多法探求坐標系內平行四邊形存在性問題

盧宗凱

遼寧省實驗學校赤山校區何曉明老師的直播課《平行四邊形存在性》，選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科教研核心團隊名師公益學堂”，旨在引領教師專業發展，服務學生自主學習，減輕學生學業負擔。

轉化思想與分類討論思想在何曉明老師的直播課《平行四邊形存在性問題》中體現得淋漓盡致，一題多法使課堂充滿智慧. 平行四邊形既是矩形、菱形、正方形的基礎，又是全等三角形的延伸.

模型構建

如圖1，AM = CN，DM = BN，則xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如圖2，AM = CN，BM = DN，則xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如圖3，AM = BN，CN = DM，則xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如圖4， 在?ABCD中，xE = [ xA+xC2 ] = [ xB+xD2]， [yE] = [ yA+yC2 ] = [ yB+yD2]，

[xA+xC=xB+xD]，[ yA+yC=yB+yD].

很多有關平行四邊形的問題都可以構造全等三角形解決.

在平面直角坐標系內過平行四邊形的頂點作坐標軸的平行線，“化斜為直”是解決問題的關鍵.

在分類討論的基礎上，通過全等三角形的對應邊相等，在平面直角坐標系內尋找橫坐標與縱坐標的差相等進行解題. 此外，還可以根據“平行四邊形的對角線互相平分”的性質，利用中點公式進行無作圖的“盲求”.

解決平面直角坐標系內平行四邊形存在性問題，無論“三定一動”還是“兩定兩動”，常通過對角線分類.

方法一：通過畫圖構造全等，利用橫、縱坐標差的關系解決問題;

方法二：利用中點公式，建立二元一次方程組，從而解決問題.

真題呈現

例1 如圖5，直線[y=3x-63]與y軸和x軸分別交于點A，B，點P在直線AB上，且點P的橫坐標為4，點D在直線[y=3x]上，如果以點O，P，B，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標.

解析：易得B（6，0），P（4，[-23]）.

由于O，P，B是定點，D為動點，OD[?]BP，

則OD和BP是一組對邊.

方法一：選擇對角線為標準分類.

當OB為對角線時，如圖6，

連接OP，過B作OP的平行線，構造三角形全等，

由xD - xO = xB - xP，得xD - 0 = 6 - 4， 解得xD = 2;

由yD - yO = yB - yP，得yD - 0 = 0 - （[-23]），解得yD = [23].

當OP為對角線時，如圖7，連接OP，過點P作x軸的平行線，

由xO - xD = xB - xP，得0 - xD = 6 - 4，解得xD = -2;

由yO - yD = yB - yP，得0 - yD = 0 - （[-23]），解得yD = [-23].

因此，點D的位置有兩種情況，D（2，[23]）或D（-2，[-23]）.

方法二：由于對邊確定，即OD = BP，則OD2 = BP2.

設D（m， [3m]），∴m2 + [（3m）]2 = 42，解得m = ±2，從而可求出點D的坐標.

y = [3]x - 6[3]][y = [3]x][y][x][y][y = [3]x][y = [3]x - 6[3]][x]

變式延伸

例2 如圖8，在平面直角坐標系中，點A（2，0），點B（0，1）. 點M為直線AB上的動點，點N為直線y = [-12x]上的動點，當以點O，B，M，N為頂點的四邊形是菱形時，求出點M的坐標.

解析： 由題意可知直線AB的函數解析式為y = - [12]x + 1，

由條件可知BM[?]ON.

OB是定線段，可為菱形的邊，也可為菱形的對角線.

方法一：當OB為邊時，如圖9，在直線AB上作BM = OB = 1，

可根據題意作四邊形OBMN為菱形，

過點M作x軸的垂線，設點M為[m，-12m+1]，

由勾股定理得m2 + [1--12m+12] =1，解得m = [±255]，

則M [255，- 55+1]，M' [-255，55+1].

當OB為對角線時，如圖10，MN也為對角線，

由“菱形的對角線互相垂直平分”得OB的中點為[0，12]，

所以點M的縱坐標為[12]，

將y = [12]代入y = - [12]x + 1，得M [1，12].

方法二：不畫圖即可得B（0，1），O（0，0），

設M [m，-12m+1]，N [n，-12n]，

用中點公式建立二元一次方程組求解.

（作者單位：遼寧省實驗學校）