基于雨課堂探討BOPPPS模式在復變函數中的應用

曹姝萍

摘要：復變函數是大學數學的重要組成部分，在培養學生的邏輯思維能力及工程應用中有不可替代的作用.科學的課程設計是復變函數教學的重中之重.本文通過討論復變函數的課程特色及目前的教學現狀，基于學校提供的雨課堂平臺探討了BOPPPS模式在復變函數教學過程中實施的可行性.進一步通過案例分析，發現起承轉合的BOPPPS教學模式不僅利于夯實基礎知識，還可以活躍課堂氣氛，帶動學生的學習積極性，對課程改革有推動作用.

關鍵詞：復變函數教學;雨課堂;BOPPPS教學模式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）21-0041-03

1復變函數的教學現狀

復變函數中很多定義、性質及定理與實變函數類似，但其思想和方法上有本質的區別，若前期課程基礎不扎實，理論知識薄弱會影響學生對該課程的學習興趣;其次復變函數的理論推導及計算繁瑣復雜，傳統的“滿堂灌”會加重學生的恐懼感進而打擊其積極性;再者應用背景的復雜性及課時的有限導致教師會忽略背景引入，讓學生無法產生學習動力.

復變函數課程的教學方法已有很多的探討，如利用類比教學法將數學分析與復變函數的問題對比講授，讓學生通過研讀、討論、及撰寫論文等形式培養其自學能力和自主探究的興趣;通過案例引入發現探索式教學模式提高對學生數學思維能力的有效培養作用;通過引入“微課堂”這種具有目標性強、短小精悍特點的構建主義方法，解決了課時不足，課堂氣氛沉悶等問題.這些研究方法都是針對教學內容和教學方法的討論，沒有針對復變函數課程的特點給出完整的課堂教學設計.

2BOPPPS模式與雨課堂平臺在復變函數教學應用中的可行性分析

BOPPPS教學模式是一種以教學目標為導向，以學生為中心的新型教學模式，，其將教學內容按照引入、目標、前測、參與式學習、后測及總結六個環節依次展開，教師以師生互動為核心，通過各類教學手段來開展教學活動.BOPPPS教學模式不與傳統教學對立，而是提供了一種理念和框架，教師可根據學校特點，學科特色及學情等有針對性地改進，進而形成自己的風格，是一種易學的教學方式.已經有很多的學者將這種模式成功運用到教學中，如在線性代數中引入此模式，通過對照實驗發現實驗班級期末成績優秀率高出對照班14.2%;借助學習通給出BOPPPS在概率論與數理統計中的教學實踐過程，并通過問卷調查的形式反饋出學生對該模式的認可和喜愛.這些成功案例對在復變函數課程中實施此模式有借鑒作用.

復變函數的每章是一個大模塊，對應的每節是一個小模塊，章節間各有特點又互有聯系，與BOPPPS教學模式適配性很高.此外復變函數理論性較強，應用背景復雜，高強度的理論講述容易讓學生產生腦力疲勞，所以BOPPPS模型將課堂內容切割成15分鐘左右的多個教學小模塊，讓學生在注意力集中的階段高效把握核心知識點，通過起承轉合的講述，避免內容平鋪直敘.

雨課堂是清華大學與學堂在線采用云計算科學技術共同研發的一種新型教學工具，僅需要通過PowerPoint和微信將教師端與學生端聯系起來，形成了線上預備與考核，線下互動的混合式教學模式，其可將教學資源輕松插入幻燈片中，實現多樣化教學，通過課前預習與課后作業功能幫助學生預習和內化知識，課堂上豐富的師生互動形式帶動課堂氣氛，下課后通過微信及時反饋課堂情況，為教師實現動態掌握學情提供方便，且每個環節的打分機制也為平時成績的合理性提供依據.在復變函數課堂中引入這種多樣化的教學手段推動了數學教學改革.

3基于雨課堂對BOPPPS教學模式在課程中的探討

目標是BOPPPS教學模式的核心，是一節課的方向引導.這部分需要教師按照教學大綱制定.在課堂上教師需言簡意賅的闡明本堂課的學習任務及學習后應掌握什么，而不是將教學目標直接展示.

導入是為了吸引學生注意力，引導其對預講內容有強烈的好奇心和學習興趣，這部分對教師的專業素養及數學文化素養有很高的要求，教師需要把握所講章節在整個教材中的地位和重要性，還需教師對基礎理論的背景和應用有深入挖掘.導入的方式應隨章節及內容靈活處理，切勿生搬硬套，無法引起學生共鳴.這部分教師可借助雨課堂的資料視頻及技術手段，從不同角度去開展.

前測是對學生的一次摸底考試，雨課堂豐富的測試功能可協助教師完成此教學環節.復變函數中對定理的靈活運用需要學生對其條件的精準掌握，前測可以讓教師了解學生的基礎掌握情況，進而調整接下來的參與式互動環節，同時對學生的課下復習起到督促作用.

