解法，繼續(xù)探究會發(fā)現(xiàn)其背景深厚，內(nèi)涵豐富，別具匠心.

背景1：貝努利不等式.

利用貝努利不等式（1+x）α≥1+αx（α≥2，x>-1），有（1+0.01）2>1+2×0.01=1.02，所以a>b.

背景2：泰勒展開式.

根據(jù)泰勒展開式有l(wèi)n（1+x）=x-+-…，-1=x+x2+x3+…=x-x2+x3-…

則a=2ln（1+0.01）=2

0.01-+-…

=0.02-0.012+×0.013-…

b=ln（1+0.02）=0.02-+-…=0.02-0.01×0.02+-…

c=-1=×0.04-×0.042+×0.043-…=0.02-0.01×0.02+-…

綜上，b

背景3：常見不等式“l(fā)n（1+x）≤x（x≥0）”的加強.

由解法2知，當x≥0時，g（x）=ln（1+2x）-+1≤0，所以ln（1+x）≤-1；又-1≤x，所以不等式“l(fā)n（1+x）≤-1≤x”是“l(fā)n（1+x）≤x（x≥0）”的加強.

[?]解后反思

1. 同構(gòu)視角構(gòu)造函數(shù)

同構(gòu)式不等式是指除了變量不同， 其余地方均相同的不等式［1］. 在大小比較問題中，如何構(gòu)造函數(shù)是個難點，常用方法是先化同構(gòu)式.如以上三種解法都是先比較幾個式子的結(jié)構(gòu)特點，往往選擇一個較簡單或是與其他有關(guān)聯(lián)的式子，用變量x替換后，再把其他式子也用x表示出來，進而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).

同構(gòu)變形常用的方法有：相同變量放一邊；運算形式變相同；指數(shù)、對數(shù)混合的一般統(tǒng)一化為以e為底的對數(shù).

2. 歸納方法領(lǐng)悟思想

本題解決難點是不能將不同形式表示的量轉(zhuǎn)化為同一類型的表達形式，恰當?shù)貥?gòu)造函數(shù)，解題困惑的原因在于無法合理應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)與方程思想.這啟發(fā)教師應(yīng)將理性思維的培養(yǎng)貫穿教學過程，強調(diào)數(shù)學建模的過程教學，加強代數(shù)式合理變形的訓練，關(guān)注一題多解，加強思想方法的滲透.

3. 聯(lián)想類比揭示本質(zhì)

波利亞指出：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”不少學生解題后，校對好答案就“萬事大吉”，很少適度進行聯(lián)想，包括部分教師教學時往往也是就題論題，淺嘗輒止，缺乏對題目的深層挖掘.特別是高考這樣經(jīng)典的試題，往往意蘊深遠，解題后嘗試多問“為什么”，適度進行聯(lián)想、類比、深化，將會透過表象發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，長此以往積累解題經(jīng)驗，以達到“做一題、通一類”的效果，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］? 溫伙其. 構(gòu)造函數(shù) 破解大小比較［J］. 中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2020（08）：22-24.