一道2021年“希望杯”競賽題的解法探究

摘 要：文章對一道2021年“希望杯”的試題進行分析，并從不同的視角給出五種解法.

關鍵詞：希望杯;競賽;三角;復數

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0016-04

1 題目呈現

題目 △ABC是邊長為2的等邊三角形，頂點A在x軸的非負半軸上滑動，頂點B在y軸的非負半軸上滑動，求△ABC的重心G的軌跡方程.

這是2021年第三十一屆“希望杯”全國數學邀請賽高一第2試第17題（壓軸題），本題短小精悍、構思獨特，綜合考查考生邏輯思維、推理論證、運算、以及分析問題和解決問題等方面的能力，涉及的數學知識與蘊含的數學思想方法非常豐富，值得深入研究.

2 題目解析

評注 解法1利用等邊三角形特殊的邊角關系，巧妙地將點的坐標以角為參數來表示，再利用三角恒等變換及三角基本關系進行求解，難點是如何合理利用邊角關系轉化為點的坐標.

評注 解法2與解法3借助向量與復數的相關知識，利用旋轉變換的思想進行解答，兩種解法建立在同一個解題思路上，從不同的設點角度解決問題，解題方法新穎巧妙，過程簡潔.所以在競賽層面，要重視方法的積累和知識的儲備，熟練掌握一些常用的方法與結論，才有可能縮短思維的長度，提高效率，達到事半功倍的效果.

解法4 如圖2，設AB的中點為E，連接CE.

評注 解法5借助平面幾何的性質進行解答，體現了數形結合的解題思想，運算量較少.解析幾何問題的本質仍是幾何問題，解題時若能充分把握解析幾何的圖形特征，挖掘圖形相應的幾何性質，將解析法與平面幾何方法相結合，往往能簡化運算，優化解題過程，起到四兩撥千斤之功效.

以上的幾種解法，從不同的角度出發思考問題，各顯神通，這充分體現試題的不拘一格，一道試題考查多種能力、多種思想方法.學數學離不開解題，數學家波利亞曾說：“掌握數學就意味著善于解題.”同時要注意的是，數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是在解題中要善于觀察、善于思考、善于轉化，只有這樣才能將零散的數學知識串聯起來，運用自如.

參考文獻：

[1]林國紅.一道聯賽題的解法賞析[J].數理天地（高中版），2020（11）：32-33.

[2] 林國紅.一道2018年全國數學聯賽題的解法探析與推廣[J].理科考試研究，2020，27（03）：17-20.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學高級教師，從事數學教學研究.