師生參與式學習是課堂教學的核心，這部分教師可以根據班級學情和自身經驗，以學生為中心，合理運用雨課堂資源進行展開，增強參與式的師生交互學習效果.后測是對參與式學習的檢驗和評估，教師應設置合理的能體現本節課目標的習題與互動進行評估，進而適時調整后續總結與模塊引入.最后教師需要帶領學生進行核心知識點的總結，這既是一種復習，也是一種知識內化，不可或缺.同時教師應積極參與BOPPPS教學模式的研討會等，通過與同行新老教師積極交流合作，分享經驗與體會，加深對教學模式的強化認識.

BOPPPS教學模式需要學生對課程的基礎知識如數學分析掌握較好，故教師應對班級學情有所了解，備課時應充分考慮對基礎知識的回顧與總結.而復變函數課程課時一般都比較緊張，課堂上的互動會占用很長時間，所以建議教師借助雨課堂布置課前預習，通過添加習題、視頻及語音等材料內容向學生手機端推送，并通過雨課堂的觀看時長，是否觀看課件等記分機制給學生預習打分，督促學生進行預習，讓學生養成主動學習的習慣.

4復變函數課堂教學設計策略本文以復變函數中第五章第1節內容“解析函數的洛朗展式”為例，進一步結合雨課堂給出BOPPPS教學模式下復變函數的課堂設計策略.這一節內容一個課時可劃分成兩個教學模塊，接下來對第一個教學模塊進行教學展示.

4.1導入

通過給出函數f（z）=11-z，引導學生討論其在整個復平面上的解析性;其次通過f（z）=11-z在z=0的冪級數展開式及展開區域z<1，對比解析區域及展開區域引導學生發現此函數僅因為一個奇點卻使得函數只能在小區域z<1展開成冪級數，提問學生對于z>1這個區域解析函數能展開成級數形式嗎？

4.2目標

通過幻燈片展示：在本節課后學生應能掌握函數可展成雙邊冪級數的條件，并能熟練給出特定區域的展式，為留數的計算打好基礎.

4.3前測

本模塊以冪級數的相關理論及柯西積分公式為基礎，利用雨課堂的課堂互動功能，制作幻燈片測試題.

判斷題：若函數f（z）在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內可展開為冪級數（√）.

單項選擇題：設冪級數∑

SymboleB@

n=0cnzn，∑

SymboleB@

n=0ncnzn-1和∑

SymboleB@

n=0cnn+1zn+1的收斂半徑分別為R1，R2，R3，則R1，R2，R3之間的關系為（）.

A.R1

C.R1>R2>R3D.R1

利用隨機點名功能或者學生主動參與方式回答柯西積分公式的內容，根據客觀題的作答情況靈活調整參與式學習部分，并將得分記為平時分的一部分，督促學生參與進課堂中來.4.4參與式學習

因為本節概念及定理較多，故以學生為主體，采用PBL（基于問題的學習）方法進行.

問題1：什么是雙邊冪級數？與冪級數有什么區別？

問題2：教師通過課件展示定理5.1，提問學生此定理如何證明？

問題3：洛朗系數有微分形式嗎？即cn=f（n）（a）n！是否成立？a一定是f（z）的奇點嗎？

4.5后測

通過計算例題：討論f（z）=11-z在區域z>1處是否可以洛朗展開，了解函數洛朗展開的方法.

學生通過例題總結出直接利用定理計算洛朗系數cn較麻煩，指導學生借助冪級數的展開給出其洛朗展式，由此啟發學生依據洛朗展式的惟一性，冪級數的間接展開方法也可以用到計算洛朗展式中來.

至此這一模塊的教學環節完成，這是筆者對自己復變函數教學活動的一種展示，在期末復習階段通過問卷調查的形式反饋出學生們對此模式的支持，同時也得到了很多有益建議，幫助筆者進一步改進和優化各個環節.

隨著信息化時代互聯網的快速發展，傳統的高等教育模式急需轉變，高校的教育教學改革勢在必行.本文通過復變課程的課程特點及教學問題，分析了當下被廣泛討論的BOPPPS教學模式在復變函數課程中實施的可行性.模塊化的BOPPPS教學模式以學生為中心，重視學生的課堂參與度與主動性，有利于復變函數的教學過程的開展.其次將教學工具嵌入PowerPoint與微信這兩個熟悉的軟件中，讓教師與學生群體均易于操作，不介入其他軟件，對教育教學活動有很好的借鑒作用.最后對于此模式的選擇并不是一勞永逸的，在實際的教學活動中，需要教師根據所教授課程的特點靈活調整，切勿生搬硬套.

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[責任編輯：李璟]