用高觀點揭示一類導數(shù)壓軸題的本質(zhì)

摘 要：縱觀條件中含有導函數(shù)與抽象函數(shù)的不等關(guān)系的題型，發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件所給出的式子往往都是一階線性微分方程的一部分，在高觀點下，筆者揭示此類問題的本質(zhì)，為解決此類問題提供參考.

關(guān)鍵詞：高觀點;構(gòu)造法;導數(shù)壓軸題;本質(zhì)

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0033-03

1 問題的提出

例1 （2015年全國高考Ⅱ卷第12題）設(shè)函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（-1）=0，當x>0時，xf ′（x）-f（x）>0，則使得函數(shù)f（x）>0成立的x取值范圍是（）.

上例中出現(xiàn)了“xf ′（x）-f（x）>0”的結(jié)構(gòu)式，解決此類問題需要構(gòu)造輔助函數(shù).對于此類題目，有一些常見結(jié)構(gòu)式的輔助函數(shù)構(gòu)造方法：

在日常教學中，教師一般會要求學生熟記以上常見結(jié)構(gòu)式的輔助函數(shù)，然后再加以訓練來鞏固記憶，然而，此類題目往往只有少數(shù)學生能夠成功解決.問題的關(guān)鍵在于，如何去構(gòu)造這樣的輔助函數(shù)？構(gòu)造方法是怎樣的？有沒有一般的步驟呢？

2 “輔助函數(shù)”的構(gòu)造原理（基于不定積分原理）

此時函數(shù)g（x）的導函數(shù)中包含④式的左邊部分y′+P（x）y-Q（x），而在高中相關(guān)類型導數(shù)題中往往給出了這部分與零之間的不等關(guān)系，從而可以判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進而結(jié)合函數(shù)知識求解.

此類結(jié)構(gòu)的構(gòu)造原理，基于不定積分的相關(guān)方法，讀者可以深入了解，也可略過.

因此，g（x）在（0，+@）上單調(diào)遞增，在（-@，0）上單調(diào)遞減.要求函數(shù)f（x）>0成立的x取值范圍，則xg（x）>0，易知x∈（-1，0）∪（1，+@），故選A.

下面對結(jié)構(gòu)式為P（x）f（x）+f ′（x）類型的算法步驟進行總結(jié)：

（1）將題設(shè)條件中的結(jié)構(gòu)式化歸為P（x）f（x）+f ′（x），即讓“f ′（x）”的系數(shù)變?yōu)?;

（2）找到P（x），并借助導數(shù)公式尋找其一個原函數(shù)φ（x）;

（3）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=eφ（x）·f（x）.

按照上述步驟，我們再來看一看常見結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方法：

（1）若f（x）+xf ′（x）>0（或<0），則P（x）=1x，其一個原函數(shù)為y=lnx，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=elnxf（x），即g（x）=xf（x）;

（2）若f（x）-xf ′（x）>0（或<0），則P（x）=

-1x，其一個原函數(shù)為y=-lnx，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=e-lnxf（x），即g（x）=f（x）x;

（3）若nf（x）+xf ′（x）>0（或<0），則P（x）=nx，其一個原函數(shù)為y=nlnx，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=enlnxf（x），即g（x）=xnf（x）;

（4）若nf（x）-xf ′（x）>0（或<0），則P（x）=-nx，其一個原函數(shù)為y=-nlnx，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=e-nlnxf（x），即g（x）=f（x）xn;

（5）若f（x）+f ′（x）>0（或<0），則P（x）=1，其一個原函數(shù)為y=x，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=exf（x）;

（6）若f（x）-f ′（x）>0（或<0），則P（x）=-1，其一個原函數(shù)為y=-x，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)

g（x）=e-xf（x），即g（x）=f（x）ex;

（7）若f（x）-tanxf ′（x）>0（或<0），則P（x）=-1tanx，即P（x）=-cosxsinx，其一個原函數(shù)為y=-ln（sinx），因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=e-ln（sinx）·f（x），即g（x）=f（x）sinx.

4 結(jié)構(gòu)為f ′（x）+P（x）f（x）-Q（x）的類型

例2 （2009年天津文科高考題）設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導函數(shù)為f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（）.

此類問題一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題位置，難度較高，其難點在于構(gòu)造出“輔助函數(shù)”.經(jīng)過本文的探究，找到了構(gòu)造相應“輔助函數(shù)”的一般步驟，將難點轉(zhuǎn)化為“逆用導數(shù)求導公式，尋找導數(shù)的原函數(shù)”.

參考文獻：

[1]何尚凱.淺談一階線性微分方程的解法[J].高考，2018（26）：203.

[2] 宿晶.構(gòu)造函數(shù)在解決導數(shù)問題中的運用策略和技巧[J].數(shù)理化解題研究，2016（16）：15-17.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：范明輝，中學二級教師，從事高中數(shù)學教學研究.