基于數學現象培養學生問題意識的探索

【摘 要】數學現象是指把客觀事實呈現給學生，讓他們用數學的觀點進行觀察、分析、思考和研究。這個客觀事實可以是生活中的事實，也可以是數學中的事實，還可以是為教學而創設的事實。這些事實中隱藏著數學問題。文章通過觀察現象、分析現象、改造現象以及從現象到本質等四個方面培養學生的問題意識。

【關鍵詞】數學現象;問題意識;核心素養

一、引言

數學現象是指把客觀事實呈現給學生，讓他們用數學的觀點進行觀察、分析和研究，它強調用數學的眼光看世界。但是現象并不能天然地引發思考，古人言，“學起于思，思起于疑”，所以引發思考的是疑問，數學現象是讓學生用數學的視角審視客觀事實，并在此過程中自發的產生疑問。那么，疑問從哪里來？教師向學生提出問題，這是教學中的常見方式，但這主要基于教師的教學經驗和教師的視角。在教學中，學生如果自己能感知到問題的存在，并用自己的語言表述問題、解決問題，那么這樣的學習就是主動和高效的，也更有利于學生創新能力的培養。高中數學課程標準也反復強調培養學生的問題意識。因此，基于數學現象帶給學生的問題意識的過程，是學生數學學習的體驗之旅、發現之旅，也是審美之旅[1]。下面筆者就數學現象培養學生的問題意識進行研究。

二、基于數學現象培養學生問題意識的策略

（一）觀察現象，重新表述問題

生活中的場景，只有用數學的眼光看待并進行數學的思考，才能成為數學現象。因此，從實際場景中析取數量、位置等數學要素，是產生數學問題的第一步。生活場景中的問題可能并不明確，學生用數學的語言重新表述，其實是問題數學化的過程，體現歸納、抽象、邏輯轉換等數學素養。

在“平面向量的概念”教學中，教材以兩地之間的位移、小船行駛的速度、物體的重力以及浸泡在液體中物體所受到的浮力等常見的生活情境引入教學。這些生活情境學生比較熟悉，但教師需指導學生從學科視角來觀察現象，進而把它們的共性找出來。從物理學科的視角來看，位移、速度、力是不同的物理量，它們各有特點。學生根據所學的物理知識將位移、速度、力等物理量用有向線段將其可視化，此時學生從數學視角觀察，發現它們的共性是既有大小，又有方向。接著，教師繼續引導學生觀察和思考一支筆、一棵樹、一本書……，學生可以抽象出只有大小的數量“1”，并且把這種只有大小沒有方向的量稱為數量。對比以上的不同，學生便產生疑問：數學中該如何表述這種既有大小又有方向的量？此時向量的概念就自然而然地在學生頭腦中生成。在教學中，教師應避免直接給學生灌輸概念，而是讓學生觀察現象，把現象用數學語言重新表述，使學生在歸納抽象的過程中體悟數學概念的形成。

從現象切入，引發學生思考，這是數學現象應用最本質的特點，而貼近生活、切入點低可讓學生更自然地進入教學，從而逐步展開思維[2]。在教學中，教師應注意對現象進行數學化引導，啟發學生提煉共性、尋找差異，并從中歸納特點、總結規律。在此過程中，學生必然會對數學現象進行觀察、思考和討論，這為學生發現并提出問題提供了可能。教師應注意概念的構成要素，引導學生用有效的數學語言表述相關的數學現象，讓數學現象數學化。

（二）分析現象，在結構中發現問題

數學講究思維和邏輯，不同數學現象之間內在的關聯是符合邏輯的，因為只有符合邏輯才有助于思維的展開。數學結構體現現象的數學構成，在分析現象時，要注重對數學結構特質、構成、關聯等要素的把握。只有對比不同數學現象間數學結構的異同，才能對問題解決采取有效的處理方式。下面以一道數學填空題為例進行說明。

