平行四邊形中的翻折

劉家良

解決平行四邊形中翻折問題，先要尋找翻折前后圖形的對應角與對應邊，再根據平行四邊形的性質求得關聯的角與邊.

例1 （2021·江西）如圖1，將?ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，CE交AD于點F，若∠B = 80°，∠ACE = 2∠ECD，FC = a，FD = b，則?ABCD的周長為_______.

分析：從翻折前后的三角形中尋找對應角與對應邊. 根據平行四邊形的性質結合已知條件得∠ECD = 20°，由三角形內角和定理得∠CFD = 80°，于是∠CFD = ∠D，進而得DC = FC = a，類似地，可得AF = AE，再將?ABCD的兩條鄰邊用含a，b的式子表示.

解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD[?]BC，AB[?]CD，AB = CD，∠D = ∠B = 80°.

由題意知△AEC是由△ABC沿AC翻折得到的，

∴AE = AB，∠E = ∠B = 80°，∠ACE = ∠ACB.

∵∠ACE = 2∠ECD，∴∠ACB = ∠ACE = 2∠ECD，∴∠BCD = 5∠ECD.

∵AB[?]CD，∴∠B + ∠BCD = 180°，

∴80° + 5∠ECD = 180°，∴∠ECD = 20°.

在△CFD中，∠CFD = 180° - ∠ECD - ∠D = 80°，

∴∠CFD = ∠D，∴CD = FC = a.

∵∠AFE = ∠CFD = 80°，∴∠AFE = ∠E，

∴AF = AE = AB = CD = a，∴AD = AF + DF = a + b，

∴?ABCD的周長為2（DC + AD） = 2（a + a + b） = 4a + 2b.

故填4a + 2b.

反思：將翻折中對應邊、對應角相等的性質同平行四邊形的性質結合在一起，求得關聯的角與邊，通過等量代換與轉換完成所求，是解平行四邊形翻折問題的基本思路.

例2 （2021·江蘇·蘇州）如圖2，在?ABCD中，將△ABC沿著AC所在的直線翻折得到△AB′C，B′C交AD于點E，連接B′D，若∠B = 60°，∠ACB = 45°，AC = [6]，則B′D的長是（）.

A.1 B.[2] C.[3] D.[62]

分析：由平行四邊形的性質和翻折的性質可得∠AEC = 90°，AE = CE， △AB′E ≌ △CDE，從而得B′E = DE，B′E的長由勾股定理列方程求得，B′D的長通過勾股定理求得.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC = ∠B，AB = CD，AD[?]BC，

∴∠CAE = ∠ACB = 45°.

∵△AB′C是由△ABC沿AC翻折得到的，

∴AB′ = AB，∠AB′C = ∠B = 60°，∠ACB′ = ∠ACB = 45°，

∴AB′ = CD，∠ADC = ∠AB′C，∠CAE = ∠ACB′ = 45°，

∴AE = CE，∠AEC = 180° - ∠CAE - ∠ACB′ = 90°，

∴∠AEB′ = ∠B′ED = ∠CED = 90°.

在Rt△AEC中，設AE = x，由勾股定理得2x2 = （[6]）2，解得x = [3]，即AE = [3].

在Rt△AB′E中，∠B′AE = 90° - ∠AB′C = 30°，∴AB′ = 2B′E，

由勾股定理得B′E2 + （[3]）2 = （2B′E）2，解得B′E = 1.

在△AB′E和△CDE中，[∠AEB′=∠CED]，[∠AB′E=∠CDE]，[AB′=CD]，

∴△AB′E ≌ △CDE，∴B′E = DE = 1.

在Rt△B′ED中，由勾股定理得B′D = [B′E2+DE2] = [2]. 故選B.

反思：將翻折性質和載體圖形的性質融合在一起，在等邊、等角的替換和等邊、等角的轉換中完成所求，是解圖形翻折問題的基本思路，靈活處理邊角的替換和轉換是問題解答的關鍵，希望同學們用心領悟.

分層作業

難度系數：★★★★? ? ? 解題時間：8分鐘

（2021·山西）將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖3，點C的對應點為C′，連接DC′并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數量關系，并加以證明.

（答案見第25頁）

（作者單位：天津市靜海區沿莊鎮中學）