從動點到函數圖象

劉頓

從動點到函數圖象，是指點在幾何圖形上運動，引起線段長度、面積大小等變化的函數圖象問題. 解題思路為：找出代表問題變化的兩個變量，由動點運動痕跡判斷趨勢或特殊點.

一、由函數關系描述函數圖象

例1 （2021·新疆）如圖1，在矩形ABCD中，AB = 8 cm，AD = 6 cm，點P從點A出發，以2 cm/s的速度在矩形的邊上沿A→B→C→D運動，點P與點D重合時停止運動. 設運動的時間為t（單位：s），△APD的面積為S（單位：cm2），則S隨t變化的函數圖象大致為（）.

解析：當點P在線段AB上運動時，AP = 2t，S = [ 12] × 6 × 2t = 6t，S隨t呈直線變化，排除選項B;當點P在線段BC上運動時，S = [ 12] × 6 × 8 = 24;當點P在線段CD上運動時，DP = 8 + 6 + 8 - 2t = 22 - 2t，S = [ 12] × AD × DP = [ 12] × 6 × （22 - 2t） = 66 - 6t，S隨t呈直線變化，排除選項A和選項C，只有選項D符合題意. 故選D.

二、由函數圖象描述函數關系

例2 （2021·湖南·郴州）如圖2，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A = 60°，點P從點A出發，沿路線A→B→C→D運動. 設點P經過的路程為x，以點A，D，P為頂點的三角形的面積為y，則下列圖象能反映y與x的函數關系的是（）.

解析：過點B作BE⊥AD于點 E，如圖3，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB = AD = BC = 4.

∵∠A = 60°，∴∠ABE = 30°，∴AE = 2，BE = 2[].

在點P從點A向點B運動的過程中，過點P作PF⊥AD于點F，如圖4，

∵AP = x，∴AF = [ 12]x，PF = [ 32]x，∴S△ADP = [ 12]·AD·PF = [ 12] × 4 × [ 32]x = [ 3]x，

∴S△ADP逐漸增大.

當點P在線段BC上時，S△ADP = [ 12]·AD·BE = [ 12] × 4 × 2[ 3] = 4[ 3]，S△ADP不變.

當點P在線段CD上時，如圖5，過點P作PM⊥AD，交AD的延長線于點M，

則AB + BC + CP = x，∴DP = 12 - x，DM = 6 - [ 12]x，PM = [ 3]DM = 6[ 3] -[ 32]x，

∴S△ADP = [ 12]·AD·PM = [ 12] × 4 × [63-32x] = 12[ 3] -[ 3]x，且S△ADP逐漸減小.

故選A.

分層作業

難度系數：★★★★解題時間：10分鐘

（2021·湖南·衡陽）如圖6①，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，P，Q兩點同時從點O出發，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動. 點P的運動路線為O→A→D→O，點Q的運動路線為O→C→B→O.設運動的時間為x秒，P，Q間的距離為y厘米，y與x的函數關系圖象大致如圖6②所示，當點P在A→D段上運動且P，Q兩點間的距離最短時，P，Q兩點的運動路程之和為____厘米. （答案見第37頁）