例1 已知數列[an]滿足[an=2n2n+128]，則該數列的前13項之和為? ? ? 。

大部分學生對于該題的解題思路是不清晰的，因為這個數列不符合一般數列求和的通法，即在這個問題中，條件與結論的數學現象之間沒有邏輯關聯。此時，學生嘗試通過計算和觀察前幾項的特殊值來研究規律，但學生即使計算前三項的值[165]、[133]、[117]，也無法從特殊中歸納一般。通過轉換思維，發現分式求和的方法在于通分，即把分母的值變為一致，但學生發現對該數列前13項全部通分比較困難。于是進一步分析，128=27與2n同屬于以2為底的指數結構，而128=27的指數7是數列求和項數13的中位數，學生發現問題中的對稱結構。從對稱性和分母一致性的角度來看，對該數列前6項的分子、分母同除以2n，則[an=11+27-n]，而對該數列的第8項到第13項的分子、分母同除以27，則[an=2n-72n-7+1]。于是該數列前13項的首尾項：[a1=11+26]與[a13=2626+1]，[a2=11+25]與[a12=2525+1]，……，每一對兩項分母值均相同，并且相加和為1。由此，學生將前13項首尾配成6對再加a7，計算可得該數列的前13項之和為[132]。在該題中，分式求和需要通分，而對所求項的分母全部通分，勢必陷入繁雜的計算中，而使問題無法得到解決。學生通過分析現象的數學結構，找到其中對稱關系，并由此發現其成對數據的分母一致，巧妙繞過分母通分的難題，為問題的解決提供方向。

事實上，問題的解決并非一蹴而就的，數學現象的辨析同樣具有多樣性、層次性和開放性。因此，在問題解決的過程中，分析數學結構是發現不同數學現象邏輯關聯的關鍵，它有助于問題的再提出，為不同數學現象之間的內在關系找到連結點，而這些連結點正是學生問題意識的出發點。

（三）改造現象，在整體中發現問題

對數學現象的整體思考，要求學生注重從整體來改造數學現象。問題的合理性或思維的無矛盾性都是基于整體而言的。教師在教學中應用整體思維，讓學生在思維中盡量保持聯系、全面、辯證的觀點，使思維形成整體認知。因此，改造現象，在整體中發現問題是抓住現象的主要矛盾，這能更好地解決問題。

例2 不等式[logax][-]ln2[x<4]（a[>0]且a[≠1]）對任意x[∈]（1，100）恒成立，則實數a的取值范圍為? ? ? ?。

由于該題中兩個對數[logax]和ln2[x]的底數不一致，因此，很多學生認為此題中的不等式是超越不等式。學生如果把[logax]變形為[ln xlna]，這不僅讓式子從數學對數結構上得以統一，而且使不等式[ln xlna][-]ln2[x<4]變成以ln[x]為變量的二次不等式。這體現了學生在辨析數學現象中具有整體考慮的問題意識。接下來，我們注意到x[∈]（1，100），從而ln[x][∈]（0，ln100），即變量ln[x]為正數，將不等式進行參變分離得[1lna][<][4lnx]+ln x。值得注意的是，這里分離出的是[1lna]，原因如下：一是這樣的結構最簡單明晰，并且不等式的右邊是基本不等式的結構;二是在運算過程中，把[1lna]看作是一個整體，通過求出其整體的取值范圍[1lna][<]4，從而求出a[∈]（0，1）[?]（e[14，+∞]）。該題需要學生在具體運算中具有整體規劃意識，即先求[1lna]的范圍，再求實數a的范圍。

上述解題過程既有對數學現象的整體分析，也有對解題過程的整體前瞻性的預見，后者給學生的解題帶來更多便捷，這也是學生對數學現象具有整體把控能力的體現。把[logax]變形為[ln xlna]，既是學生對于數學結構一致性的認識，也是學生整體解答問題意識的體現。在參變分離時，學生并沒有分離出a，而是分離出[1lna]，這是部分學習基礎較好的學生基于對解題過程的整體預見。如果有學生將不等式[1lna][<][4lnx]+ln[x]變形為a[>]e[ln xln2x+4]，將參變分離進行到底，教師可以引導學生反思，這個變形中是否有錯誤，這個變形后的式子是否容易計算出最值。這些反思可以進一步激發學生的問題意識，讓學生對數學現象的整體性把握有更深刻的理解。

