對角互補不要怕 雙垂旋轉巧轉化

毛麗麗

對角之和是180°的四邊形叫做對角互補四邊形，通常被稱為對角互補模型.作為圖形與幾何領域的典型圖形，對角互補模型常常搭配哪些條件，常常和哪種圖形同時出現，解題的常見策略又是什么呢？

一、典例解析

例 （2021·重慶B卷）如圖1，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為射線BD上一點，連接EF. 將線段EF繞點E逆時針旋轉60°得到線段EG，連接FG. 若E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：BE + BH = [3]BF.

分析：本題除∠ABC和∠EFH互補外，還有一個“秘密武器”就是對角線BD平分∠ABC，充分利用角平分線的特性，借助作雙垂線或旋轉構造全等三角形即可解決問題.

解法1：如圖2，過點F作FM⊥BA于M，FN⊥BC于N，

∴∠FME = ∠FNH = 90°，

∵BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∵∠ABC = 60°，

∴FM = FN，∠MFN = 120°，

∵∠EFH = 120°，∴∠MFE = ∠NFH，∴△FME ≌ △FNH，

∴ME = NH，∴BE + BH = BM - ME + BN + NH = BM + BN.

在△FBM和△FBN中，∠FMB = ∠FNB = 90°，FB = FB，∠FBM = ∠FBN = [12]∠ABC = 30°，∴△FBM ≌ △FBN，

∴BM = BN = BF·cos30° = [32]BF，∴BE + BH = [3]BF.

解法2：如圖3，以點F為中心，將FB逆時針旋轉120°交BC于P，

∴∠BFP = ∠EFH = 120°，∴∠EFB = ∠HFP，

∵BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∵∠ABC = 60°，∴∠FBP = 30°，∴∠FPB = ∠FBP = 30°，

∴FB = FP，∴△FEB ≌ △FHP，∴BE = PH，∴BE + BH = PH + BH = BP.

在△FBP中，過點F作FR⊥BC于R，∴BR = PR，

∵BR = BF·cos 30° = [32]BF，∴BE + BH = [3]BF.

點評：此題中，對角互補四邊形外加一對角線平分其中一角形成全等型對角互補模型. 對角互補模型通常還會和等邊三角形、等腰直角三角形、正方形等特殊圖形結合起來考查，解題方法主要有過頂點作雙垂線和旋轉法.

二、模型策略

1.全等型對角互補模型，以雙90°的對角互補模型為例.

（1）如圖4，∠AOB = ∠DCE = 90°，OC平分∠AOB.

思路1：如圖5，過點C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則△CMD ≌ △CNE.

思路2：如圖6，以點C為中心，將CO逆時針旋轉90°交OB于F，則△COD ≌ △CFE.

由此可得以下結論：①∠CDO + ∠CEO = 180°;②CD = CE;③OE + OD = [2]OC;④S△OCD + S△OCE = ?[12]OC2.

（2）如圖7，∠AOB = ∠DCE = 90°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與OA的反向延長線交于點D.

思路1：如圖8，過點C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則△CMD ≌ △CNE.

思路2：如圖9，以點C為中心，將CO逆時針旋轉90°交OB于F，則△COD ≌ △CFE.

由此可得以下結論：①∠CDO = ∠CEO;②CD = CE;③OE - OD = [2]OC;④S△OCE - S△OCD = ?[12]OC2.

2. 全等型對角互補模型，以2α和180° - 2α的對角互補模型為例.

如圖10，∠AOB = 2α，∠DCE = 180° - 2α，OC平分∠AOB.

嘗試探究：①∠CDO和∠CEO的數量關系;②CD和CE的數量關系;③OE，OD，OC的數量關系;④S△OCD，S△OCE與OC的關系. （請在圖11和圖12中進行探究）

3.相似型對角互補模型，以雙90°的對角互補模型為例.

（1）如圖13，∠AOB = ∠DCE = 90°，借助作雙垂線和旋轉法探究.

思路1：如圖14，過點C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則△CMD∽△CNE，[CECD=CNCM=tan∠COB].

思路2：如圖15，以點C為中心，將CO逆時針旋轉90°交OB于F，則△COD∽△CFE，[CECD=CFCO=tan∠COB].

（2）如圖13，∠AOB = ∠DCE = 90°，借助四點共圓探究.

思路3：如圖16，∵∠AOB = ∠DCE = 90°，

∴O，D，C，E四點共圓，

∴DE為直徑，∠CDE = ∠COB，

∴[CECD=tan∠CDE=tan∠COB].

（作者單位：沈陽市于洪區教育研究中心）