“鉛垂高、水平寬”巧解三角形面積

吳瓊

真題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1），B（7，3），C（4，7），求△[ABC]的面積.

解析：如圖1，過點C作y軸的平行線，交AB于D，過點B作DC的垂線，垂足為F，

過點A作DC的垂線，交CD的延長線于點E，

[S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD?AE+12CD?BF=12CD （AE+BF）]，

此處AE + BF即為A，B兩點之間的水平距離.

由題意得AE + BF = 6.

由A（1，1），B（7，3）得直線AB的解析式為y = [13]x + [23]，

由點C（4，7），可得點D（4，2），

所以CD = 5，[則S△ABC=12CD（AE+BF）=15].

模型構(gòu)建

如圖2，A，B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”;

過點C作x軸的垂線與AB的交點為點D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”.

結(jié)論：[S?ABC=水平寬×鉛垂高2].

運用鉛垂法時的輔助線引法：

（1）如圖2，取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD.

（2）如圖3，取AC作水平寬，過點B作BD⊥x軸交直線AC于點D，BD即對應(yīng)的鉛垂高，[S△ABC=S△ABD-S△BCD=水平寬×鉛垂高2].

（3）如圖4，取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD.

還可橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高.

（4）如圖5，取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD.

（5）如圖6，取AC作水平寬，過點B作鉛垂高BD.

模型應(yīng)用

如圖7，已知直線DF：y = x + 2與x軸、y 軸分別交于點D，F(xiàn)，與直線AG：y = -x + 4相交于點E，G（5，m）在直線y = -x + 4上，求[S△EDG].

解析：方法1：如圖8，∵點G（5，m）在直線y = -x + 4上，

∴m = -5 + 4 = -1，∴點G的坐標(biāo)為（5，-1）.

把y = -1代入y =? x + 2，得x = -3，

過點G作x軸的平行線，交直線DE于S，則點S（-3，-1），

∴GS = 8.

由[y=-x+4，y= x+2，]得[x=1，y=3，]∴點E（1，3），

∴[S△DEG=S△ESG-S△DSG=GS×yE-yD2=] 12.

方法2：如圖9，過點D作y軸的平行線，交直線GE于T，把y = 0代入y = x + 2，得x = -2，∴點D（-2，0）.

把x = -2代入y = -x + 4，得y = 6，

∴點T（-2，6），∴DT = 6.

∵點G（5，m）在直線y = -x + 4上，∴點G（5，-1）.

由[y=-x+4，y= x+2，]得[x=1，y=3，]∴點E（1，3），

∴[S△GED=S△GTD-S△ETD=DT×xG-xE2=] 12.

（作者單位：遼寧省大連市第三十七中學(xué)）