整體思考是數學現象辨析問題的一種重要的方式，它要求認識一個事物應該首先具有整體性、直觀性，雖然這個直觀性可能只是大概的、統括性的，但其價值很大。整體思考可以讓我們把研究對象從周邊的環境中剝離出來并整合成一個獨立的個體，通過改造現象，為新知識的學習提供前提條件。格式塔學派的核心觀點是“整體大于部分之和”。這“大于”的部分是認識問題的關鍵。因此，從局部發現的問題，它往往具有片面性，學生只有從整體出發分析現象，才能更好地從全局把握問題，從而更好的培養問題的意識。

（四）從現象到本質，在新情境中識別老問題

不同數學現象之間的相互遷移，主要在于辨析數學現象之間可變因素和不變因素的辯證關系。明晰可變因素的變化對問題解決的影響，強化對可變因素的分析和討論，能給學生發現問題明晰方向，促進學生問題意識的養成。如此學生才能從新情境中識別老問題，只有植根于情景脈絡中的知識，才是活“知識”[3]。

在“正切函數的圖象與性質”教學中，教師可讓學生回顧正弦曲線生成的過程，從直觀遷移兩個關聯的數學現象，讓學生產生構造正切曲線的思路，即通過等分圓產生正切線來獲得正切曲線，這是兩者相同之處。在進一步辨析兩者關系后，學生發現它們之間有很多不同之處，即在正切線的表示過程中，角的終邊不能落在y軸上，故正切函數定義域與正弦函數不同。根據直觀感受正切線的變化，并結合誘導公式tan（[π+α]）=tan[α]，學生分析得出正切函數的周期是[π]，故正切函數可先考慮在一個周期[-π2，π2]的范圍作圖，這與正弦函數作圖的周期是不一致的。因為正切函數是奇函數，所以可考慮在[0，π2]范圍內通過等分單位圓截取正切線，充分體現了數學的對稱與簡潔美。由于正切函數的定義域是[xx≠kπ+π2，k∈Ζ]，因此正切函數的圖象不似正弦曲線是連續的，而是存在無數條平行的漸近線。

在上述教學片段中，數學現象之間的相互遷移可以啟發學生的思維，類比會帶給學生解決問題的基本思路。但數學現象之間也是不同的，如何處理數學現象之間的變化，就會讓學生產生問題意識。因此學生關注變化，是讓學生產生問題的最佳切入點。老問題是思維的基礎，思維是解決新情境的橋梁。由老問題進行聯想和對比，是尋求正確思維方向的有效途徑。因此，關注數學現象之間的變與不變，思考數學現象之間的變與不變，是啟發學生問題意識的關鍵點。

三、結語

數學現象是現象學在數學學科教學中的一項有益嘗試，這對于改善課堂教學效果，提升學生的思維方式，促進學生數學學科核心素養發展有一定的幫助。解決別人給予的問題，是在完成一項任務;解決自己提出的問題，是在滿足好奇心;從現實世界中感知和提出問題，則是創造力的歷練。所以，通過辨析現象培養問題意識，是促進思維走向深刻的一個好的途徑。佐藤學主張“與世界對話，與他人對話，與自己對話”，從現象到問題的教學正是有效落實了這一教學主張。在立德樹人與核心素養教育中，這一路徑也是比較有效的教學方式。

參考文獻：

[1]孫四周.把數學問題還原為數學現象：談“基于活動和體驗的例題教學”[J].數學通報，2015（10）：41-45.

[2]任曉松.從現象教學談概念的生成：以極坐標系為例[J].中學數學（高中版），2020（8）：9-13.

[3]張陽.具身認知：讓數學現象教學從模糊走向清晰[J].江蘇教育研究，2020（28）：3-6.

（責任編輯：陸順演）